高中数学人教A选修11课件333习题课导数的综合应用

1、习题课导数的综合应用,1,2,1.利用导数研究方程的根或函数零点 (1)方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,亦即f(x)图象与x轴交点的横坐标; (2)方程f(x)=a的根就是函数g(x)=f(x)-a的零点,亦即f(x)图象与直线y=a交点的横坐标; (3)方程f(x)=g(x)的根就是函数h(x)=f(x)-g(x)的零点,亦即f(x)图象与g(x)图象交点的横坐标.,1,2,2.利用导数解决不等式恒成立问题 (1)不等式f(x)恒成立,则f(x)max; (2)不等式f(x)恒成立,则f(x)min. 做一做1方程x3-6x2+9x-4=0实根的个数为 () A.0B.1 C.2

2、D.3 解析利用导数,求出函数的极大值为0,极小值为-4,再结合函数的单调性,通过数形结合可得. 答案C,1,2,做一做2已知函数 若当x-1,2时,f(x)7. 答案B,1,2,1,2,1,2,探究一,探究二,规范解答,探究一利用导数研究方程的根(函数的零点) 【例1】设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a. (1)求f(x)的极值; (2)若方程f(x)=0只有一个实数根,求实数a的取值范围. 分析方程f(x)=0只有一个实数根就是函数f(x)的图象与x轴仅有一个交点,因此可分析函数的单调性与极值,通过极值满足的条件建立关于a的不等式求解.,探究一,探究二,规范解答,解(1)由已知得

3、f(x)=3x2-2x-1, 令f(x)=0, 则x=- 1 3 或x=1, 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,变式训练1已知函数f(x)=x2-aln x(aR),当x=1时f(x)取得极值. (1)求a的值; (2)求函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+k(kR)的图象的交点个数.,探究一,探究二,规范解答,当x(1,+)时,F(x)0. 因此函数F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增. 所以F(x)min=F(1)=-k. 当-k0,即k0时,两图象交点个数为2.,探究一,

4、探究二,规范解答,探究二利用导数解决不等式的恒成立问题 【例2】 已知f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若对任意x(0,+),2f(x)g(x)+2恒成立,求实数a的取值范围. 分析对于(1)可通过解不等式f(x)0和f(x)0得到单调区间;对于(2),应先将不等式进行参数分离,把欲求范围的参数a移至不等式的一边,然后利用导数求另一边函数的最值,从而求得参数的取值范围.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,当x=1时,h(x)取得最大值,且h(x)max=h(1)=-2, 若ah(x)在x(

5、0,+)上恒成立,则ah(x)max=-2,即a-2, 故a的取值范围是-2,+).,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,利用导数解决函数的综合问题 典例已知函数 (1)当a=-1时,求函数f(x)的最小值; (2)是否存在实数a,对任意的x1,x2(0,+),且x1x2,都有 恒成立,若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由. 【审题策略】 (1)将a的值代入,先求极值,再得到最值;(2)将所给不等式进行转化,化为f(x2)-ax2f(x1)-ax1,从而可构造函数g(x)=f(x)-ax,通过g(x)的单调性,利用导数转化为不等式恒成立问题即可

6、求得.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,【答题模板】 (1)第1步:确定函数定义域 第2步:求导数 第3步:分析极值情况 第4步:得到最值,探究一,探究二,规范解答,(2)第1步:假设结论成立 第2步:将所给不等式转化 第3步:构造新函数g(x) 第4步:将问题转化为g(x)在(0,+)上为增函数 第5步:利用导数转化为g(x)0在(0,+)上恒成立 第6步:分离参数求最值 第7步:得到结果,探究一,探究二,规范解答,【失误警示】 通过阅卷统计分析,失分主要出现在第二问,造成失分的原因是: (1)不能将所给不等式转化,为构造新函数奠定基础; (2)

7、虽能对不等式转化,但不能将转化后的不等式合理变形,从而构造新函数; (3)构造新函数后,无法根据题意推出其单调性; (4)在得到新函数的单调性后,无法利用导数转化为恒成立问题求解; (5)分离参数后无法准确求得函数最值.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,1,2,3,4,1.若不等式 在1,2上恒成立,则实数a的取值范围是() A.a-1B.a4 解析依题意不等式x3-2x-ax3-2x,令g(x)=x3-2x, 则g(x)=3x2-20在1,2上恒成立, 因此g(x)max=g(2)=4,故a4. 答案D,1,2,3,4,2.若函数f(x)=x3-6x2+9x-10-a有三个零点,则实数a的取值范围是() A.(-,-10) B.(-6,+) C.(-10,-6) D.(-,-10)(-6,+) 解析令f(x)=0,得x3-6x2+9x-10=a, 令g(x)=x3-6x2+9x-10, 则g(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3). 由g(x)=0,得x=1或x=3. 当x3时,g(x)0,g(x)单调递增; 当1x3时,g(x)0,g(