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文档简介

1、附录A(目录),材料力学,附录 A 平面图形的几何性质,A.1 形心和静矩,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,A.3 平行轴定理,A.4 转轴公式 主惯性矩,附录A 平面图形的几何性质,几何性质的定义,平面图形的几何性质,反映平面图形的形状与尺寸的几何量,如:,本章介绍:,平面图形几何性质的定义、计算方法和性质,1.在轴向拉(压)中:,2.在扭转中:,附录A 平面图形的几何性质,A.1 形心和静矩(目录),A.1 形心和静矩,一、静矩,二、形心,三、组合图形的静矩和形心,四、静矩的性质,A.1 形心和静矩,一、静矩,一、静矩,整个图形 A 对 x 轴的静矩:,整个图形 A 对 y 轴的静矩:,

2、ydA微面积dA对 x 轴的静矩,xdA微面积dA对 y 轴的静矩,定义:,(面积矩),其值:+、-、0,单位:m3,A.1 形心和静矩,二、形心,二、形心,(各分力对任一轴的力矩之和等于其合力对同一轴的力矩),有,则 xdA 和 ydA 相当于力矩,由合力矩定理,将微面积 dA 看作是 力,A.1 形心和静矩,三、组合图形的静矩和形心(组合图形),三、组合图形的静矩和形心,组合图形由几个简单图形(如矩形、圆形等),组成的平面图形,如:,A.1 形心和静矩,三、组合图形的静矩和形心(1.静矩; 2.形心),1.静矩,2.形心,三、组合图形的静矩和形心,A.1 形心和静矩,四、静矩的性质(性质1

3、),四、静矩的性质,形心轴,图形对形心轴的静矩为零,通过图形形心的,反之,图形对某轴的静矩为零,则该轴必为形心轴,性质 1 :,坐标轴,若,A.1 形心和静矩,例1,例1 确定图示图形的形心坐标,解:,取参考坐标系xy,性质 2 :,对称轴必为形心轴,附录A 平面图形的几何性质,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径(目录),A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,一、惯性矩与惯性积,二、惯性矩与极惯性矩的关系,三、惯性积的性质,四、惯性半径,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,一、惯性矩与惯性积(1.惯性矩),一、惯性矩与惯性积,整个图形 A 对x 轴的惯性矩,整个图形 A 对 y 轴的惯性矩,y2dA微

4、面积dA对 x 轴的惯性矩,x2dA微面积dA对 y 轴的惯性矩,定义:,其值:+,单位:m4,1.惯性矩,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,一、惯性矩与惯性积(1.惯性积),整个图形 A 对 x 轴和 y 轴的惯性积,定义:,xydA微面积 dA 对 x 轴和 y 轴的惯性积,的坐标轴,其值:+、-、0,单位:m4,假设: x 轴和 y 轴为一对相互垂直,一、惯性矩与惯性积,2.惯性积,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,二、惯性矩与极惯性矩的关系(性质2),二、惯性矩与极惯性矩的关系,即:,平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过,该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和,性质 2 :

5、,若 x 、 y 轴为一对正交坐标轴,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,二、惯性矩与极惯性矩的关系(1.矩形截面的惯性矩),1.矩形截面,常用图形的惯性矩:,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,二、惯性矩与极惯性矩的关系(2.圆形与环形截面的惯性矩),2.圆形截面,由对称性,3.环形截面,常用图形的惯性矩:,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,三、惯性积的性质(性质3),三、惯性积的性质,当 x 、 y 轴中有一轴为对称轴,在一对正交轴中,只要有一个对称轴,则该图形,对这对轴的惯性积为零。,性质 3 :,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,三、惯性积的性质(特别指出),惯 性 矩对某一轴而言,极 惯

6、 性 矩对某一点而言,特别指出:,惯 性 积对某一对正交轴而言,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,四、惯性半径,图形对 x 轴的惯性半径,单位:m,四、惯性半径,在力学计算中,有时把惯性矩写成,即:,图形对 y 轴的惯性半径,A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,四、惯性半径(注意),注意:,试问:,即:,四、惯性半径,附录A 平面图形的几何性质,A.3 平行轴定理(目录),A.3 平行轴定理,一、定理推导,二、应用,A.3 平行轴定理,一、定理推导,一、定理推导,即:,A.3 平行轴定理,一、定理推导(性质4),显然:,性质4:在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩,中,以对形心轴的惯性矩为最

7、小。,同理,惯性矩和惯性积的平行轴定理,一、定理推导,A.3 平行轴定理,二、应用,二、应用,A.3 平行轴定理,例2(求IXC ),解:,例2 求 和,而,A.3 平行轴定理,例2(求IyC ),解:,例2 求 和,附录A 平面图形的几何性质,A.4 转轴公式 主惯性矩(目录),A.4 转轴公式 主惯性矩,一、公式推导,二、主惯性矩,A.4 转轴公式 主惯性矩,一、公式推导(两坐标系之间的关系),一、公式推导,规定: 角逆时针转向为 +,两组坐标系之间的关系:,代入,A.4 转轴公式 主惯性矩,一、公式推导(转轴公式),一、公式推导,规定: 角逆时针转向为 +,两组坐标系之间的关系:,A.4

8、 转轴公式 主惯性矩,一、公式推导,显然,一、公式推导,A.4 转轴公式 主惯性矩,一、公式推导(性质5),性质5:平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个,惯性矩之和为常数,且等于图形对该点的极惯,性矩。,一、公式推导,显然,A.4 转轴公式 主惯性矩,二、主惯性矩(1.定义,性质6),二、主惯性矩,1.定义,主惯性轴惯性积为零的一对坐标轴,简称主轴,主惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩,形心主惯性轴通过图形形心的主惯性轴,形心主惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩,性质6:图形的对称轴是形心主惯性轴,试问:图形的主惯性轴是否是唯一的?,A.4 转轴公式 主惯性矩,二、主惯性矩(2.主惯性轴的方位),

9、2.主惯性轴的方位,设主惯性轴的方位为0,对应的坐标轴为 x0、y0,令,得到,二、主惯性矩,A.4 转轴公式 主惯性矩,二、主惯性矩(3.主惯性矩),3. 主惯性矩,因,故,有,二、主惯性矩,A.4 转轴公式 主惯性矩,二、主惯性矩(4.主惯性矩的性质,性质7),4.主惯性矩的性质,当Ix1取极值时,对应的方位为1,得到,即:,性质7:主惯性矩为极值惯性矩,其中一个为极大惯性,矩Imax,另一个为极小惯性矩Imin。,令,二、主惯性矩,A.4 转轴公式 主惯性矩,例3(1.确定形心位置),解:,例3 求图示图形的形心主惯性矩。,1.确定形心位置,A.4 转轴公式 主惯性矩,例3(2.求惯性矩

10、和惯性积求IXC),2.求 、 和,解:,例3 求图示图形的形心主惯性矩。,而,A.4 转轴公式 主惯性矩,例3(2.求惯性矩和惯性积求IyC ),2.求 、 和,解:,例3 求图示图形的形心主惯性矩。,A.4 转轴公式 主惯性矩,例3(2.求惯性矩和惯性积求IXCyC ),2.求 、 和,解:,例3 求图示图形的形心主惯性矩。,A.4 转轴公式 主惯性矩,例3(3.求形心主惯性轴的方位),2.求 、 和,解:,例3 求图示图形的形心主惯性矩。,3.求形心主惯性轴的方位,即:,或,A.4 转轴公式 主惯性矩,例3(4.求形心主惯性矩),2.求 、 和,解:,例3 求图示图形的形心主惯性矩。,4.求形心主惯性矩,A.4 转轴公式 主惯性矩,例3(

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