例谈初中数学思想方法东莞市先进学科组评选

1、.例谈初中数学思想方法东莞市可园中学李永义【摘要】： 本文通过对具体的数学问题的分析来阐述了特殊与一般思想、分类讨论思想、数形结合思想、整体思想、化归思想、几何变换思想以及方程与函数思想等数学思想方法在初中数学中的应用。【关键词】：初中数学；思想方法；特殊与一般；分类讨论；数形结合；整体思想；化归思想；几何变换思想；方程与函数思想数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识中锤炼升华的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想，是将数学知识转化为数学能力的桥梁，是数学的精髓，是数学科学和数学学科固有的灵魂，是数学素养的集中

2、体现，只有充分掌握领会数学思想才能有效提高应用数学知识的能力。初中数学思想主要包括特殊与一般思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想、整体思想、几何变换思想、函数与方程思想等。1特殊与一般思想特殊与一般思想是指：对于在一般情况下难以求解的问题，可以运用特殊化思想，通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一般，从而使问题顺利求解，包含从“特殊到一般”和“一般到特殊”两个相反方向的思路。例 1(2007 年青岛中考题改编 ). 如图 1，在四边形 abcd 中， p 是 ad 边上任意一点， pbc 与 abc 和 dbc 的面积之间有什么关系？解析：为了解决这个问题，我们可以

3、先从一些简单的、特殊的情形入手：（1）当 ap12ad 时（如图 2）：pdaap 1ad ， abp 和 abd 的高相等，2sabp 1s abd 2b图 1pdad ap 1ad ， cdp 和 cda 的高相等，p2scdp 1sa cda s2sss四边形 abcdpbcabp cdps 四边形 abcd 1ss abd 1cda22b图 2s 四边形 abcd 1(s 四边形 abcd s dbc) 1(s 四边形 abcd sabc )p22a 1 s dbc 1 sabc 22（2）按照这种思路我们可以得到： dbc 2当 ap 1ad时（如图） pbc 1 abc 33 ss

4、sb图 333当 ap 1ad （n 表示正整数）时， s pbc 1sdbc n 1sabc nnn当 ap m pbc m dbc nm abc nad （n 表示正整数）时， ssnsn本题从特殊情况入手，发现解题的思路技巧，并用此思路技巧解决更一般的问题，解决问题的途径。例 2（2010 年东莞市中考题）阅读下列材料：12123012),(13231 (234123),3341 (345234),3cdcdc将结论进行推广， 从而达到.由以上三个等式相加，可得122334134520 3读完以上材料，请你计算下各题：（1） 1 2 2 3 3 4l1011（写出过程）；（2） 1 2

5、2 334ln( n 1)_ ；（3） 1 23234345l789_解析：由题目给出的12,23,3这几个具体式子的信息 ，4我们可以得到122334.n( n 1)11)(n2)这个一般规律。n(n3而且由此我们可以进一 步猜想推断：1），（1 2 341 2 3 4 - 0 1 2 323415 - 123），451456 - 2 3），（2 3 44334 5 .441本题先研究问题的几并得到：23234345 .n(n1)( n 2)1)(n2)( n3).1n(n4如果我们不满足于此， 我们是否可以进一步设 想：123n2 34(n1)345(n2)n(n1)(n2) 2n1n(n

6、1)(n2)2n(2n1)n 1种特殊情形，再探索并归纳出一般性的结论或规律，然后运用归纳出的规律解决具体问题。2.分类讨论思想分类讨论的思想是指当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。它体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。例 3（2010 年福建宁德中考题改编） 如图 4，在梯形 abcd中，adbc， b 90，bc6，ad3， dcb30.点 e、f 同时从 b 点出发，沿射线 bc向右匀速移动 . 已知 f 点移动速度是 e 点

7、移动速度的 2 倍，以 ef为一边在 cb 的上方作等边 efg设 e 点移动距离为 x（0x6）. 若 efg与梯形 abcd重叠部分面积是 y，求 y 与 x 之间的函数关系式。adgbefc图 4解析：随着 e 点移动的距离不同， efg与梯形 abcd重叠部分图形也不同，因此我们要根据x 的不同取值分三种情况进行讨论：所以 y 3当0x2 时， efg在梯形内部，如图4,x2；abcd4当 2x3 时，如图 5，点 e、点 f 在线段 bc上，efg与梯形 abcd重叠部分为四边形efnm， fnc fcn30 , fnfc62x. gn 3x6.由于在 rtnmg中， g 60，.所

8、以，此时 y3x23 （ 3 ）27 3x29 393.48x68x22当x6时，如图6，点e在线段上，点f在射线上，3bcchefg与梯形 abcd重叠部分为 ecp，ec6x,y 3 （6x）2 3 x23 3 x9 3 .g8822gadadmnpbef cbech图 6图5当题目中满足条件的图形形状不能确定时，就应根据题意，构造符合题意的各种图形，动中取静，然后分情况加以讨论。例4.函数 yax2ax3x1的图像与 x轴有且只有一个交点。 求 a的值及交点坐标。解析：本题中的函数可 以是一次函数，也可以 是二次函数，故应对二 次项系数 分a两种情形讨论 :（）当时，2是一次函数y 3x

9、 1,与轴交于点（1 ）；1 . a 0y axax 3x 1x- ,0ax23(2).当 a0时， yax 3x 1是二次函数，20,则 （3- a） - 4a则 a 1或 a 9.当 a 1时，交点坐标为（ -1,0）；当 a 9时，交点坐标为（ 1 ,0）.3所以 a的值和交点分别是： a0, ( 1,0);： a1, ( 1,0);： a9, (1,0).33对于含有参数的方程、不等式及函数等问题，通常要运用分类讨论的思想来处理。3. 数形结合思想数形结合是研究数学问题的有效途径和重要策略，它体现了数学的和谐美、统一美。数形结合不仅使几何问题获得了有力的代数工具， 同时也使许多代数问题

10、具有了显明的直观性。数形结合是初中数学中十分重要的思想，在数学问题的解决中具有数学独特的策略指导与调节作用。例5.求yx 24x13x22 x2的最小值。解析：初中生直接去解这个问题非常困难。但是若利用“两点间距离公式”，则这个问题变成了一个几何问题。解题思路：x24x13(x2) 2(03) 2把两个根式进行变形：x22x2( x1) 2(01) 2它们分别表示平面直角坐标系中位于x 轴上的点 m（x，0）到 a（-2 ，3）的距离及点 m（x，0）到 b（ 1， 1）的距离。（见图 7）.就是说22yx4x= |am| + |mb|13x2x2这样原来的代数的问题现在变成了一个几何问题：在

11、 x 轴上找一点 m使得 |am| + |mb|最小，因为 a（-2 ，3）关于 x 轴的对称点就是 a（ -2 ，-3 ）所以 y 的最小值 = |a b| =2= 5 2。（见图 8）34例 如图 ，正方形内接于abc,已知、的面积分别6.9opqraorbopcrq是s1，s2和s3求正方形的边长。131.opqr解析：设正方形 opqr的边长为 x，作 abc 的 bc边上的高 ad 交 or于 f .在 rt aor中，由 s11， or2ax，得 af.xor同理： bp6 ,qc2 .fxx由 s abcs1s2s3s四边形 opqr , 得12x622.bpd qc（x)(xx

12、) 1 3 1 x2x图 9解得 x2.本题为了求边长，需利用“等面积原理”列出关于边长的方程，从而把几何问题转化为代数问题，使问题得以顺利解决。4.整体思想所谓整体思想，就是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想。例7.(2009年东莞市中考题） .解方程 : xx 24 0。解析：本题表面看是我们初中阶段没学过的无理方程，但我们只要把x2看成一个整体，令x2t ,则 x t 22,因此，原方程就转化为t 22 t 4 0这样一个我们熟悉的、已知的关于 t的

13、一元二次方程了，问题也就迎刃而解了。例8.已知 、 是方程 x 27x20的两根。且,求 23的值。解析：由已知有7，2，() 2() 2441,41令 a23 , b23则 ab2()3()28;.2()（-）-4，a b341由两式相加得 a14241,两式相减得 b 14 2 41.利用整体求和的方法不仅球处理 a，而且得到了b这一副产品，可谓一箭双雕。5化归思想化归思想 ,指的是转化与归结 .即把数学中待解决或未解决的问题 ,通过观察、分析、联想、类比等思维过程 ,选择恰当的方法进行转化 ,归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题 ,从而最终解决原问题的一种思想 . 如未知向已知转

14、化 ;复杂问题向简单问题转化 ;命题之间的转化 ;数与形的转化 ;空间向平面的转化 ;高次向低次的转化 ; 多元向一元的转化 ;无限向有限的转化等 ,都是化归思想的体现 .xyz例9.解方程组 234xy2z 35解析：考虑到 xyz 的特征，可用换元的方 法，把、 三元转化为一元，234xyz从而设 xyzk,则x2k , y 3k, z4k.2342k3k8k0,k5, 从而 x 10, y15, z20.例 10（2006 年东莞市中考试题）如图10，已知圆柱体底面圆的半径为2 ， 高为 2，ab、cd分别是两底面的直径，ad、bc是母线，若一只小虫从 a 点出发，从侧面爬行到c 点，则

15、小虫爬行的最短路线的长度是_(结果保留根式 ) 。dc图 10a图 11b解析：将圆柱侧面沿母线ad 展开，得到如图11 所示的矩形，从而将曲面上的问题转化为平面上的问题，最短路线即为线段 ac 的长度，即为 22 。例 已知三条抛物线y1x2xm, y2 x22mx 4, y3 mx2中至少有11.mx m 1一条与 轴相交，试求实数的取值范围。xm解析：本题若从正面思考，必须对“只有y1与 x轴相交”，“只有y2 与 x轴相交”,“只有 y3与x轴相交”，“只有 y1、 y2与x轴相交”，“只有 y1、y3与 x轴相交”，“只有 y2、y3与 x轴相交”，“ y1、y2、 y3都与 x轴相

16、交”共七种情况一 一讨论，显然太繁琐。考虑到条 件“至少有一条与 x轴相交”的反面是“都 与x轴不相交”，反而情形单一。因此， 转化为在反面条件下解 出m的取值范围，便可简捷 地得出.原问题的解。若三条抛物线都与 x轴不相交时，有1- 4m 04m 2160m24m(m1)0.6 几何变换思想解之得4m2.又m 0,3当三条抛物线中至少有一条与 x轴相交时， m的取值范围为 m4 且 m0或 m 2.3几何变换就是几何图形在平面上满足某种条件的运动，运用几何变换可以把分散的点、线段、角等已知图形转移到恰当的位置，从而使分散的条件都集中在某个图形中，建立起新的联系，从而使问题得以转化解决。在初中

17、数学中，几何变换主要有平移变换、对称变换和旋转变换等三种。例12.如图12要设计一副宽 20cm,长30cm的图案，其中有两横两 竖的彩条，横竖彩条的宽度之比为 3 : 2，如果要使彩条所占面 积是图案面积的四分之 一，应如何设计彩条的宽度？解析：彩条所占面积为 四分图之12一，则其余部分 为四分之三图，13如果把其 余部分一个部分一个部分计算相 加的话，显然不可能。 我们可以考虑把横竖彩 带通过平移移到一边，这样剩余 的部分就是一个长方形 了，如图 13。我们就很容易列出方程了。设横的每一条 彩带的宽度为 3xcm，则竖的每一条彩带的 宽度为 2xcm.则得方程：（ 20 - 6x)(304

18、x)32030.4例13.如图 14， a、 b两个化工厂位于一段直 线形河堤的同侧， a工厂到河堤的距离 ac为1km，b工厂到河堤的距离 bd 为2km，经测量河堤上 c、 d 两地间的距离为 61km。现准备在河堤边修建一个污水处理厂 ，为使 a、 b两厂到污水处理厂的排 污管道最短，污水处理 厂应建在距离 c地多远的地方？b解析：可以作出a点关于直线 cd 的a对称点 a , 把直线同侧的问题转化为直线异侧的问题，即两点之间线段最短的问题，连接b, a与p 的交点p即为所求的污水厂的位置，如图 例14.（2008年东莞市abcddcacpc2即可。14所示。然后由 acp bdp 得到

19、bd, 进而得到 pcapde图 14中考试题）（ 1）如图 15，点 o 是线段 ad 的中点，分别以 ao 和 do 为边在线段 ad 的同侧作等边三角形 oab和等边三角形 ocd，连结 ac 和 bd，相交于点 e，连结 bc求 aeb 的大小；cbbcedoaoa（2）如图 16，图 15d图 16ocd 绕着点 o 旋转（oab 和 ocdoab 固定不动，保持ocd 的形状和大小不变，将不能重叠 )，求 aeb 的大小 .解析：此题一般思路是 通过证 coa dob，得到acobdo,所以 aebdecdoc60 。但要从这么多角中很 快找出这些角的关系并不容易，如果我 们能考虑

20、到因为 do co, aobo,docboa 60 ， 7.方程与函数思想所以可以看成由dob绕点o顺时针旋转60得到，而ac和bd是对应边，coa所以 ac与bd所成的角就是旋转角， 即60 , 所以aeb60 。方程与函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想，在解决一般数学问题中具有重大的意义。对一个较为复杂的问题，常常只须寻找等量关系，列出一个或几个方程（方程组）或函数关系式，就能很好地得到解决。例15.如图17，已知 abc的面积为 s，作直线 l / bc, 且l与 ab、 ac交于 d、e两点，记 bed的面积为 s1，求证： s11s.4解析：直接证这个不等 式较为困难，但根据图 形特点易知 ade abc，于是可利用相似三角形 的性质，构造一元二次 方程，再利用根的判别 式就显得很简单了。a略解：设 sadex,xad 2eadeabc,() .l / bc,s adesabld又adx.xx2.s abeabxs()s1xs1整理得： x 2(2s1s)xs120.bcx为实数，图 17（2s1