高中数学人教A选修21课件313空间向量的数量积运算2

1、3.1.3空间向量的数量积运算,1.空间向量的夹角 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 ,则AOB叫做向量a,b的夹角,记作,向量夹角的取值范围是0,.如果= ,那么向量a,b垂直,记作ab.,做一做1在正四面体ABCD中, 的夹角等于 () A.30B.60C.150D.120 解析： 答案：D,2.空间向量的数量积 (1)已知两个非零向量a,b,则|a|b|cos叫做a,b的数量积,记作ab. (2)数量积的运算律: (a)b=(ab);ab=ba(交换律); a(b+c)=ab+ac(分配律). (3)数量积的运算性质: 若a,b是非零向量,则abab=0. 若a与b同向,则a

2、b=|a|b|; 若a与b反向,则ab=-|a|b|. 特别地,aa=|a|2或|a|= 若为a,b的夹角,则cos = |ab|a|b|.,做一做2正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长等于2,则 等于(),解析：,答案：C,做一做3已知空间向量a,b的夹角为120,且|a|=1,|b|=2,则a(2a-3b)=. 解析：a(2a-3b)=2|a|2-3ab=212-312 =5. 答案：5,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)若a,b是空间非零向量,则=-. () (2)若a,b,c是空间向量,则(ab)c=a(bc). () (3)若a,b,

3、c是空间向量,且ab=ac,则b=c. () (4)若ab=|a|b|,则空间向量a,b是共线向量. () (5)若a,b是空间非零向量,则(ab)2=a2b2. (),探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究一求空间向量的数量积 【例1】 已知三棱锥O-ABC的各个侧面都是等边三角形,且边长为2,点M,N,P分别为AB,BC,CA的中点.试求: 分析：求出每个向量的模及其夹角,然后按照数量积的定义计算求解,必要时,对向量进行分解.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究一,探究二,探究三,探究四

4、,规范解答,变式训练1如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究二利用数量积求夹角 【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求向量 的夹角的大小. 分析：求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用两个向量 的数量积定义ab=|a|b|cos ,求出cos = 的值,然后确定的大小.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究一,探究二,

5、探究三,探究四,规范解答,变式训练2(1)若非零空间向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)b=0,则a与b的夹角为() A.30B.60C.120D.150 (2)已知空间四面体OABC各边及对角线长都等于2,E,F分别为AB,OC的中点,则向量 所成角的余弦值为. 解析：(1)设a与b的夹角为,则由(2a+b)b=0,得2|a|b|cos +|b|2=0.又因为|a|=|b|,所以cos =- ,所以=120.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究三利用数量积证明垂直问题 【例3】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1

6、的中点,O是底面ABCD的中心.求证:B1O平面PAC. 分析：要证B1O平面PAC,只须证明B1OAC与B1OPA,即只需证明 均用正方体的棱所在的向量线性表示,再求数量积证明.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,变式训练3导学号03290059已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PMQN.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究四利用数量积求距离或长度 【例4】 在正四面体ABCD中,棱长为a.M,N分别是棱AB,CD上的点,且|M

7、B|=2|AM|,|CN|= |ND|,求|MN|. 分析：转化为求向量 的模,然后将向量 分解,再根据数量积运算性质进行求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,变式训练4正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是(),答案：C,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,利用向量的数量积求两异面直线所成角 典例导学号03290060如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,AB=BC=1,AA1= ,求异面直线BA1与AC所成角的余弦值.,探

8、究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,【答题模板】 第1步:确定两两垂直的向量,把待求直线看作向量,用相关向量表示. 第2步:计算直线BA1与AC对应向量的数量积. 第3步:利用数量积公式计算两个向量夹角的余弦值. 第4步:将两向量夹角的余弦值转化为两直线夹角的余弦值.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,变式训练在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BA1与直线AC所成的角为.,答案：60,1 2 3 4 5,1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各对向量夹角为45的是(),解析：四个选项中两个向量的夹角依次是45,135,90,180,故选A. 答案：A,1 2 3 4 5,2.在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是BC,AD的中点,则 等于(),答案：D,1 2 3 4 5,3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是() A.重合B.平行C.垂直D.无法确定,答案：C,1 2 3