2007年广州市高二数学竞赛试卷_5

1、2007 年广州市高二数学竞赛试卷题号一二三合计（ 11）（ 12）（ 13）（ 14）（ 15）得分评卷员考生注意：用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；不准使用计算器；考试用时 120 分钟，全卷满分 150 分一、选择题： 本大题共 4 小题， 每小题 6 分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内x17, x0,1设函数 f ( x)2，若 f (a 1)1 ，则实数 a 的取值范围是（）x ,x0.a - ,-4b4,0c 0,d , 4 u 0,x2y21的焦点为 f1 和 f2 ，点 p 在椭圆上， 如果线段 pf1 的中

2、点在 y 轴上，那么 pf1 是 pf2 的（2椭圆3）12a 7 倍b 5 倍c 4 倍d 3 倍3已知集合 mx, ylg x21 y2lg xlg y，则集合 m 中元素的个数为（）4a 0 个b 1 个c 2 个d 无数个4 设 m 是uuuruuurbac 30o ， 定 义 f ( m ) (m, n, p) ， 其 中 m, n, p 分 别 是abc 内 一 点 ， 且 abac 2 3,mbc ,mca , mab 的面积，若f ( p)1 , x, y ，则 14的最小值是（）2xya 9 3 1b 18c 16d 9二、填空题：本大题共6 小题，每小题6 分，共 36 分

3、把答案填在题中横线上5已知复数 z 满足： z2z10 ，则 1 z z2z3z2007_6在区间2,2上任取两实数a， b，则二次方程 x2ax b20 有实数解的概率为7已知函数 f (x) 满足： f (mn) f (m) f (n), f (1)4 ，则f 2 (1)f (2)f 2 (2)f (4) f 2 (3) f (6)lf 2 (251)f (502)f (1)f (3)f (5)f (501)8奇函数fx 在 r 上为减函数，若对任意的x0,1 ，不等式fkxfx2x20 恒成立，则实数k 的取值范围为9 四面体abcd中， ab cd 6 ，其余的棱长均为5 ，则与该四面

4、体各个表面都相切的内切球的半径长等于10已知 x, y 满足 1 x24y316x2 ，则函数 zxy10 的最大值与最小值之和为44三、解答题：本大题共5 小题，共90 分要求写出解答过程11（本小题满分15 分）已知函数f ( x)m gn ，其中 m(sinxcosx,3 cosx) ， n(cosxsinx,2sinx)（0 ），若 f ( x) 相邻两对称轴间的距离不小于2（）求的取值范围；（）在abc 中， a, b,c 分别是角 a, b,c 的对边， a3, b c 3 ，当最大时， f ( a)1，求abc 的面积12（本小题满分 20 分）各项都为正数的数列 ann2an

5、的前 n 项和为 s ，已知 2 sn 1an（）求数列 an 的通项公式；（ ） 若 数 列 bn 满 足 b12 ， bn 1 2bn ， 数 列 cn 满 足cnan(n为奇数 )bn，数列 cn 的前 n 项和为 tn，当 n 为偶数时，(n为偶数 )（）同学甲利用第（）问中的tn 设计了一个程序如图，但同学乙个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，结束）你是否同意同学乙的观点？请说明理由n： 0求 tn；n： n 2认 为 这而 无 法n2pn ：24n4tn pn ： 2007 ？yes打印 nno结束13（本小题满分20 分）多面体 abcda1b1c1d1 的

6、直观图，主视图，俯视图，左视图如下所示c1d1ab11a2aadc2aaaab2a2直观图主 视 图俯视图左视图（）求 a1 a 与平面 abcd 所成角的正切值；（）求面aa1 d1 与面 abcd 所成二面角的余弦值；（）求此多面体的体积14（本小题满分20 分）如图，已知抛物线 c : x22 py p0 与圆 o : x2y2uuur uuur0 （ o 为坐标原8 相交于 a 、 b 两点，且 oagob点），直线 l 与圆 o 相切，切点在劣弧?两点）上，且与抛物线c 相交于 m 、 n 两点， d 是 m 、 nab （含 a、b两点到抛物线c 的焦点的距离之和( ) 求 p 的

7、值；( ) 求 d 的最大值，并求d 取得最大值时直线l 的方程ylnmbafo ox15（本小题满分 20 分）已知函数 f ( x)xsin x 是区间1,1上的减函数（）若 f ( x)t 2t 1在 x1,1上恒成立，求t 的取值范围；（）讨论关于x 的方程 ln xx22ex m 的根的个数x2007 年广州市高二数学竞赛参考答案1选 b 2选 a 3选 d4选 b 5填 16填 1 47填 2008 8填,2 9填 37 810填 2011 解：（） f (x)m gncos2xsin 2x23 cosxsinxcos2x3 sin 2x2 sin(2x) 260，函数 f ( x

8、) 的周期 t2由题意可知 t,即22, 解得 0122故的取值范围是 |01 （）由（）可知的最大值为1，f ( x)2sin(2x) 16f ( a)1，sin(2 a)21365而2 a，2a，a666636由余弦定理，知 cos ab 2c2a 2，b2c2bc 3 ，又 bc 3 ，2bcb2b1联立解得c或c12s abc1 bc sin a3 22（或用配方法() 233bc3,bc2s1bc sin a3b cbcabc）2212解：（）当 n1 时，由2s11a12a1 ，解得 a12，当 n 2 时，由 2 sn1an2an ，得 2 sn 11an 12an 1 两式相减

9、，并利用ansnsn1 ，求得 anan11数列 an 是首项为2，公差为1 的等差数列ann1 （ nn * ）（） bn是首项为 2，公比为2 的等比数列，bn2n 当 n 为偶数时， tna1a3lan12224l2na1an 1 n4 12n2n 2n 4 2n 1 142243n2（） pn24n （ n 为偶数），4设 dntnpn4 2n47 n4（ n 为偶数），323 d4d6d8d102007d12 d14l且 d22007 ，（利用数列的单调性或函数的单调性判断） dn2007 ，即 tnpn2007 （ n 为偶数）因此同学乙的观点正确d1c113（） 解： 由已知图可

10、得，平面a1 ab平面 abcd ，取 ab 中a1b1点 h ， 连 接a1 h ，在等腰a ab 中，有 a hab ，则 a h平面 abcddc111a ab 是 a a 与平面 abcd 所成的角kbah11 a1h2 ah ， tana1 h2a1 abah故 a1 a 与平面 abcd 所成角的正切值为2（）解法 1：取 ad 中点 k ，连接 d1k , kh ，同理有 d 1 k平面 abcd ，即ahk 是aa1 d1 在平面 abcd内的射影取 hk 的中点 m，取 a1d1 的中点 n，连接 mn ， am，an，则man 就是面 aa1 d1 与面 abcd 所成的二

11、面角 mn a， am2 a ， tanmanmn2 2 即 cos man14am3面 aa1 d1 与面 abcd 所成二面角的余弦值为1 3解法 2：取 ad 中点 k ，连接 d1k , kh ，同理有 d1 k平面 abcd ，即ahk 是aa1d1 在平面 abcd 内的射影，在aa1d1 中， aa1ad15 a, a1d12 a ， s aa d3a 2 ，又 s ahk1a2 ，221188设面 aa1 d1 与面 abcd 所成二面角的大小为，则 coss ahk1s aa1d13面 aa1 d1 与面 abcd 所成二面角的余弦值为1 31 1aa1（） 解： 该多面体为

12、长方体削去四个全等的三棱锥，每个三棱锥的体积都为aa3 4 1 a35 a3 322224此多面体的体积 va324614 ( )解：设点 a 的坐标为x1, y1x10，由于抛物线c 和圆 o 关于 y 轴对称，故点 b 的坐标为x1 , y1uuur uuury120 ， 即 x12y12q oagob0 ，x1 g(x1 )0q 点 a 在抛物线 c 上，x122 py1 2 py1y120 ， 即 y 2 p y0 11q y1 0,y12 p x12p 点 a 的坐标为2 p,2 p q 点 a 在圆 o 上，22 p28 ，又 p0，解得 p 12 pyl( ) 解法 1：设直线

13、l 的方程为： ykx b ，因为 l 是圆 o 的有 k 0 0b2 2 ，k21nmabf切线，则又 b0 ，则 b22k 22 即 l 的方程为： ykx2 2k22 联立ykx2 2k 22,x22 y.即 y22k 24 2k22 y 8 k 2 1 0 设 m xm , ym , nxn , yn ，则 ym yn 2k 24 2k22 如图，设抛物线c 的焦点为 f ，准线为 l ，作 mm 1 l, nn1o oxm1n1l ，垂足分别为m 1 , n1 由抛物线的定义有：d mf nf mm 1nn1ymyn1 2k 24 2k 22 1令 t2k 22 ，则 2k2t 22

14、 d t 225 4t 1 t 2又1k1， 2t 2当 t2时， d 有最大值 11当 t2时， k1 ，故直线 l 的方程为 yx4 解法 2：设直线l 与圆 o 相切的切点坐标为x0 , y0，则切线 l 的方程为 x0x y0 y 8 由x0 x y0 y8, 消去 x ，得 y02 y216 y02x02 y 64 0 x22 y.设 mxm , ym , n xn , yn ，则 ymyn16 y2x200y02如图，设抛物线c 的焦点为 f ，准线为 l ，作 mm 1l, nn1l ，垂足分别为 m 1 , n1 由抛物线的定义有：d mf nf mm 1nn1ymyn116y

15、02x021 y02q x028 y02 ，16 y02 8 y0216 162d11 1y2y02y01 165y020q 2y022 ，当 y02 时， d 有最大值 11当 y02 时， x02 ，故直线 l 的方程为 yx4 15解： （） qf ( x)xsin x 在1,1 上是减函数，f ( x)cos x0 在1,1 上恒成立，cos x,cos xcos1,1 ，- 1又qf ( x) 在1,1 上单调递减，f ( x) maxf (1)sin1,只需sin1 t 2t1，(t1)t 2sin110 （其中- 1）恒成立令 g()(t1)t 2sin11(-1 ) ，t10,，即t10,则10.t 1t 2sin1 10.gt-1,而 t 2tsin10 恒成立，t2tsin10.t-1（）令 f1(x)ln x , f2 (x)x22exm ，xq f1( x)