高中数学人教A选修11课件232抛物线的简单几何性质

1、2.3.2抛物线的简单几何性质,1,2,1.抛物线的简单几何性质,1,2,1,2,1,2,做一做1(1)顶点在原点,对称轴为y轴,顶点到准线的距离为4的抛物线方程是() A.x2=16yB.x2=8y C.x2=8yD.x2=16y (2)若点(a,b)是抛物线x2=2py(p0)上的一点,则下列点中一定在抛物线上的是. (a,-b);(-a,b);(-a,-b). 解析(1)由已知得 所以抛物线方程为x2=16y. (2)抛物线x2=2py关于y轴对称,所以点(a,b)关于y轴的对称点(-a,b)一定在抛物线上. 答案(1)D(2),1,2,2.直线与抛物线的位置关系 设直线l:y=kx+m

2、,抛物线:y2=2px(p0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0. (1)若k0,当0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当0时,直线与抛物线相离,没有交点. (2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.,1,2,1,2,做一做2(1)直线y=2x-1与抛物线 的位置关系是() A.相切B.相交 C.相离D.不确定 (2)过点(1,1)与抛物线y2=x只有一个公共点的直线有() A.1条B.2条C

3、.3条D.4条,1,2,因为=-10,所以直线与抛物线相离. (2)因为点(1,1)在抛物线y2=x上,所以与y2=x只有一个公共点的直线有两条,其中一条为切线,一条为平行于x轴的直线. 答案(1)C(2)B,1,2,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形. () (2)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上. () (3)直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线相切. () (4)直线与抛物线相交时,直线与抛物线不一定有两个公共点. () 答案(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,探究一抛物线

4、几何性质的应用 【例1】 已知双曲线 (a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若双曲线的离心率为2,AOB的面积为 ,则抛物线的焦点坐标为() A.(2,0)B.(1,0) C.(8,0)D.(4,0),探究一,探究二,探究三,探究一,探究二,探究三,探究一,探究二,探究三,变式训练1若点A(6,4)在抛物线x2=-2py(p0)的准线上,则点A与抛物线焦点F之间的距离等于. 解析因为点A(6,4)在抛物线x2=-2py(p0)的准线上,所以准线方程为y=4,于是焦点为F(0,-4),因此 答案10,探究一,探究二,探究三,探究二直线与抛物

5、线的位置关系 【例2】已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C有: (1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点? 分析将直线方程与抛物线方程联立,消去y得到关于x的方程后,讨论根的情况,得到公共点的个数情况.,探究一,探究二,探究三,当0,即k1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离. 综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点. (2)当k1时,直线l与C没有公共点.,探究一,探究二,探究三,探究一,探究二,探究三,变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是() C.-

6、1,1D.-4,4 解析设直线l方程为y=k(x+2),与抛物线联立方程组整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时,直线l与抛物线有一个交点;当k0时,由=64-64k20,解得-1k1,且k0.所以-1k1. 答案C,探究一,探究二,探究三,探究三抛物线在实际问题中的应用 【例3】如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管OP=1 m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2 m,点P距抛物线的对称轴1 m,则水池的直径至少应设计多少米?(精确到1 m),探究一,探究二,探究三,分析可以以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立平面直角坐标系,则易得点P坐标,再由P在抛物线

7、上求出抛物线方程,设抛物线与水面的交点为B,则由点B的纵坐标求出点B的横坐标即可得解. 解如图所示,建立平面直角坐标系.,设抛物线方程为x2=-2py(p0).,探究一,探究二,探究三,探究一,探究二,探究三,探究一,探究二,探究三,变式训练3一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为a m,求使卡车通过的a的最小整数值.,探究一,探究二,探究三,1,2,3,4,5,1.已知M是抛物线y2=2px(p0)上的点,若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为() A.1B.1或4 C.1或5D.4或5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.如图是抛物线形拱桥,当水面到直线l时,拱顶离水面2 m,水面宽为4 m.水位下降1