用导数法求函数的最值的练习题解析

1、.用导数法求函数的最值的练习题解析一、选择题1函数 yf(x)在区间 a，b上的最大值是m，最小值是m，若mm，则 f (x)()a 等于 0b大于 0c小于 0d以上都有可能 答案 a 解析 mm，yf(x)是常数函数 f (x)0，故应选 a.1112设 f(x)4x43x32x2 在1,1上的最小值为 ()a 0b 213c 1d.12 答案 a 解析 yx3x2xx(x2x1)令 y0，解得 x0. f(1) 5 ，f(0)0，f(1)131212 f(x)在1,1上最小值为 0.故应选 a.3函数 yx3x2x1 在区间 2,1上的最小值为 ()22a. 27b2c 1d 4 答案

2、c;. 解析 y3x2 1)2x1(3x1)(x1令 y0 解得 x3或 x 1当 x 2 时， y 1；当 x 1 时， y2；122当 x3时， y27；当 x1 时， y2.所以函数的最小值为1，故应选 c.4函数 f(x)x2x1 在区间 3,0上的最值为 ()3a 最大值为 13，最小值为 4b最大值为 1，最小值为 4c最大值为 13，最小值为 1d最大值为 1，最小值为 7 答案 a 解析 yx2x1，y2x1，113令 y0，x2，f(3)13，f 2 4，f(0)1.5函数 y x1x在(0,1)上的最大值为 ()a. 2b1c0d不存在 答案 a1111x x 解析 y2

3、x2x 1x21x由 得x1，在 0，1 上 0，在 1，1上y022y2;.1y0.x2时 y 极大 2，又 x(0,1)，ymax 2.6函数 f(x)x44x (|x|1)()a 有最大值，无最小值b有最大值，也有最小值c无最大值，有最小值d既无最大值，也无最小值 答案 d 解析 f (x)4x344(x1)(x2x1)令 f(x)0，得 x1.又 x(1,1) 该方程无解，故函数 f(x)在(1,1)上既无极值也无最值故选d.7函数 y2x33x212x5 在0,3 上的最大值和最小值分别是()a 5， 15b5,4c 4， 15d5， 16 答案 a 解析 y6x26x126(x2)

4、(x1)，令 y0，得 x2 或 x 1(舍) f(0)5，f(2) 15，f(3) 4， ymax5，ymin 15，故选 a.;.158已知函数 y x22x3 在a,2上的最大值为 4 ，则 a 等于()31a 2b.2113c2d.2或2 答案 c 解析 y 2x2，令 y0 得 x 1.当 a1 时，最大值为 f(1)4，不合题意当 1a2 时， f(x)在a,2上单调递减，最大值为 f(a) a22a3154，13解得 a 2或 a2(舍去 )9若函数 f(x)x312x 在区间 (k1，k 1)上不是单调函数， 则实数 k 的取值范围是()a k 3 或 1k1 或 k3b 3k

5、1 或 1k3c 2k0 得函数的增区间是 (，2)和(2， )，由 y0，得函数的减区间是 (2,2)，由于函数在(k1，k1)上不是单调函数，所以有k12k1 或 k12k;.1，解得 3k1 或 1k0 得 x2，由 y0得 x2时，函数为增函数，当2x3时，函数为减函数， 所以无最大值， 又因为f(2)， 3 257f 233284，所以最小值为 284.x3，则 a13若函数 f(x)x2a(a0)在1， )上的最大值为3的值为 _ 答案 31x2 2ax2 解析 f (x)a2x22 22(x a)(x a)令 f(x)0，解得 x a或 x a(舍去 )当 x a时， f(x)0

6、；当 0x0；a33当 xa时， f(x)2a3，a2 0 得 x2 或 x2，;.由 f(x)0 得2x2. f(x)在 3， 2上单调递增，在 2,2上单调递减，在 2,3上单调递增又 f(3)17，f(2)24，f(2) 8，f(3) 1， 最大值 m24，最小值 m 8， mm32.三、解答题15求下列函数的最值：(1) f(x)sin2xx 2x2 ；(2) f(x)x 1x2. 解析 (1)f(x)2cos2x 1.1令 f(x)0，得 cos2x2. 又 x 2，2 ，2x ， 2x ，x36. 函数 f(x)在 2，2 上的两个极值分别为3 3 f 6 2 6，f 6 2 6.

7、又 f(x)在区间端点的取值为;.f 2 2， f 2 2.比较以上函数值可得f(x)max，f(x)min .22(2)函数 f(x)有意义， 必须满足 1x20，即 1 x1， 函数 f(x)的定义域为 1,11x.f(x)11(1x2) (1x2)1221x2令(x)，得2 .f0x2 f(x)在1,1上的极值为f2212 22 2 2 2.又 f(x)在区间端点的函数值为f(1)1，f(1) 1，比较以上函数值可得 f(x)max2，f(x)min 1.3116设函数 f(x)ln(2x3)x2.求 f(x)在区间 4，4 上的最大值和最小值3 解析 f(x)的定义域为 2， .2 4

8、x26x2f(x)2x2x32x32(2x1)(x1).2x3;.3当 2x0；1当 1x2时， f(x)2时， f(x)0，31所以 f(x)在 4，4 上的最小值为f 112ln2 .431397131149又 f 4 f 4 ln216ln216ln7221ln 9 ln21 且 x0 时， exx22ax1. 分析 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式， 考查运算能力、 综合分析和解决问题的能力解题思路是： (1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值 (2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明 解析 (1)解：由 f(x)e

9、x，知(x) x ， 2x2a x rfe 2 x r.令 f(x)0，得 xln2.于是当 x 变化时， f(x)，f(x)的变化情况如下表：x ( ，ln2(ln2，;.ln2)f(x)0单调递减2(1ln2单调递增f(x)a)故 f(x)的单调递减区间是 (，ln2)，单调递增区间是 (ln2， )，f(x)在 xln2 处取得极小值，极小值为 f(ln2)eln22ln22a2(1 ln2a)(2)证明：设g(x)exx22ax1，xr，于是g(x)ex2x 2a，xr.由 (1)知当 aln2 1 时， g(x)最小值为 g(ln2) 2(1ln2a)0.于是对任意 xr，都有 g(

10、x)0，所以 g(x)在 r 内单调递增于是当 aln21 时，对任意 x(0， )，都有 g(x)g(0)而 g(0)0，从而对任意 x(0， )，g(x)0.即 exx22ax10，故 exx22ax1.4x2718已知函数 f(x) 2x ，x0,1(1)求 f(x)的单调区间和值域；(2) 设 a1，函数 g(x)x3 3a2x 2a， x0,1 若对于任意 x10,1 ，总存在 x00,1 ，使得 g(x0)f(x1)成立，求 a 的取值范围;. 解析 (1)对函数 f(x)求导，得4x216x7(2x1)(2x7)f(x)(2x)2(2x)21 7令 f(x)0 解得 x2或 x2.当 x 变化时， f(x)， f(x)的变化情况如下表：111x0(0，2)2(2，1) 1f(x)0f(x) 74321所以，当 x(0，2)时， f(x)是减函数；1当 x 2，1 时， f(x)是增函数当 x0,1 时， f(x)的值域为 4， 3(2)g(x)3(x2a2)因为 a1，当 x (0,1)时， g(x)0.因 此 当x(0,1) 时 ， g(x) 为 减 函 数 ， 从而 当x0,1 时 有g(x)g(1)，g(