3.2一元二次不等式及其解法 2.ppt

1、,3.2,一元二次不等式及其解法,主要内容,一元二次不等式的应用,一元二次不等式的解法,探究,不等式的分类，有哪些不等式？,绝对不等式：对于一切实数都成立的不等式,矛盾不等式：对于一切实数都不成立的不等式,条件不等式: 对于一定实数范围内的未知数，不等式成立.,如 |x|0, x2+10, (a+b)20,如 |x+1|0, x2+10, (a+b)20,如 |x+1|1,1.依据不等式成立的条件分为以下三类：,2. 依据未知数的个数，可分为一元不等式、二元不等式、多元不等式,如： x+23x是一元不等式 x+y1是二元不等式,3. 依据未知数的最高次数，可分为一次不等式、二次不等式、高次不等

2、式,如： x+23x是一次不等式 x2+x2 是二次不等式 x（x+1）（x-2）0是高次不等式,4. 依据其它形式： 如含有绝对值的不等式, 含有分式的不等式, 无理不等式、超越不等式等.,如：1) |x-2|3,4） log2xx2-4x,复习,一元一次不等式的解法,ax+b0,当a=0,b0时，不等式的解集为R,当a=0,b0时，不等式的解集为,当a0时，不等式的解集为x|x ,当a0时，不等式的解集为x|x ,(其中a，b为常数，x为未知数）,思考？,一元二次不等式的解集如何求呢？,我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.,如关于x的一元二次不等式

3、 ax2+bx+c0 其中a，b，c是常数.,探究,如何求解一元二次不等式? 如x2-5x0,首先探究一元二次不等式x2-5x0和一元二次函数y=x-5x及一元二次方程x2-5x=0的关系.,1. 方程x2-5x=0的解为x1=0,x2=5为二次函数y=x2-5x的零点.,2. 一元二次函数y=x2-5x的图象,x,y,0,观察函数的图象知,1) 当x5时，函数图象位于x轴上方，此时 y=x2-5x0;,2) 当x=0或x=5时， y=x2-5x=0;,3)当0x5时，函数图象位于x轴下方，此时 y=x2-5x0;,所以，不等式x2-5x0的解集为,同时 不等式x2-5x0的解集为,不等式x2

4、-5x0的解集为,不等式x2-5x0的解集为,结论,一般地， 如果对于一元二次方程,ax2+bx+c=0（a0),有两个不等的根 x1 = ，x2=,那么，不等式ax2+bx+c0(a0)的解集为,一元二次不等式的解法,其中,不等式ax2+bx+c0(a0)的解集为,不等式ax2+bx+c0)的解集为,不等式ax2+bx+c0(a0)的解集为,例1. 解下列一元二次不等式,1）x2-3x+20,3）-2x2+3x+20,2）x2-x-10,4）x(1-x)x(2x-3)+1,1）x2-3x+20,解： 方程x2-3x+2=0的解为x1=1, x2=2,所以不等式x2-3x+20的解集为 x|x

5、2,且二次项系数为1, 而10，如图所示：,2）x2-x-10,解：方程x2-x-1=0的解为x1= , x2=,所以不等式x2-x-10的解集为 x| x ,且二次项系数为1, 而10，如图所示：,3）-2x2-3x+20,方程2x2-3x-2=0的解为x1= , x2=2,所以原不等式的解集为 x| x2,解：由于二次项系数为-20, 先同解变形原不等式为 2x2+3x-20,方程3x2-4x+1=0的解为x1= , x2=1,所以原不等式的解集为 x| x1,解：先把不等式化为二次项为正数的标准式, 通过去括号，移项合并，同解变形原不等式为 3x2-4x+10,4）x(1-x)x(2x-

6、3)+1,探究,上述例子中对应的一元二次方程都有两个不等的实根,如果一元二次方程有两个相等的实根或没有实根，如何确定相应的一元二次不等式的解集呢?,ax2+bx+c=0(a0),2）当根的判别式=b2-4ac=0时，二次方程有两个相等的实根；,3）当根的判别式=b2-4ac0时，二次方程没有实根.,1）当根的判别式=b2-4ac0时，二次方程有两个不相等的实根；,1）4x2-4x+10,2）-x2+2x-30,例2. 解下列一元二次不等式,解：1） 原不等式变为（2x-1)20. 方程 4x2-4x+1=0 有两个相等的实根x1=x2=,二次函数y=4x2-4x+1的图象开口向上，与x轴有且只

7、 有一个交点( ,0)， 除了这个交点外，所有的函数 值y都大于零. 所以不等式4x2-4x+10的解集为,2）-x2+2x-30,解：1） 原不等式变为x2-2x+30. 由于=-80, 方程 x2-2x+3=0 无实根;,二次函数y=x2-2x+3的图象开口向上，与x轴没有交点，不存在x使得函数值y=x2-2x+30.,所以原不等式的解集为空集,一元二次不等式解法小结,R,一元二次不等式的应用,例3. 某同学要把自己的计算机接入因特网，现有ISP（网络服务公司）公司可以选择. 公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算）；公司B的收费原则是：在用户上网的第1小时内（含恰好1小时，下同

8、）收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）.,分析：一般说来， 一次上网时间不会超过17小时，所以不妨假设一次上网时间小于17小时. 此时比较一次上网在多长时间内能够保证选择公司A的上网费用小于或等于选择B所需费用.,解：假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x（元）. 公司B收取的费用为,如果能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少，则,整理得 x2-5x 0,解集为 x|0 x5,所以，当一次上网在5小时以内时，选择公司A的费用小于或等于选择公司B的费用；超过 5小 时，选择公司B的费用少.,例4.某种汽车在水泥

9、路面上的刹车距离s m和汽车车速x km/h有如下关系：,在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m, 那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到0.01 km/h）,移项整理得,x2+9x-71100,显然10,方程x2+9x-7110=0有两个实根，即 x1-88.94, x279.94. 所以不等式的解集为,解：设这辆汽车刹车前的车速至少为xkm/h,根据题意，我们得到,所以，这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.,练习某种商品每件60元，不加税收时，每年大约销售80万件.若政府收附加税，每销售100元要征收R元（叫做税率R%）,则每年的销售量将减少 万件，要使每年在

10、此项经营中收取税金不少于128万元，求R的取值范围.,反思提高,例5解关于x的不等式x2+(2-a2)x-2a20.,解：（x+2）(x-a2)0 方程（x+2）(x-a2）=0的根为 x1=-2,x2=a2 而a2-2,所以原不等式的解集为 得x| xa2,分析：这是一个带字母系数的一元二次不等式, 有时需要对字母进行讨论.,例6解关于x的不等式x2-(2+a)x+2a0.,解：原不等式化为（x-2）(x-a)0 方程（x-2）(x-a）=0的根为 x1=2,x2=a,分析：这是一个带字母系数的一元二次不等式,有时需要对字母进行讨论.,若a2,则原不等式的解集为x|2xa;,若a=2,则原不

11、等式的解集为空集;,若a2,则原不等式的解集为x|ax2.,例7.若不等式x2-mx+n0的解集为x|-5x1，求实数m、n的值.,解：根据解集为x|-5x1可构造一元二次方程：,（x+5）（x-1）0,即： x2+4x-5 0,与原不等式对照得 m=-4, n=-5.,例8关于x的方程（m-2）x2+(2m-3)x+m=0有两个均大于1的根，求m的取值范围.,解：设x1,x2为已知方程的两个根，则,把根与系数关系带入上式得,解不等式组得,例9关于x的不等式ax2+ax+a-10的解集为，求实数a的取值范围.,解：当a=0,原不等式变为 10, 解集为R, 不合题意；,得 a,综合上述 a,当a0时，原不等式为一元二次不等式，a应满足,1若不等式ax2+bx+10的解集为 ，则求实数a、b的值.,3已知关于x的方程x2+(m+2)x+m+5=0,问当实数 m在什么范围内取值时，方程有两个不同的正根？,2已知关于x的不等式（a2-4）x2+(a+2)x-10的解集为空集，求a的取值范围.,练习题,2.解答：如果a=-2, 原不等式为0 x2+0 x-10,解集为空集，故a=-2符合要求；