高中数学人教A选修21课件314空间向量的正交分解及其坐标表示2

1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示,1.空间向量基本定理 如果空间三个向量a,b,c不共面,那么对于空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z,使得p=xa+yb+zc.其中a,b,c叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.,做一做1在三棱柱ABC-A1B1C1中,可以作为空间向量一组基底的是() 解析：只有不共面的三个向量才能作为一组基底,在三棱柱中, 不共面,可作为基底. 答案：C,2.空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 三个有公共起点的两两垂直的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基底. (2)空间直角坐标系 以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2

2、,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. (3)空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O重合,得到向量 =p,由空间向量基本定理可知,存在有序实数组x,y,z,使得p=xe1+ye2+ze3.把x,y,z 称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z),即点P的坐标为(x,y,z).,做一做2在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若 ,则 等于() 解析： 答案：C 做一做3若a=3e1+2e2-e3,且e1,e2,e3为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为. 答案：(3,2,-1),思考辨析 判断下列

3、说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)空间向量的基底是唯一的. () (2)若a,b,c是空间向量的一组基底,则a,b,c均为非零向量. () (3)已知A,B,M,N是空间四点,若 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面. () (4)若a,b,c是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0. (),探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一对基底与基向量的理解 【例1】 判断下列说法是否正确?并说明理由. (1)空间任意三个不共线的向量均可作为一组基底; (2)基向量中可以含有零向量,但至多一个; (3)如果向量a,b与空

4、间任何向量都不能构成一组基底,那么向量a,b一定是共线向量; (4)如果向量组a,b,c是空间的一个基底,且m=a+c,那么a,b,m也是空间的一组基底. 分析：按照基底与基向量的定义进行判断分析.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解：(1)错误,因为空间中三个不共面的向量才能构成一组基底. (2)错误,基向量中一定不可以含有零向量. (3)正确,向量a,b与空间任何向量都不能构成一组基底,说明向量a,b与空间任何向量都是共面向量,从而a,b一定是共线向量. (4)正确,因为若a,b,m共面,则存在唯一实数x,y使得m=xa+yb,即a+c=xa+yb,因此(x-1)a+yb-c=0,而a,

5、b,c不共面,所以x-1=y=-1=0,这显然不成立,故a,b,m不共面,即a,b,m也是空间的一组基底.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1已知a,b,c是空间向量的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是() A.aB.b C.a+2bD.a+2c 解析：只有a+2c与p,q不共面,可以作为一组基底. 答案：D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究二用基底表示空间向量 【例2】 在空间四边形ABCD中,AC和BD是对角线,G为ABC的重心, 分析：根据空间向量基本定理,结合空间向量的加法、减法与数乘向量运算进行分解.,探究一

6、,探究二,探究三,思维辨析,解：如图,连接AE,AG,并延长AG,与BC交于点F,则F是BC的中点.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2已知空间四边形OABC中, ,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则 等于(),解析：显然 答案：B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究三空间向量的坐标表示 【例3】 在直三棱柱ABO-A1B1O1中,AOB= ,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,建立适当的空间直角坐标系,求 的坐标. 分析：先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系,再根据空间向量基本定理,将 用基底表示

7、,即得坐标.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,建立空间直角坐标系不当致误 典例如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ABC的边长为1,三棱柱的高为2,建立适当的空间直角坐标系,则 的坐标分别为,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练导学号03290062已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1.建立适当的空间直角坐标系,求 的坐标

8、. 解：PA=AD=AB=1,且PA平面ABCD,ADAB, 以e1,e2,e3为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz(如图).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,1 2 3 4 5,1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是(),解析：只有C选项中的三个向量是不共面的,可以作为一组基底. 答案：C,1 2 3 4 5,2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点F是侧面CC1D1D的中心,且 ,则m,n的值分别为 (),答案：A,1 2 3 4 5,3.已知正方体OABC-OABC的棱长为1,若以 为基底,则向量 的坐标是() A.(1,1,1)B.(1,0,1) C.(-1,-1,-1)D.(-1,0,1),答案：A,1 2 3 4 5,4.