02 贝叶斯决策理论.ppt

1、模式识别贝叶斯决策理论,mqy_,一 最简单的贝叶斯分类算法,还使用前面的例子：鲈鱼(sea bass)和鲑鱼(salmon)。,使用一个特征亮度对这两种鱼进行表示。 新来了一条鱼特征是x(亮度)，怎么根据特征x确定它到底是鲈鱼1还是鲑鱼2？ 已知数据：鲈鱼类标号1，鲑鱼类标号2。鲈鱼总数量占所有鱼总数量的比率为P(1)，鲑鱼总数量占所有鱼总数量的比率为P(2)。由鲈鱼的分布得知这条鱼的亮度x在分类为鲈鱼时出现的概率为p(x|1),由鲑鱼的分布得知这条鱼的亮度x在分类为鲑鱼时出现的概率为p(x|2)。,如何求解？可以求出x属于鲈鱼1的概率P(1|x)和x属于鲑鱼2的概率P(2|x)。如果P(1

2、|x)P(2|x)，就认为x是鲈鱼。现在的问题是如何求P(1|x)和P(2|x)。,有一个概率公式：,从而推出：,换一种写法：,这就是著名的贝叶斯公式。其中P(j)叫做先验概率，就是类别出现的可能性；p(x|j)叫条件概率，就是在j时x出现的可能性；p(j|x)叫后验概率；p(x)是该样例出现的可能性。 因此：,对于上面的问题：,如果p(1|x)p(2|x)，那么就认为x属于1，即这条鱼是鲈鱼。同理于：,这几个基本数据都已经给出了，因此可以计算出不等式的结果。 如果p(1|x)p(2|x)，那么就认为x属于2，即这条鱼是鲑鱼。同理于：,二 贝叶斯决策算法,上面的分类有几个主要限制： 特征向量中

3、只包含一个特征：亮度。 只有两个类别：鲈鱼和鲑鱼。 仅仅允许分类，而不是根据分类采取行动。同时，没有加入损失控制：例如鲈鱼比鲑鱼贵。如果鲈鱼的罐头里装入了鲑鱼，那么客户会很生气；如果鲑鱼的罐头里装入了鲈鱼，那么客户很难感到有损失。那么这个时候分类后采取的行动就要偏向于便宜的鲑鱼。 下面就看突破这几个限制的比较通用的贝叶斯分类器是什么样的。,为了解决第一个显示，使用向量x代替原来的单变量x。x就叫做特征向量。比如鲈鱼鲑鱼分类的例子中，可以设计这样一个特征向量(x1,x2)，其中x1表示亮度，x2表示长度。,定义类别总共有c个：1,2,c，第j个分类为j。 此时，x属于类别j的概率依然用这个公式计

4、算：,但是，并不是简单地将x归于具有最大p(j|x)值的那个类别j。因为要考虑损失： 定义进行第i个行动(比如将样例归于第i个类别)这种行为表示为：i。 在一个样例的真正类别为j时，进行第i个行动造成的损失是：(i|j)。 那么进行第i个行动的总损失：,这里将每个类别为真正类别时采取第i个行动造成的损失都加起来，作为采取第i个行动的总损失。 那么每个行动的总损失都可以求出来，采取其中总损失最小的行动。比如行动k最小，对应的行动是将样例归于第k个类别，那么就如此进行分类。,举例：贝叶斯决策算法在两类问题中的决策。,定义,，是在一个样例的真正类别为j时，进行第i个行动造成的损失。 采取第1个行动时

5、的总损失：,采取第2个行动时的总损失：,那么当,时，采取第1个行动。即：,比如对于上面的例子11=22=0。鲈鱼1比鲑鱼2贵。如果鲈鱼1的罐头里装入了鲑鱼2，那么客户会很生气；如果鲑鱼2的罐头里装入了鲈鱼1，那么客户很难感到有损失。那么这个时候分类后采取的行动就要偏向于便宜的鲑鱼。因此设当真正类别是鲑鱼2的时候，将x归类为鲈鱼1(造成鲈鱼1的罐头里装入了鲑鱼2)的损失12=2，设当真正类别是鲈鱼1的时候，将x归类为鲑鱼2(造成鲑鱼2的罐头里装入了鲈鱼1)的损失21=0.2。可以看到，上面的公式变成了：,三 判别函数,在模式识别里，经常用gi(x)来表示x属于第i个类别的可能性。 如果对于所有的

6、j!=i都有：gi(x)gj(x)，那么认为x属于第i个类别i。 比如令gi(x)=-R(i|x)。 上面是一个不等式关系，如果不等式两边都乘以相同的正数，或加上相同的树，或取自然对数。那么不等式的关系是不变的。因此不考虑损失时的贝叶斯判别函数：,可以写成：,四 正态分布,贝叶斯公式中的p(x|j)是条件概率，代表在类别为j时，x的概率。比如在j为鲈鱼时，一个特定亮度x的概率。条件概率分布中常见的一个分布是高斯分布(正态分布)。 正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss(Carl Friedrich G

7、auss，17771855)率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。,高斯分布的形状是钟形曲线。,很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如： 同一种生物体的身长、体重等指标； 百度高个吧投票的身高分布：,在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标； 同一种种子的重量； 测量同一物体的误差； 某个地区的年降水量； 学生的智力水平，包括学习能力，实际动手能力等呈正态分布。,单变量正态分布的概率密度函数 ：,其中是均值，是标准差。 均值就是所有数的平均数，就是把所有数都加起来再除以个数 2方差就是把每个数减去它们的平均数再平方，把这些平方加起来再除以个

8、数。方差表示统计数据的离散程度。 经常可以把上面的公式简写成：p(x)N(,2)。,多变量正态分布的概率密度函数 ：,其中是d维平均向量。是d*d的协方差矩阵。|是它的行列式，-1是它的转置。 经常可以把上面的公式简写成：p(x)N(,)。,五 正态分布下的判别函数,将多变量正态分布公式带入下面的判别函数：,得到：,将单变量正态分布公式带入下面的判别函数：,得到：,1. i=2I,当所有变量都相互独立，且每个变量的方差都是2的时候，所有的协方差矩阵都相等：i=2I。 此时，判别函数简化成了：,此时判别函数就变成了一个线性判别函数。,当p(i)与p(j)相等的时候，一二三维高斯分布：,如下求分割线