函数的间断点

1、.函数间断点求法两个基本步骤1、间断点（不连续点）的判断在做间断点的题目时， 首要任务是将间断点的定义熟记于心。下面我们一起看一下教材上间断点的定义：2、间断点类型的判断找出函数的间断点后， 然后判断间断点的类型， 主要通过间断点的左右极限情况来划分：（1）第一类间断点：在间断点处的左右极限都存在可以分为以下两种：可去间断点：左右极限存在且相等；跳跃间断点：左右极限存在但不相等（2）第二类间断点： 在间断点处的极限至少有一个不存在 经常使用到的，有以下两种形式的第二类间断点：无穷间断点：在间断点的极限为无穷大.振荡间断点：在间断点的极限不稳定存在?间断点：是 f(x) 的间断点， f(x) 在

2、点处的左右极限都存在为第一类间断点.f(x)至少有一个不存在，则是 f(x)的第二类间断点 .第一类间断点中第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点等.下面通过一道具体的真题，说明函数间断点的求法：函数的间断点一、函数的间断点设函数 f x 在点 x0 的某去心邻域内有定义在此前提下，如果函数f x 有下列三种情形之一：1在 xx0 没有定义；.2虽在 xx0有定义，但 limfx 不存在；xx03虽在 xx0有定义，且 limfx 存在，但 limfx fx0 ；xx0xx0则函数 f x在点 x0 为不连续，而点x0称为函数 fx的不连续点或间断点下面我们来观察下述几个函数的曲线在x 1点的情

3、况，给出间断点的分类：y x1x 21y1xyy221111x11x在 x1连续在 x1间断， x1极限为 2yx1， x1yx 1， x11， x1x， x1yy221111x11x在 x1间断， x1极限为 2在 x1间断，x 1左极限为 2，右极限为 111yy sinx 1xy1x在 x0 间断， x0 极限不存在1像这样在x0 点左右极限都存在在 x1间断，。的间断，称为第一类间断，其中极限存在的limx1x 1称作第一类间断的可补间断，此时只要令 y 12 ，则在 x1 函数就变成连续的了；被称作第一类间断中的跳跃间断被称作第二类间断，其中也称作无穷间断，.而称作震荡间断就一般情况

4、而言，通常把间断点分成两类：如果x0 是函数f x 的间断点，但左极限f x00 及右极限f x00 都存在， 那么 x0 称为函数f x 的第一类间断点 不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点sin x, x0xf (x)a, x0x sin 1b, x00例 1 确定 a、 b 使x在 x处连续解： f ( x) 在 x0 处连续lim f (x)limf (x)f (0)x0x0limf (x)limx sin1bblimf ( x)limsin x1xx因为 x 0x

5、 0； x 0x 0； f ( 0) a所以 ab 1时， f (x) 在 x0处连续例 2求下列函数的间断点并进行分类f ( x)x211、x1分析 ：函数在 x1处没有定义，所以考察该点的极限limx21lim (x1)2，但 f ( x) 在 x1解：因为x1x1x1处没有定义所以x1是第一类可去间断点f ( x)x sin 1 ,x0,x2、1, x0.分析 ： x0是分段函数的分段点，考察该点的极限解：因为lim x sin 10x 0x，而 f (0) 1所以x 0 是第一类可去间断点limf ( x)总结 ：只要改变或重新定义f ( x) 在 x0 处的值，使它等于 x x0，就

6、可使函数在可去间断点 x0 处连续f ( x)x1, x0,x1, x0.3、分析 ： x0 是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右.极限lim f ( x)lim ( x 1) 1lim f (x)lim (x 1)1解：因为x 0x 0； x 0x 0所以x0 是第一类跳跃间断点1f ( x)arctan4、x分析 ：函数在 x0 处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限lim f ( x)lim1lim f (x)lim1arctanarctan2解：因为 x 0x 0x2 ； x 0x 0x所以x0 是第一类跳跃间断点15、 f ( x)ex1解：

7、因为lim f ( x)lim e xx 0x 0所以x0 是第二类无穷间断点1f ( x)sin6、xlim f (x)lim sin 1解： x 0x 0x极限不存在所以x0 是第二类振荡间断点f ( x)xsin x 的间断点，并将其分类7、求解：间断点：x k (k 0, 1, 2,)x1当 x0lim0时，因 x0 sin x，故 x是可去间断点limx当 xk( k1,2,sin x，故 x k (k 1, 2,) 是无穷) 时，因 xk间断点小结与思考：本节介绍了函数的连续性，间断点的分类f ( x)lim1x1x2 n1、求n分析： 通过极限运算，得到一个关于x 的函数，找出分段点，判断.x1,1x1f (x)0,x11,x10,x1.lim f ( x)lim 0 0limf ( x)l