自控第三章 时域法.ppt

1、第3章 控制系统的时域分析法,3.1典型输入信号和阶跃响应性能指标3.1.1典型输入信号,2.（单位）斜坡函数,3.（单位）抛物线函数,1.（单位）阶跃函数,4.（单位）冲激函数,5.正弦函数,B,3.1.2 动态性能指标,定 义 1,上升时间tr,调节时间 ts,0.95,动态性能指标定义2,3.2 一阶系统的时域分析,1. 数学模型,2. 单位阶跃响应,(取K=1),c(t)=1-e-t/T,c(T)=0.632 c(),c(3T)=0.95c(),c(2T)=0.865c(),c(4T)=0.982c(),3. 单位冲激响应（取K=1),c(t)=t-T+Te-t/T,T,4. 单位斜坡

2、响应（取K=1),阶跃,冲激,一阶系统的时间常数T对系统性能起着非常重要的作用，时间常数不仅影响一阶系统的响应速度，还影响系统跟踪输入信号的精度。 对于不同的输入信号，时间常数越大，系统的响应速度越慢，跟踪精度越低。 对于大多数的实际工程系统，通常希望有较小的时间常数。,反馈后系统的闭环传递函数为：,5. 减小一阶系统时间常数的措施,例：已知一阶系统的方框图如图所示。试求该系统单位阶跃响应的调整时间ts；若要求ts0.1秒，求此时的反馈系数。,解：由系统方框图求出闭环传递函数：,由闭环传递函数知时间常数T=0.1秒,所以：ts=3T=0.3秒（D=0.05）,若要求ts0.1秒，求此时的反馈系

3、数。 可设反馈系数为k,当 ，则 ，即 时ts0.1秒,由此可知：对一阶系统而言反馈加深可使调节时间减小。,反馈加深对系统的响应还有什么影响？,由此可知：反馈加深还将使输出幅值减小。,3.3 二阶系统的时域分析3.3.1 数学模型,特征方程：,特征根：,时间常数 阻尼比 无阻尼自然振荡频率,固定 , 讨论 s1,2 与 的关系。,-+jd,j,-jn,-n,jn,-jd,1） 0 2） 01 3）1 4）1,s,s1,s2,s1,2=-jd ：衰减系数 d ：有阻尼自然振荡频率,1.欠阻尼( ),令 衰减系数,阻尼振荡频率,由式 得,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,对上式取拉氏反变换，得单

4、位阶跃响应为,包络线 决定收敛速度,2. 无阻尼（=0）,4. 过阻尼( ),3. 临界阻尼( ),01,1,0,1,二阶系统单位阶跃响应定性分析,2,(s) =,s2+2ns+n2,01,1,0,1,二阶系统单位阶跃响应定性分析,2,(s) =,s2+2ns+n2,过阻尼,临界阻尼,无阻尼,欠阻尼,弧度,3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能计算,包络线,忽略,(1),等超调量曲线,讨论：系统参数和暂态指标的关系,s,-0.5,-1,-1.5,-2,-2.5,-3,等调整时间曲线,ts=,代入,讨论(2),(1)阻尼系数 (2) ( 保持不变),=0.707时 有最小值,讨论(3),通常希望系统

5、的输出响应既有充分的快速性，又有足够的阻尼。因此，为了获得满意的二阶系统瞬态响应特性，阻尼系数应选择在0.4和0.8之间。,例：一个二阶系统，要求 求系统极点位置。,解：,例：确定如图所示系统的k值，使得阻尼比为0.5。并求单位阶跃响应的上升时间tr、峰值时间tp、超调量p和调节时间ts。,解：,，,3.4 高阶系统的时间响应概述,输入模态,一阶模态,二阶模态,由一阶系统（惯性环节）和二阶系统（振荡环节）的响应函数 组成。,1,2,输入信号（控制信号）极点所对应的拉氏反变换为系统响应 的稳态分量。表示过渡结束后，系统的输出量（被控制量）仅 与输入量有关 。,传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统

6、响应的模态。,3,闭环极点远离虚轴，则相应的模态衰减得快。,4,闭环零点只影响系统模态幅值的大小和符号。,5,6,7,偶极子。,闭环极点位于s 左半平面时，模态衰减为零（称系统稳定）。,8,闭环主导极点。,例2. 已知： ，求单位阶跃响应。,可忽略,偶极子,例 已知： ，求单位阶跃响应。,例：已知单位反馈系统的单位阶跃响应为 求（1）开环传递函数 G(s) （2）,解：（1）,（2）,由于两个闭环极点中,所以,s1对系统动态响应的影响可忽略不计，,s2为闭环主导极点，即,运动模态总结,3.5 稳定性,稳定的基本概念,设系统处于某一平衡状态，在扰动作用下偏离了平衡状态。在扰动作用消失后，经过一段

7、过渡过程，如果系统能够恢复到原来的平衡状态，即系统的零输入响应是收敛的，则称系统是稳定的；反之，若系统不能恢复平衡状态，即其零输入响应是发散的，则称系统是不稳定的。线性系统的稳定性是系统本身的固有特性，与输入无关。,3.5.1线性定常系统稳定的充分必要条件,微分方程,考虑初始条件,取拉氏变换,传递函数,由稳定性定义,应研究 时的响应,是系统闭环极点对应运动模态的线性组合, 稳定性完全取决于其特征根 (闭环极点)位置,线性定常系统稳定的充分必要条件是： 系统闭环极点(特征根)全都具有负实部，亦即：全都位于复数平面的左半面。,3.5.2 劳斯稳定判据,令系统的闭环特征方程为,劳斯表,计算中某行可以

8、同时乘上一个正数,2）充要条件： 观察劳斯表中第一列的系数： 如果均为正值，则表示其特征根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。,如果符号有变化，则相应的系统为不稳定， 且符号变化的次数等于该特征根在S右半平面上的数。,闭环特征方程,1）必要条件：ai 0 （i = 0,1,.),1.劳斯稳定判据,有正有负一定不稳定!,缺项一定不稳定!,例,试用劳斯判据判别系统的稳定性。,解：列劳斯表,由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。,已知一调速系统的特征方程式为,2. 劳斯判据两种特殊情况,（1）劳斯表某一行中的第一项等于零。,若劳斯表第一列中系数

9、的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。,如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统属临界（不）稳定。,解决的办法是以一个很小的正数 ，来代替为零项，然后完成劳斯表的排列。,例,已知系统的特征方程式为,试判别相应系统的稳定性。,解：列劳斯表,该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为临界稳定。,例：设系统特征方程为：,s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0,劳 斯 表,(64)/2=1,1,(10-6)/2=2,2,7,1,0,(6-14)/1= -8,-8,d=1 2 3 4 5 6 7; ro

10、ots(d),-1.3079 + 0.5933i -1.3079 - 0.5933i 0.7104 + 1.1068i 0.7104 - 1.1068i -0.4025 + 1.3417i -0.4025 - 1.3417i,设系统特征方程为：,s4+5s3+7s2+5s+6=0,劳 斯 表,5,1,7,5,6,6,6,0,1 劳斯表何时会出现零行?,2 出现零行怎么办?,3 如何求对称的根?,s2+1=0,对其求导得零行系数: 2s1,继续计算劳斯表,1,第一列全大于零,所以系统稳定,错啦!,这是零行,由综合除法或比较系数法可得另两个根s3,4= -2,-3,(2)劳斯表出现全零行,列劳斯表

11、,第一列的系数均为正，表明该方程在S右半平面上没有特征根。令F(s)=0，求得的根为,显然这个系统处于临界稳定状态。,例 控制系统的特征方程为,F(s),对2s4 +12s2 +16 求导,8s3 +24s,-0.0000 + 2.0000i -0.0000 - 2.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i,例:设系统特征方程为：,s5+ 2s4+3s3+6s2-4s-8=0,劳 斯 表,2,1,3,6,-4,0,0,3,2s4 +6s2-8=0,对其求导得零行系数: 8s3 +12s

12、1=0,33.3,由综合除法或比较系数法可得另1个根s5= -2,s3,4=2j,s0,-8,-8,-8,(s2-1) (s2+4) =0,s1,2=1,例:,已知特征方程为：s4+30s3+200s2+ks+kz=0,求产生纯虚根为j1的z值和k值。,解：,30,1,200,k,kz,6000-k,30kz,（6000-k)s2+30kz=0,有纯虚根，劳斯表一定有零行,6000k-k2-900kz,6000k-k2-900kz=0,辅助方程:,k = 30,代入左式得:,Z=6.63,s2 =-1,S1,2=j1,例,求该系统稳定的K值范围。,解：列劳斯表,由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳

13、斯表中第一列的系数必须全 为正值。可得：,3. 劳斯判据的应用,（1）. 求临界稳定参数,例. 用劳斯判据检验下列特征方程,是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线 的右方。,第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。 令 s=z-1,代入特征方程：,（2）.检验稳定裕量,令 s=z - ,并代入特征方程,解：列劳斯表,s,z,式中有负号，显然有根在 s= -1 的右方 列劳斯表,第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线,的右方。,-3.1246 -1.4268 -0.4486,3.6 控制系统的稳态误差,3.6.1 稳态误差的定义,输入端定义：,E(s)=R(s)

14、-B(s)=R(s)-C(s)H(s),输出端定义：,误差E(s)=R(s)-C(s),1.误差定义,一个稳定系统在输入量或扰动的作用下，误差信号e（t）的稳态值被称为稳态误差,注意 拉氏变换终值定理应用条件:sE(s)的全部极点(除原点外)都具有负实部,时,是否可用终值定理求稳态误差?,2. 稳态误差的定义,给定误差传递函数,扰动误差传递函数,3.误差传递函数,4 . 开环传递函数的特点, 为积分环节个数型,0 零型系统 1 型系统 2 型系统,时间常数型,零点极点型,开环放大倍数,开环传递系数,essr的三要素： 、K、r(t),1. 阶跃信号输入,令,可见：要求对于阶跃作用下不存在稳态误

15、差，则必须选用型及型以上的系统,静态位置误差系数,3.6.2 参考输入作用下的稳态误差,2.斜坡输入信号,令,静态速度误差系数,3. 加速度输入,令,静态加速度误差系数,r(t)=R1(t),r(t)=Vt,r(t)=At2/2,型,0型,型,R1(t),Vt,0,0,0,At2/2,k,k,0,静态误差系数,稳态误差,取不同的,已知单位反馈系统开环传递函数为G(s)，输入为r(t)，试求稳态误差ess。,G3(s)=,G2(s)=,G1(s)=,r1(t)=1(t),r2(t)=t,r3(t)=t2,解：,0型,型,型,kp=10,kv=21/8,ka=8,ess=1/11,ess= 8/2

16、1,ess=1/8,系统2不稳定，,系统3的a0=2，, ess, ess=1/4,例,3.6.3 扰动作用下的稳态误差,当扰动为单位阶跃信号时，,当开环增益足够大，,上式说明，扰动输入作用下的稳态误差主要取决于G1(0)，即扰动点前的传递函数。,求图示系统的essn。,解：,(1),E(s)=,s(0.1s+1)(0.5s+1)+10,-5 (0.1s+1)(0.5s+1),系统稳定,(2),E(s)=,s(0.1s+1)(0.5s+1)+10,-2s,例,s(T1s+1)(T2s+1),1s+ 2s2,R(s),E(s),C(s),求图示系统中的1、2，使系统由,一阶无差系统变为三阶无差系

17、统。,解：,er(s) =,s(T1s+1)(T2s+1),k1k2,(1s+ 2s2)k2,1+,1,s(T1s+1)(T2s+1)+k1k2,设系统稳定，则分子只有s3项时，由终值定理可得：, 1k2=1,2k2=T1+T2,即:,例,一单位反馈控制系统，若要求：跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2。设该系统为三阶，其中，一对复数闭环极点为,根据和的要求，可知系统是型三阶系统，因而令其开环传递函数为,例,。求满足上述要求的开环传递函数。,解：,因为,相应闭环传递函数,3.6.4 降低稳态误差的方法,1. 增大系统开环总增益，以降低给定输入作用下的稳态误差；增大扰动作用点前系统前向通路的增益

18、，以降低扰动作用所引起的稳态误差。但过大的增益会使系统失去稳定，或使动态性能恶化。,2. 增加系统前向通路中积分环节的数目，使系统型号提高，可消除不同输入信号时的稳态误差；在扰动点前的前向通路中加入积分环节，可以消除特定扰动作用下的稳态误差。但引入积分环节一般对稳定性不利。,3. 采用复合控制，即在按输出反馈的基础上再加上按扰动或按输入进行的顺馈控制（又称前馈控制）。, 按扰动的全补偿,令R(s)=0,En(s) = -C(s) =,令分子=0，得Gn(s) = - (T1s+1)/k1,这就是按扰动的全补偿,t从0全过程,各种干扰信号, 按扰动的稳态补偿,设系统稳定，N(s)=1/s ,则,Gn(s)= -1/k1,减小和消除误差的方法-Gn(s)的设计,令N(s)=0, Er(s)=,令分子=0，得Gr(s)=,s (T2s+1)/ k2,1 按输入的全补偿,N(s),R(s),C(s),E(s),设系统稳定，R(s)= 1/s2 则,2 按输入的稳态补偿,减小和消除误差的方法-Gr(s)的设计,静态误差系数存在以下缺点：,只能反映三种典型输入信号引起的稳态误差，不能反映r(t)为任意函数时的稳态误差；,只能反映t时的稳态误差，