考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识课件方法篇专题6立体几何与空间向量第28练

1、专题6立体几何与空间向量,第 28 练空间向量解决立体几何问题的两大 策略“选基底”与“建系”,向量作为一个工具，其用途是非常广泛的，可以解决现高中阶段立体几何中的大部分问题，不管是证明位置关系还是求解问题.而向量中最主要的两个手段就是选基底与建立空间直角坐标系.在高考中，用向量解决立体几何解答题，几乎成了必然的选择.,题型分析 高考展望,体验高考,高考必会题型,高考题型精练,栏目索引,1.(2016北京)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD 5 . (1)求证：PD平面PAB；,体验高考,1,2,3,证明平面PAD平面AB

2、CD，平面PAD平面ABCDAD. 又ABAD，AB平面ABCD. AB平面PAD. PD平面PAD.ABPD. 又PAPD，PAABA. PD平面PAB.,解析答案,(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；,1,2,3,解析答案,解取AD中点O，连接CO，PO. PAPD，POAD. 又PO平面PAD， 平面PAD平面ABCD， PO平面ABCD， CO平面ABCD，POCO， ACCD，COAD. 以O为原点建立如图所示空间直角坐标系. 易知P(0，0，1)，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，1，0).,1,2,3,解析答案,设n(x0，y0，1)为平面PC

3、D的一个法向量.,1,2,3,解析答案,设PB与平面PCD的夹角为.,1,2,3,解析答案,1,2,3,解设M是棱PA上一点，,BM平面PCD，,在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，,1,2,3,解析答案,1,2,3,2.(2016天津)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2. (1)求证：EG平面ADF；,解依题意，OF平面ABCD，,依题意可得O(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，D(1，1，0)，E(1，1，2)，F(0，0，2)，G(1，0，0).,设n1(x1，y1，z1)为平面

4、ADF的法向量，,解析答案,1,2,3,不妨取z11，可得n1(0，2，1)，,又因为直线EG平面ADF，所以EG平面ADF.,1,2,3,解析答案,1,2,3,(2)求二面角OEFC的正弦值；,设n2(x2，y2，z2)为平面CEF的法向量，,不妨取 x21，可得n2(1，1，1).,1,2,3,1,2,3,解析答案,1,2,3,3.(2016课标全国乙)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60. (1)证明：平面ABEF平面EFDC；,1,2,3,解析答案,证明由已知可得AFDF，AFFE， 所以

5、AF平面EFDC， 又AF平面ABEF， 故平面ABEF平面EFDC.,返回,解析答案,(2)求二面角EBCA的余弦值.,1,2,3,解过D作DGEF，垂足为G， 由(1)知DG平面ABEF.,解析答案,由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角， 故DFE60，则DF2，DG 3 ， 可得A(1，4，0)，B(3，4，0)，E(3，0，0)，D(0，0， 3 ). 由已知，得ABEF， 所以AB平面EFDC，,1,2,3,又平面ABCD平面EFDCCD， 故ABCD，CDEF. 由BEAF，可得BE平面EFDC， 所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60， 从而可得C(2，0， 3 ).

6、,1,2,3,设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，,解析答案,返回,1,2,3,高考必会题型,题型一选好基底解决立体几何问题 例1如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点. (1)求证：MNAB，MNCD；,解析答案,由题意可知：|p|q|r|a， 且p、q、r三向量两两夹角均为60.,MNAB，同理可证MNCD.,(2)求MN的长；,解析答案,(3)求异面直线AN与CM夹角的余弦值.,解析答案,点评,解析答案,点评,点评,对于不易建立直角坐标系的题目，选择好“基底”也可使问题顺利解决.“基底”就是一个坐标系，选择时，作为基底的向量一般为已

7、知向量，且能进行运算，还需能将其他向量线性表示.,点评,(1)求异面直线GE与PC所成角的余弦值；,解析答案,解如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系Gxyz，,解设F(0，y，z)，,解析答案,在平面PGC内过F点作FMGC，M为垂足，,题型二建立空间直角坐标系解决立体几何问题 例2(2016山东)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线. (1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；,解析答案,证明设FC中点为I，连接GI，HI. 在CEF中，因为点G是CE的中点，所以GIEF. 又EFOB，所以GIOB. 在CFB中，因

8、为H是FB的中点，所以HIBC， 又HIGII，所以平面GHI平面ABC. 因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.,解析答案,点评,证明连接OO，则OO平面ABC. 又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC. 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.,过点F作FMOB于点M，,设m(x，y，z)是平面BCF的一个法向量.,解析答案,点评,点评,因为平面ABC的一个法向量n(0，0，1)，,(1)建立空间直角坐标系前应先观察题目中的垂直关系，最好借助已知的垂直关系建系.,点评,(3)要掌握利用法向量求线面角、二面角、点到面的距离的公式法.,变式训练2在边长是2的正方体ABCD

9、A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，应用空间向量方法求解下列问题. (1)求EF的长；,解如图建立空间直角坐标系， 则A1(2，0，2)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)，E(2，1，0)，F(1，1，1)，,解析答案,返回,(2)证明：EF平面AA1D1D；,解析答案,AD1EF，而EF平面AA1D1D， EF平面AA1D1D.,(3)证明：EF平面A1CD.,EFCD，EFA1D， 又CDA1DD， EF平面A1CD.,A.3 B.1 C.1 D.3,高考题型精练,1,2,3,4,5,解析,6,7,8,9,10,11,12,x1，y1

10、，z1， xyz1.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,A.1 B.2 C.13 D.26,解析设平面ABCD的一个法向量n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,A.ACBE B.EF平面ABCD C.三棱锥ABEF的体积为定值 D.异面直线AE，BF所成的角为定值,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析AC平面BB1D1D， 又BE平面BB1D1D， ACBE，故A正确. B1D1平面ABCD， 又E，F在直线D1B1上运动， EF平面ABCD，故

11、B正确. C中，由于点B到直线B1D1的距离不变，,解析,故VABEF为定值，故C正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1，1，0)，B(0，1，0).,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,此时异面直线AE与BF成30角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,故D错误.故选D.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5.若a(2x，1，3)，b(1，2y，9)，如果a与b为共线向量，则(),解析因为a与b为共线向量， 所以存在实数使得ab，,解析,1,2,3,4,5,6

12、,7,8,9,10,11,12,解析MG2GN，M，N分别是边OA，CB的中点，,故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.已知a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)，若a，b，c三 向量共面，则实数_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析a，b，c三向量共面，则存在实数x，y， 使cxayb，,解析答案,解析,答案,(1，1，1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析设PDa(a0)，,E的坐标为(1，1，1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

13、11,12,解析,答案,平行,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,又MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.,10.已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，F为A1B1的中点. (1)求证：DEC1F；,证明以D为原点，以DA，DC，DD1为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,所以DEC1F.,解析答案,(2)求异面直线A1C与C1F所成角的余弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析答案,11.如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直

14、角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB的中点. (1)求证：平面EAC平面PBC；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,证明PC平面ABCD，AC平面ABCD， ACPC.AB2，ADCD1，,ACBC， 又BCPCC，AC平面PBC. AC平面EAC，平面EAC平面PBC.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)， 设P(0，0，a)(a0)，,设n(x，y，z)为平面EAC的法向量，,取xa，ya，z2，则n(a，a，2)，,设直线PA与平面EAC所成角为，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,12.直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BAD60，A1AAB，E为BB1延长线上的一点，D1E平面D1AC.设AB2. (1)求二面角EACD1的大小；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解设AC与BD交于点O，如图所示建立空间直角坐标系Oxyz，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,D1E平面D1AC， D1EAC，D1ED1A， 22h0，h1，即E(0，1，3).