2012年高考训练题(03)抽象函数问题答案

1、.2012 年高考训练题（03）抽象函数问题2011 10.191. 设奇函数 f ( x) 在 (0，) 上为增函数，且f (1)0 ，则不等式f (x)f (x)0 的解集d ）x为（a (1，0) u (1， )b (， 1) u (01)， c (， 1) u (1，)d( 1，0) u (01)，2. 设定义在 r 上的函数 fx 满足 f xfx 213，若 f 12 ，则 f99(c )a 13b. 2c.13d.22133. 定义在 r 上的函数f ( x) 满足 f ( xy)f ( x)f ( y) 2xy （ x， yr ）， f(1)2 ，则 f ( 3) 等于（ c

2、）a 2b 3c 6d94. （辽宁卷12 ）设 f ( x) 是连续的偶函数，且当x0时 f ( x)是单调函数，则满足f ( x)fx3的所有 x 之和为（c）x4388a3bcd5定义在 r 上的函数f ( x) 既是奇函数，又是周期函数，t 是它的一个正周期. 若将方程f ( x) 0在闭区间t, t 上的根的个数记为 n ，则 n 可能为 d.a.0b.1c.3d.56. 已知定义域为 r 的函数 f(x) 在 (8,) 上为减函数，且函数 y=f(x+8) 函数为偶函数， 则（）a.f(6)f(7)b.f(6)f(9)c.f(7)f(9)d.f(7)f(10)答案： df (x8)

3、f (x 8). 即 yf ( x) 关于直线 x8 对称。又 f(x)解析：y=f(x+8)为偶函数，在 (8,) 上为减函数，故在(,8) 上为增函数，检验知选 d 。7. 若 f(x)是定义在 (0,+) 上的增函数，且对一切 x 0 满足 f ( x )f (x)f ( y) , 且 f(6)=1,y则不等式 f(x+3)-f(1/x) 2 的解集为.7. 抽象函数研究方法，赋值和创造使用对应法则及用单调性转化求解. 令 x=y=1 可得 f （ 1）=0；反复用对应法则f （ x+3）-f （ 1 ）=f （ x2+3x）. 而 2=2f （6），且 x0. 于是有 f （ x2+3

4、x）x0 x2-f （ 6） f （ 6）；即 f （ x23x ） f （ 6），可得3x 6，解之 ,0 x3 3 176628. 定义在 r 上的单调函数 fx , f3log 2 3 ，对于任意的实数m、n r，都有 f(m+n ) f(m) f(n)成立，若 f k ? 3xf 3 x 9x 2 0 对于任意的实数 r 恒成立，求实数 k 的取值范围 .8. 赋值 奇函数，单调性转化分离参数不等式求解f k ? 3xf 3x9x2 0, f k ? 3xf 3x9 x2 ,k ?3x3x9 x2, k 3x21,k 2 2 1.9.3xf x 1 . 若集合函数定义在 r 上，对任意

5、实数m,n ，恒有 fmn f m fn ，且当 x 0 时， 0ax, y f x2f y 2f 1, bx, y f axy 2 1,ar， 若 ab， 则 实 数 a的 取 值 范 围是.9. 创造使用对应法则和题设条件研究单调性切入，理解集合意义， 化归直线和圆的特殊位置求解 . 赋值，用定义和题设条件证明减函数. 设 xx,x2x 0, 0f x2x1，用对应法则1211;.f x21f x1x2x1f x1f x2x1 ,f x21,f x2f x1，即 f x 数上的减函数. 由法 和 0f x1 性 a 为 x2y21,b为axy2 0 上的点， ab， 位 和恒 定点的直 系

6、相离或相切，即21 ，解得 数a 的取 范 3, 3.a 2110. 函 数 f(x)对 任 意 x1,x 2 r, 当 x1+x 2=1 时 , 恒 有 f(x 1)+f(x 2 )=1, 且f(0)=0,若a =f(0)+f(1/n)+f(2/n)+ +f(n-1/n),则 a =nn10. 依据 法 和所求 的 构特征， 造用 法 ，整体把握用等差数列前n 和公式推 方法“反序求和”. 由 an =0+f(1)+f(1/n)+f(2/n)+f(n-1/n),a n = f(n-1/n)+f(n-2/n)+ +f(1/n)+0，相加用 法 有2an= f(1/n)+f(n-1/n) +f(

7、2/n)+f(n-2/n)+ f(n-1/n)+f(1/n)=n+1, 故 ann1 .是定 域 r+，且 任意的211. 函数 f(x)x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y),，当且 当 x1 ，f(x)1成立， 不等式f(ax1 )f(ax-3)(0af(x)和 f(x1)-f(x)=f(x1/x )0,而 x1 ， f(x)1成立 ,222+由知，由 f(a1 )f(ax-3)得，( a 1 )/(ax-3) 1,则 x1/x 21. 又 x1,x 2 r ，故 x 1x2.xx且 a x-30, 解得 3ax5 , 而 0a1, 故 log a5xlog a3.12. 已 知 函

8、 数fx满 足 ： 对 任 意 的 实 数 f x yf x f y 2xy1 成 立 ， 且f 10; 当x1时 , fx0. （ 1）若 anf n ， 数列 an的通 公式 ；（ 2）不等式f x 22x3120 的解集 12. 特殊 化 等差型数列“累加法”求通 ； 用法 判断 性；特殊性 性 化解不等式 .（ 1） f n1f n2n1， n1个等式累加有f nf 1 3 5 72 n 1, f 10, a nf nn 21；x1x2 1, x1x21 1, f x1x21f x1 x2（2） 性 明中用法 ，f12 x1x21,fx1x2f x1x212 x1x21,f x1f x

9、2f x2x1x2f x2f x1x22x2 x1 x21 f x1x21 2 x1x22 x2 x1 x2fx1x212 x1x2x210,即为增函数 .（ 3）注意（ 1） 性 化解得2x4.刻画抽象函数本 属性的特征量 其 法 和 条件，如何 造使用 法 和 条件已成 求解的关 .13. 已 知 f x是 r上 的 减 函 数 ， 且 fxxf x（ 1 ）对 于 任 意 的x1, x2 r ,求 ： fx1x1 fx1x2，并判断fx1f x2fx1x2是否 fx是 r 上减函数的必要条件； （ 2） 如果（ 1）中判断成立， 将其推广一般情形（不必 明）；若不成立， 写出一个正确的

10、（不必 明）。13. 利用两函数之 的关系，f xfxr ,0 x1x1x2 ,0 x2x1 x2, x1, x2xq fx 是减函数， f x1f x1x2, fx2fx1x2,f x1x1 f x1x2 , f x2x2 f x1x2 , f x1f x2x1x2 f x1 x2 ,即f x1f x2f x1x2 明 xr,f xr上的减函数可以得出fx1f x2fx1 x2，即是必要条件；（2） 可推广： 任意x1 , x2 ,xnr, 有f x1f x2f xnf x1 x2xn .;.14. 已知 f （ x）是定义在 r上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b r，都满足 f （ a

11、b）=af （b）+bf （ a）. 求 f （ 0）， f （ 1）的值；判断 f （x）的奇偶性，并证明你的结论； 若 f （ 2） =2， u nf 2n（ nn），求数列 u的前 n 项和 snn。n解：赋值求值和研究奇偶性 .令 a=b=o，则 f(0)=0.f(1)=f (1 1)=f(1)+f(1)=2f(1),f(1)=0；f(x)为 奇 函 数 ； f(1)=f (-1)2 =-f(-1)-f(-1)=0,f(_-1)=0,于 是f(-x)=f(-1x)= -f(x)+xf(-1)=-f(x),即为奇函数；若注意到目标f 2nu n，整体思维，n构造辅助函数g xfx，因 f （ ab） =af （ b） +bf （ a） . 所以xab0时， g abfabf bfag bg a .abba于是，构造的整体抽象函数g x ，满足g ab g a g b , g anng a , f ana n g annan g a nan 1 f a ,u nf 2 n1n