2014年天津市高考数学试卷(理科)

1、.2014 年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8 小题，每小题 5 分）1（5 分） i 是虚数单位，复数=（）a1i b 1+ic+i d+i2（5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y 的最小值为（）a2b3c4d53（5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出s 的值为（）a15b105 c245 d9454（5 分）函数 f（ ）（x2 4）的单调递增区间为（）x =loga（0，+）b（， 0） c（2，+）d（， 2）5（5 分）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）

2、.a=1 b=1c=1d=16（5 分）如图， abc是圆的内接三角形， bac的平分线交圆于点d，交 bc于 e，过点 b 的圆的切线与 ad 的延长线交于点 f，在上述条件下，给出下列四个结论： bd平分 cbf； fb2=fd?fa； ae?ce=be?de； af?bd=ab?bf所有正确结论的序号是（）abcd7（5 分）设 a，br，则 “ab”是“a| b| b| ”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件8（5 分）已知菱形 abcd的边长为 2， bad=120，点 e、f 分别在边 bc、dc上，= ，=，若?=1，?=，则 +=（）abcd.

3、二、填空题（共6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9（5 分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生10（5 分）一个几何体的三视图如图所示 （单位：m），则该几何体的体积为m 311（ 5 分）设 an 是首项为 a1，公差为 1 的等差数列， sn 为其前 n 项和，若s1， s2，s4 成等比数列，则a1 的值为12（5 分）在 abc中，内角 a，b，c 所对的边分别是a，b，c，已知

4、 bc= a，2sinb=3sinc，则 cosa的值为13（ 5 分）在以 o 为极点的极坐标系中，圆 =4sin 和直线 sin 相=a交于 a、b 两点，若 aob是等边三角形，则a 的值为14（ 5 分）已知函数f（ x）=| x2+3x| ， xr，若方程 f（ x） a| x1| =0 恰有 4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为.三、解答题（共6 小题，共 80 分）15（ 13 分）已知函数 f （x）=cosx?sin（x+）cos2 x+，xr（ ）求 f（ x）的最小正周期；（ ）求 f（ x）在闭区间 ， 上的最大值和最小值.16（ 13 分）某大学志愿者协会有6 名

5、男同学， 4 名女同学，在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这 10 名同学中随机选取3 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同） （ ）求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；（ ）设 x 为选出的 3 名同学中女同学的人数， 求随机变量 x 的分布列和数学期望.17（ 13 分）如图，在四棱锥pabcd中， pa底面 abcd，adab， abdc，ad=dc=ap=2， ab=1，点 e 为棱 pc的中点（ ）证明： bedc；（ ）求直线 be与平面 pbd所成角的正弦值；（ ）若 f 为棱

6、pc上一点，满足 bfac，求二面角 f abp 的余弦值.18（ 13 分）设椭圆+=1（a b0）的左、右焦点分别为f1、f2，右顶点为 a，上顶点为 b，已知 | ab| =| f1f2| （ ）求椭圆的离心率；（ ）设 p 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 pb 为直径的圆经过点 f1，经过原点 o 的直线 l 与该圆相切，求直线 l 的斜率.19（ 14 分）已知 q 和 n 均 定的大于 1 的自然数， 集合 m= 0，1，2，q1 ，集合 a= x| x=x1+x2q+xnqn 1， xi m，i=1，2，n（ ）当 q=2，n=3 ，用列 法表示集合a；（ ） s，t a，s=

7、a1+a2q+anqn 1，t=b1+b2q+bnqn 1，其中 ai，bim，i=1，2，n 明：若 anbn， st .20（ 14 分）设 f（x）=xaex（ar），x r，已知函数 y=f（x）有两个零点 x1，x2，且 x1 x2 （ ）求 a 的取值范围；（ ）证明：随着 a 的减小而增大；（ ）证明 x1+x2 随着 a 的减小而增大.2014 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8 小题，每小题 5 分）1（5 分）（2014?天津） i 是虚数单位，复数=（）a1i b 1+ic+i d+i【分析】 将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数34i，即

8、求出值【解答】 解：复数=，故选 a2（5 分）（2014?天津）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=x+2y的最小值为（）a2b3c4d5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】 解：作出不等式对应的平面区域，由 z=x+2y，得 y=，平移直线 y=，由图象可知当直线y=经过点 b（ 1，1）时，直线y=的截距最小，此时z 最小此时 z 的最小值为 z=1+21=3，故选： b.3（5 分）（2014?天津） 如 的程序框 ，运行相 的程序， 出s 的 （）a15b105 c245 d945【分析】 算法的功能是求 s=1 3 5（

9、2i+1）的 ，根据条件确定跳出循 的 i ， 算 出 s 的 【解答】 解：由程序框 知：算法的功能是求s=135（ 2i+1）的 ，跳出循 的 i 值为 4， 出 s=1 3 5 7=105故 ： b4（5 分）（2014?天津）函数 f（x）=log（x2 4）的 增区 （）.a（0，+）b（， 0） c（2，+）d（， 2）【分析】令 t=x2 40，求得函数 f（ x）的定义域为（， 2）（2，+），且函数 f（x）=g（ t）=log t根据复合函数的单调性，本题即求函数 t 在（，2）（2，+） 上的减区间再利用二次函数的性质可得， 函数 t 在（， 2）（ 2，+） 上的减区间

10、【解答】 解：令 t=x240，可得 x2，或 x 2，故函数 f（x）的定义域为（， 2）（ 2，+），当 x（， 2）时， t 随 x 的增大而减小， y=logt 随 t 的减小而增大，所以 y=log（x2 4）随 x 的增大而增大，即f（ x）在（， 2）上单调递增故选： d5（5 分）（2014?天津）已知双曲线=1（ a 0， b 0）的一条渐近线平行于直线 l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 （）a=1 b=1c=1d=1【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线 l： y=2x+10，可得=2，结合 c2=a2+

11、b2，求出 a，b，即可求出双曲线的方程【解答】 解：双曲线的一个焦点在直线l 上，令 y=0，可得 x= 5，即焦点坐标为（ 5，0）， c=5，双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，. =2， c2=a2+b2， a2=5，b2=20，双曲线的方程为=1故选： a6（5 分）（2014?天津）如图， abc是圆的内接三角形，bac的平分线交圆于点 d，交 bc于 e，过点 b 的圆的切线与 ad 的延长线交于点f，在上述条件下，给出下列四个结论： bd平分 cbf； fb2=fd?fa； ae?ce=be?de； af?bd=ab?bf所有正确结论的序号是（）a

12、bcd【分析】本题利用角与弧的关系， 得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项【解答】 解：圆周角 dbc对应劣弧 cd，圆周角 dac对应劣弧 cd， dbc=dac弦切角 fbd对应劣弧 bd，圆周角 bad对应劣弧 bd， fbd=baf. ad 是 bac的平分线， baf=dac dbc=fbd即 bd 平分 cbf即结论正确又由 fbd=fab， bfd=afb，得 fbd fab由，fb2=fd?fa即结论成立由，得 af?bd=ab?bf即结论成立正确结论有故答案为 d7（5 分）（2014?天津）设 a，br，则 “ab”是“a| b| b|

13、 ”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件【分析】根据不等式的性质， 结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】 解：若 a b， a b 0，不等式 a| a| b| b| 等价为 a?a b?b，此时成立 0 ab，不等式 a| a| b| b| 等价为 a?a b?b，即 a2b2 ，此时成立 a 0b，不等式 a| a| b| b| 等价为 a?a b?b，即 a2 b2，此时成立，即充分性成立若 a| a| b| b| ，当 a0，b0 时， a| a| b| b| 去掉绝对值得，（ab）（a+b） 0，因为 a+b 0，所以 ab0，即

14、 ab当 a0，b0 时， a b当 a0，b0 时， a| a| b| b| 去掉绝对值得，（ab）（a+b） 0，因为 a+b 0，所以 ab0，即 ab即必要性成立，综上 “ab”是“a| b| b| ”的充要条件，故选： c8（5 分）（2014?天津）已知菱形abcd的边长为 2， bad=120，点 e、f 分别.在边 bc、dc上，=，=，若?=1，?=，则 +=（）abcd【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义， 两个向量的数量积的定义由?=1，求得 4+42 =3；再由?=，求得 +=结合求得+的值【 解 答 】 解 ： 由 题 意 可 得 若?= （+） ? （

15、+）=+=22cos120 + + ? + ? =2+4+4+22cos120 =4+4 22=1， 4+42 =3? = ?（ ）=（1 ） ?（1） =（ 1 ） ?（1）=（1）（ 1 ） 22cos120 =（1+）（ 2）=，即 += 由求得 +=，故答案为：二、填空题（共6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9（5 分）（2014?天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比.为 4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60 名学生

16、【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例， 再用样本容量乘以该比列，即为所求【解答】 解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为= ，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300=60，故答案为： 6010（ 5 分）（2014?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体， 判断圆柱与圆锥的高及底面半径， 代入圆锥与圆柱的体积公式计算【解答】 解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为 2，底面直径为 4，几何体的体积v=12 4+22 2=4+ = 故答案为：11（

17、 5 分）（ 2014?天津）设 an 是首项为 a1，公差为 1 的等差数列， sn 为其前.n 项和，若 s1，s2， s4 成等比数列，则a1 的值为【分析】 由条件求得， sn=，再根据s1，s2， s4 成等比数列，可得=s1?s4，由此求得 a1 的值【 解 答 】 解 ： 由 题 意 可 得 ， an=a1+ （ n 1 ）（ 1 ） =a1+1 n ，sn=，再根据若 s1， 2， 4 成等比数列，可得1 4，即1 （1 ），s s=s ?s=a ?4a 6解得 a1=，故答案为：12（ 5 分）（2014?天津）在 abc中，内角 a，b，c 所对的边分别是a，b，c，已知

18、bc=a，2sinb=3sinc，则 cosa 的值为【 分析 】由 条 件利 用 正 弦定 理 求 得a=2c， b=， 再由 余弦 定理 求得cosa=的值【解答】 解：在 abc中， b c= a ， 2sinb=3sinc， 2b=3c ，由可得 a=2c，b=再由余弦定理可得cosa=，故答案为：13（5 分）（2014?天津）在以 o 为极点的极坐标系中， 圆 =4sin 和直线 sin =a 相交于 a、 b 两点，若 aob是等边三角形，则 a 的值为 3 .【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出b 的坐标的值，代入 x2+（y2）2=4，可得 a 的值【解答】 解：直线

19、sin =a即 y=a，（a0），曲线 =4sin，222，表示以 （ ， ）为圆心，以为半径的圆，即 +（y2）2=4 sin，即 x=4c 02 aob是等边三角形， b（a，a），代入 x2+（y2）2，可得（a）2+（a2）2，=4=4 a 0， a=3故答案为： 314（ 5 分）（2014?天津）已知函数 f（ x）=| x2+3x| ， x r，若方程 f（ x） a| x 1| =0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为 （0，1）（9，+） 【分析】 由 y=f（x） a| x 1| =0 得 f （x）=a| x 1| ，作出函数 y=f（x）， y=a| x

20、 1| 的图象利用数形结合即可得到结论【解答】 解：由 y=f（ x） a| x1| =0 得 f（x）=a| x1| ，作出函数 y=f（x），y=g（ x）=a| x1| 的图象，当 a0，两个函数的图象不可能有4 个交点，不满足条件，则 a0，此时 g（ x） =a| x1| =，当 3x 0 时， f （x）=x23x， g（ x） = a（ x1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时 x2 3x= a（ x 1），即 x2+（3a）x+a=0，则由 =（3a）2 4a=0，即 a2 10a+9=0，解得 a=1 或 a=9，.当 a=9 时， g（ x） = 9（ x1），g（0

21、）=9，此时不成立，此时 a=1，要使两个函数有四个零点，则此时 0a1，若 a1，此时 g（ x） = a（x1）与 f（ x），有两个交点，此时只需要当 x1 时， f（ x） =g（x）有两个不同的零点即可，即 x2+3x=a（x1），整理得 x2+（3a）x+a=0，则由 =（3a）2 4a0，即 a210a+90，解得 a1（舍去）或 a9，综上 a 的取值范围是（ 0，1）（ 9，+），方法 2：由 f（ x） a| x1| =0 得 f（x）=a| x1| ，若 x=1，则 4=0 不成立，故 x1，则方程等价为 a=| =| x1+5| ，设 g（x） =x1+5，当 x 1

22、时，（g x）=x 1+5，当且仅当 x 1=，即 x=3 时取等号，当 x1 时， g（x）=x 1+5=54=1，当且仅当（ x 1） =，即 x=1 时取等号，则 | g（x）| 的图象如图：若方程 f（x） a| x 1| =0 恰有 4 个互异的实数根，则满足 a 9 或 0a1，.故答案为：（0，1）（9，+）三、解答题（共6 小题，共 80 分）15（ 13 分）（2014?天津）已知函数 f （x）=cosx?sin（x+）cos2x+，x r（ ）求 f（ x）的最小正周期；.（ ）求 f（ x）在闭区间 ， 上的最大值和最小值【分析】（ ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对

23、解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（ ）由（ ）化简的函数解析式和条件中x 的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值【解答】 解：（）由题意得， f（ x） =cosx?（sinxcosx）=所以， f（x）的最小正周期=（ ）由（ ）得 f （x） =，由 x ， 得， 2x ， ，则， ，当=时，即= 1 时，函数 f（x）取到最小值是：，当=时，即=时， f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为16（ 13 分）（ 2014?天津）某大学志愿者协会有 6 名男同学， 4 名女同学，在这 10 名同学中， 3 名

24、同学来自数学学院， 其余 7 名同学来自物理、 化学等其他互不相同的七个学院，现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同） （ ）求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；（ ）设 x 为选出的 3 名同学中女同学的人数， 求随机变量 x 的分布列和数学期望【分析】（ ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3 名同学是来自互.不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（ ）随机变量 x 的所有可能值为 0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出随机变量 x 的分布列求出期望值【解答】（ ）解：设 “选出的 3 名同学是来自

25、互不相同学院”为事件 a，则，所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为（ ）解：随机变量 x 的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）所以随机变量 x 的分布列是x0123p随机变量 x 的数学期望17（ 13 分）（2014?天津）如图，在四棱锥 pabcd中， pa底面 abcd，ad ab，abdc， ad=dc=ap=2，ab=1，点 e 为棱 pc的中点（ ）证明： bedc；（ ）求直线 be与平面 pbd所成角的正弦值；（ ）若 f 为棱 pc上一点，满足 bfac，求二面角 f abp 的余弦值【分析】（i）以 a 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

26、求出be，dc的方向向量，根据?=0，可得 be dc；.（ ii）求出平面 pbd的一个法向量， 代入向量夹角公式， 可得直线 be与平面 pbd 所成角的正弦值；（ ）根据 bf ac，求出向量 的坐标，进而求出平面 fab和平面 abp的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角 fabp 的余弦值【解答】 证明：（i） pa底面 abcd，adab，以 a 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ad=dc=ap=2，ab=1，点 e 为棱 pc的中点 b（ 1， 0， 0），c（2，2，0），d（0，2，0），p（ 0，0，2），e（1，1，1） =（0，1，1）， =（2，0，0）

27、? =0， bedc；（ ） =（ 1，2，0）， =（1，0， 2），设平面 pbd的法向量 =（x，y，z），由，得，令 y=1，则 =（2，1，1），则直线 be与平面 pbd所成角 满足：sin =，故直线 be与平面 pbd所成角的正弦值为（ ）=（1，2，0），=（ 2， 2， 2），=（ 2， 2， 0），.由 f 点在棱 pc上，设 = =（ 2， 2， 2）（01），故 = + =（12，22，2）（ 0 1），由 bf ac，得 ? =2（12）+2（22） =0，解得 =，即 =（ ， ， ），设平面 fba的法向量为=（a，b，c），由，得令 c=1，则=（0， 3，1

28、），取平面 abp的法向量=（0，1，0），则二面角 f ab p 的平面角 满足：cos =，故二面角 f ab p 的余弦值为：18（13 分）（2014?天津）设椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为f1、f2，右顶点为 a，上顶点为 b，已知 | ab| =| f1f2| （ ）求椭圆的离心率；（ ）设 p 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段pb 为直径的圆经过点 f1，经过原点 o 的直线 l 与该圆相切，求直线 l 的斜率【分析 】（ ）设 椭圆的 右焦 点为 f2 （c，0），由| ab| =1 2可得| f f |，再利用 b2=a2c2， e=即可得出（ ）由（ ）可得 b2

29、2可设椭圆方程为，设 p（ x0， 0），由1=cyf.（ c，0）， b（ 0，c），可得，利用圆的性质可得，于是=0，得到 x0+y0+c=0，由于点 p 在椭圆上，可得联立可得=0，解得 p设圆心为 t（ x1 ，y1），利用中点坐标公式可得 t，利用两点间的距离公式可得圆的半径r 设直线 l 的方程为：y=kx利用直线与圆相切的性质即可得出【解答】 解：（）设椭圆的右焦点为f2（ c，0），由 | ab| =| f1f2| ，可得，化为 a2+b2=3c2又 b2=a2c2， a2=2c2 e=（ ）由（ ）可得 b2=c2因此椭圆方程为设 p（x0，0），由1（ ， ）， （ ， ）

30、，可得（ 0， 0），（ ， ）yfc 0 b 0 c= x +c y= c c，=c（ x0+c）0 ，+cy =0 x0+y0+c=0，点 p 在椭圆上，联立，化为=0， x00，代入 x0 0，可得+y +c=0 p设圆心为 t（x1，1），则 ，=y=.，xim ， i=1， 2， 3 . t， 的半径 r= 直 l 的斜率 k， 直 l 的方程 ： y=kx直 l 与 相切，整理得 k28k+1=0，解得直 l 的斜率 19（14 分）（2014?天津）已知 q 和 n 均 定的大于1 的自然数， 集合 m= 0， ，1，集合12 nn 1， xim， ，n1 2qa= x| x=x

31、 +x q+x qi=1 2（ ）当 q=2，n=3 ，用列 法表示集合 a；（ ） s，t a，s=a12 nn 1，t=b12 nn 1，其中 ai， i，+a q+a q+b q+ +bqbm i=12，n 明：若 anbn， st 【分析】（ ）当 q=2， n=3 ， m= 0，1 ， a= x|， xi m ，i=1，2，3 即可得到集合 a（ ）由于 ai，im，nn，可得n n bi=1 2nabab1由 意可得 st=（ a11）（2 2） +b+ abq+ + 1+q+qn 2+qn1 ，再利用等比数列的前n 和公式即可得出【解答】（ ）解：当 q=2，n=3 ，m= 0，

32、 1 ，a= x|.可得 a= 0，1，2，3，4，5，6，7 （ ） 明：由 s，t a， s=an1，t=bn 1，其中 a，bi1+a2 q+ +anq1+b2q+ +bnqi m，i=1，2，nan bn， an bn 1可得 st=（a1 1） （ 2 2） +b + a b q+n 2 n1 1+q+q +q= 0 st 20（ 14 分）（ 2014?天津） f（x）=x aex（ a r），xr，已知函数 y=f（ x）有两个零点 x1， x2，且 x1 x2（ ）求 a 的取 范 ；（ ） 明：随着 a 的减小而增大；（ ） 明 x1+x2 随着 a 的减小而增大【分析】（） f（x）求 ， f （x）的正 以及 f（x）的 性，得出函数 y=f（ x）有两个零点的等价条件，从而求出 a 的取 范 ；（ ）由 f（ x）=0，得 a=， g（ x） =，判定 g（x）的 性即得 ；（ ）由于 x1=a，x2=a， x2x1=lnx2lnx1=ln，令=t，整理得到x +x =，令 h（ x）=，x（ 1，+），得到 h（x）在（ 1，+12）上是增函数，故得到 x1 2随着t的减小而增大再由（