空间向量与立体几何--学习.探究.诊断(选修2-1)

1、.第三章空间向量与立体几何测试十一空间向量及其运算a学习目标1会进行空间向量的加法、减法、数乘运算2会利用空间向量基本定理处理向量共线，共面问题以及向量的分解3会进行空间向量数量积的运算，并会求简单的向量夹角基础性训练一、选择题1在长方体abcd a1b1c1d1 中， babcdd1 ()( a ) d1b1( b ) d1b( c) db1( d ) bd12平行六面体 abcd a1b1c1d 1 中， m 为 ac 和 bd 的交点， 若 ab a, ad b, aa1c ，则下列式子中与b1m 相等的是 ( )( a )( c)1 a1 bc221 a1 bc22( b )( d )

2、1 a 1 b c2 21 a1 b c223在平行六面体abcd a1b1c1d 1中，向量ab1、ad1、bd 是 ()( a ) 有相同起点的向量( b ) 等长的向量( c) 共面向量( d ) 不共面向量4已知空间的基底 i， j， k ，向量a i 2j 3k， b 2i j k， c i mj nk，若向量 c 与向量 a， b 共面，则实数m n ()( a ) 1( b) 1( c) 7( d ) 75在长方体 abcd a b cd中， ab 1， ad 2， aa 3，则 bd ac1 ( )11111;.( a ) 1( b) 0( c) 3( d ) 3二、填空题6在

3、长方体 abcd a b cd中，化简 abad aa1_.11117已知向量 i ，j，k 不共面，且向量 a mi 5j k，b 3i j rk，若 a b，则实数 m _，r _.8平行六面体 abcd a b c d1中，所有的棱长均为2，且 ab cc2 ，则 ab , cc1111 _；异面直线 ab 与 cc1 所成的角的大小为 _.9已知 i， j， k 是两两垂直的单位向量，且a 2i j k，b i j 3k，则 a b _10平行六面体 abcd a b cd中，所有棱长均为1，且 a ab a ad 60， ab111111ad，则 ac1 的长度为 _.三、解答题11

4、如图，平行六面体 abcd a b cd中， aba, ad b, aa1c ， e 为 a d中点，111111用基底 a， b， c 表示下列向量( 1) db1 , be, af ；( 2) 在图中画出dd1dbcd 化简后的向量12已知向量a 2i j 3k, b i j 2k， c5i 3j 4k，求证向量a， b， c 共面13正方体abcd a1b1c1 d1 中，棱长为1，e 为 cc1 中点，( 1) 求 ab1bc ；;.( 2) 求 ab1be, cosab1 , be拓展性训练14如图，点a 是 bcd 所在平面外一点，g 是 bcd 的重心，1求证： ag( abac

5、ad) ( 注：重心是三角形三条中线的交点，且cgge 2 1)第三章空间向量与立体几何测试十一空间向量及其运算 a1 d2 cb1mb1bbmc1 bdc1 ( ad ab)1 a1 b c 22223 c ad1ab1b1d1 bd,ab1、ad1、bd 共面4 b c a b i 3j 4k i mj nk， m 3，n 4，m n 15 cbd ac1 ( adab) ( abadaa1 ) ad 2ab2( ad ab) aa1| ad |2| ab |20 3 6 abadaa1acaa1a1c 17 m15 ， r58 120； 609 2105; | ac |2( abadaa

6、1 )2ab2ad 2aa122ab ad2 ad aa12 ab aa1 1 1 1 02cos60 2cos60 5;.1111 ( 1) db1a b c; be ba aa1 a1 e a c2 a1 b1a2 b c ；afabbfabbb1b1 fac1bb1)a11(bc2bc 22( 2) dd1dbcddd1(cd db )dd1cbdd1d1 a1da1 12解：设 c ma nb，则5i 3j 4k m( 2i j 3k) n( i j 2k) ( 2m n) i ( m n) j ( 3m2n) k，2mn5m 2mn 3，解得n，所以 c 2ab，所以向量 a， b，

7、 c 共面3m2n4113 ab1 bc1(abbb1) ( bccc1 )ab bc1ab cc1bb1bcbb1cc100011ab1be( ab bb1 ) (bc ce)ab bcab cebb1bcbb1ce0011022| ab1 |2,| be |5, cos ab1, beab1 be102| ab1 | be |1014证明 agaccgcg2 ce2 1 (cbcd)1 (cb cd)1 (caabcaad )33 233 agac1 (2caab ad )1 ( ab acad ) 33测试十二空间向量及其运算b学习目标1会进行向量直角坐标的加减，数乘，数量积的运算2掌握

8、用直角坐标表示向量垂直，平行的条件3会利用向量的直角坐标表示计算向量的长度和两个向量的夹角基础性训练一、选择题1 a ( 2， 3， 1) ， b ( 2，0， 3) ，c( 0， 0，2) ，则 a6b 8c()( a )( 14， 3， 3)( b )( 14， 3， 35)( c)( 14， 3， 12)( d )( 14， 3， 3)2下列各组向量中不平行的是( );.( a ) a ( 1， 2， 2) ， b ( 2， 4， 4)( b ) c ( 1， 0， 0) ，d ( 3， 0， 0)( c) e ( 2， 3， 0) ， f ( 0，0， 0)( d ) g( 2， 3，

9、 5) ， h ( 16， 24， 40)3已知向量 a ( 2， 1， 3) ，b( 4， 2， x) ，若 a b，则 x ()( a ) 2( b) 2( c) 10( d )31034与向量 ( 1， 2， 2) 共线的单位向量是 ()( a ) ( 1 , 2 , 2 ) 和 ( 1 , 2 , 2 )( b )33333 3( c) ( 1 , 2 , 2 ) 和 ( 1 , 2 , 2 )( d )3 333331 22(,)12 2(,)5若向量a ( 1， ， 2) ， b ( 2， 1， 2) ，且 a 与 b 的夹角余弦为8 ，则 等于 ( )9( a ) 2( b) 2

10、( c) 2 或 2( d ) 2 或55二、填空题2556已知点 a( 3，2，1) ，向量 ab ( 2，1，5) ，则点 b 的坐标为 _， ab _7已知 3( 2， 3，1) 3x ( 1， 2，3) ，则向量x _8若向量a ( 2， 1， 2) ，b ( 6， 3， 2) ，则 cos _9已知向量a ( 1，1，0) ，b ( 1，0，2) ，且 ka b 与 2a b 互相垂直， 则 k 值是 _10若空间三点a( 1，5， 2) ，b( 2，4，1) ，c( p，3，q 2) 共线，则 p _，q _三、解答题11已知向量a ( 1， 1， 2) ， b ( 2，1， 1)

11、 ，c ( 2， 2， 1) ，求( 1)( a c) a；( 2) a 2b c；( 3) cos a b， c12已知向量a ( 2， 1， 0) ， b ( 1， 2， 1) ，( 1)求满足 m a 且 m b 的所有向量 m( 2)若 | m | 2 30 ，求向量 m13已知向量 a ( 2， 1， 2) ， b ( 1， 2， 1) ，c( x，5，2) ，若 c 与向量 a，b 共面，求实数 x 的值14直三棱柱 abc a1b1c1 的底面 abc 中， cacb 1， bca 90，棱 aa12，m、 n 分别是 a1b1， a1a 的中点。如图，建立空间直角坐标系;.(

12、1) 求 bn 的坐标及bn 的长；( 2)求 cos ba1 ,cb1的值；( 3)求证： a1b c1m测试十二空间向量及其运算 b1 a2 db 2aa b；d 3cd c；而零向量与任何向量都平行3 c4 a5 ccosa,ba b68 ,22 或| a | b |3259556 ( 5， 1，6) ，307 x(71157,0) 8 cosa,b93321510 p 3，q 211 (ac)a 12;| a 2bc |99 ； cos ab,c2612 ( 1) 设 m ( x，y，z) 由已知得m a02xy0m b，x2 y，设 xa，则 y2a， z5a，0z 0所以 m (

13、a， 2a， 5a)( a r) ( 2) |m|a24 2 25 22 30，得 a 2，aa所以 m ( 2， 4，10) 或 m ( 2， 4， 10) 13因为 c 与向量 a，b 共面，所以设cma nb( m， n r)x2mnm3( x， 5， 2) m( 2， 1， 2) n( 1， 2， 1) ， 5m 2n ，所以 n 422mnx1014 ( 1) 解：依题意得b( 0， 1， 0) ，n( 1， 0， 1) ， bn(1, 1,1) | bn |(1 0)2(01)2(10)23 ( 2) 解： a1( 1， 0， 2) ， b( 0， 1， 0) ， c( 0， 0，

14、 0) ， b1( 0， 1， 2) ， ba1(1,1,2), cb1(0,1,2) ，;. ba1cb13,| ba1 |6,| cb1 | 5 cosba1cb130ba1 , cb110|ba1|cb1 |11,2) ，( 3) 证明： c1( 0， 0， 2) ， m ( ,22 a1b ( 1,1,2), c1m(1,1 ,0) a1b c1m 0 a1b c1m 22测试十三直线的方向向量与直线的向量方程学习目标1会写出直线的向量参数方程以及利用它确定直线上点的坐标2会用向量共线定理处理四点共面问题3会利用直线的方向向量和向量共线定理证明线线平行、线面平行，线线垂直、线面垂直4会

15、利用向量求两条异面直线所成的角基础性训练一、选择题1向量 oa =（ 1，2，0），ob =（ 1，0，6）点 c 为线段 ab 的中点， 则点 c 的坐标为 ()(a)(0 ， 2， 6)(b)( 2， 2， 6)(c)(0 ，1， 3)(d)( 1， 1， 3)2已知点 a( 2， 2， 4) ，b( 1， 5， 1) ，若 oc2)ab , 则点 c 的坐标为 (3(a) (2, 14 ,10)(b) ( 2,14,10) (c) (2,14 ,10)(d) ( 2, 14 ,10)333333333下列条件中，使点m 与点 a， b，c 一定共面的是 ()( a ) dm2oaoboc

16、( b )( c) ma2mbmc0( d )dm1 oa1 ob1 oc532omoaob oc04正方体 abcd a1b1c1d 1 中，棱长为 2，o 是底面 abcd 的中心， e，f 分别是 cc1，ad的中点，则异面直线 oe 与 fd 1 所成角的余弦值为 ( )( a ) 10( b) 15( c) 4( d ) 255535已知 a( 0，0，0) ，b( 1，1，1) ，c( 12， 1) ，下列四个点中在平面abc 内的点是 ( )( a )( 2， 3， 1)( b)( 1， 1， 2)( c)( 1， 2， 1)( d )( 1， 0， 3);.二、填空题6已知点a

17、( 1， 2， 0) ， b( 2， 1， 3) ，若点p( x， y， z) 为直线ab 上任意一点，则直线ab 的向量参数方程为( x， y， z) _，若 ap2bp 时，点 p 的坐标为 _.7已知 a，b，c 三点不共线， o 是平面外任意一点，若有op1 oa 2 oboc 确定53的点与 a， b, c 三点共面，则 _8若直线l 1 l 2，且它们的方向向量分别为a( 2， y， 6) ， b( 3，6，z) ，则实数 yz _9正方体abcd a1b1c1d1 的棱长为 2， m 是 dc 的中点，点n 在 cc1 上，且 d 1m an，则 nc 的长度为 _10正三棱柱a

18、bc a1 b1c1 中， ab aa1 2，则 a1c 与 bc1 所成角的余弦值为_三、解答题11直三棱柱abc a1b1c1 中， acb 90， ac bc cc1 1( 1) 求异面直线ac 1 与 cb1 所成角的大小；( 2) 证明： bc1 ab1 12如图，已知四棱锥pabcd 的底面为正方形，pa平面 abcd ， paad， e，f 分别是 ab， pc 的中点求证：ef 平面 pcd13如图，在直三棱柱abc a1b1c1 中， ac bc cc1，;.ac bc，点 d 是 ab 的中点( 1) 求证： ac1平面 cdb 1；( 2) 求异面直线ac 1 与 b1d

19、 所成的角的大小14正方体 abcd a1b1c1d1 中，m，n 分别是 ab，a1d 1 的中点， 求证： mn 平面 bb 1d1d 测试十三直线的方向向量与直线的向量方程1 c2 b3 c mcma2mb 4 b 如图，建立空间直角坐标系d xyz,fd1 ( 1,0,2) ，oe(1,1,1) , | cos fd1, oe|1555 dad 2 abac 所以向量 ad, ab, ac 共面，点 ( 1， 0， 3) 在平面 abc 内6 ( x， y， z) ( 1， 2， 0) t( 3， 1， 3) ； ( 5， 0， 6) ，此时 t 272 ；因为 12115538 59

20、 11如图，建立空间直角坐标系o xyz，104;.则 ca1(3,1,2), bc1( 3,1,2) ,|cosca1, bc1|1411解：如图，建立空间直角坐标系c xyz则 a( 1， 0， 0) ， b( 0，1， 0) ，b1( 0， 1，1) ， c1 ( 0， 0， 1)( 1) ac1( 1,0,1),cb1 (0,1,1)，cosac1 , bc1112，22异面直线ac1 与 cb1 所成角为60( 2) bc1(0, 1,1), ab1 (1,1,1) ，得 bc1ab1 0 ，所以 bc1 ab112证：如图，建立空间直角坐标系a xyz，设 ab 2，则： a( 0

21、， 0， 0) ， b( 2， 0， 0) ，c( 2， 2， 0) ，d ( 0， 2， 0) ，p( 0， 0， 2) ， e 为 ab 的中点， f 为 pc 的中点， e( 1， 0， 0) ， f( 1，1， 1),ef ( 0,1,1) cd ( 2,0,0), cd ef( 2,0,0) (0,1,1) 0 ef cd ;. pd( 0,2, 2), pd ef( 0,2, 2) (0,1,1) 0 ef pd因为 pd cd d， ef平面 pcd 13解：如图，建立空间直角坐标系c xyz，设 ac bccc 1 2，则 c( 0， 0， 0) ， a( 2， 0， 0) ，

22、b( 0， 2， 0) ， c1( 0， 0，2) ， b1( 0， 2， 2) ， d ( 1， 1， 0) ( 1) 设 bc1 与 b1c 的交点为e，则 e( 0， 1， 1) de( 1,0,1), ac1 (2,0,2)， de1 ac1 , de ac12de平面 cdb 1， ac1平面 cdb 1， ac1平面 cdb 1( 2) 设异面直线 ac 1 与 b1d 所成的角为，ac1 =( 2， 0，2) ， b1d =( 1， 1， 2) ，cos| cosac1 , b1d |3，所以 302异面直线 ac1 与 b1d 所成的角为 3014设 aba, adb, aa1

23、 c则 mnma1a111aa1 a1 ncb(b a) cbd aa1 ，2222因为 mn平面 bb 1d1d，所以 mn 平面 bb1d1d测试十四平面的法向量和平面的向量表示学习目标1会求平面的法向量2会利用平面的法向量证明两个平面平行和垂直问题基础性训练一、选择题1过点 a( 2， 5， 1) 且与向量 a( 3， 2，1) 垂直的向量 ()( a ) 有且只有一个( b ) 只有两个且方向相反( c) 有无数个且共线( d ) 有无数个且共面2设平面内两个向量的坐标分别为( 1， 2， 1) ， ( 1， 1， 2) ，则下列向量中是平面的法向量的是 ()( a )( 1， 2，

24、5)( b)( 1， 1， 1)( c)( 1， 1， 1)( d )( 1， 1， 1);.3已知空间中三点a( 0，2，3) ，b( 2，1，6) ，c( 1， 1，5) ，若向量 a 分别与 ab, ac都垂直，且 |a |3 ，则 a ()( a )( 1， 1， 1)( b )( 1， 1， 1)( c)( 1， 1，1)( d )( 1， 1， 1) 或 ( 1， 1， 1)4已知，平面与平面的法向量分别为m ( 1， 2， 3) ，n ( 2，3， 4) ，则 ()( a ) 5( b)5( c) 7( d )733335平面的法向量为m，若向量abm ，则直线 ab 与平面的位

25、置关系为 ()( a ) ab( b) ab( c) ab或 ab( d) 不确定二、填空题6已知，平面与平面的法向量分别为m， n，且 m( 1， 2， 5) ， n ( 3， 6，z) ，则 z _7如图，在正三棱锥s abc 中，点o 是 abc 的中心，点d 是棱 bc 的中点，则平面abc 的一个法向量可以是_，平面 sad 的一个法向量可以是_8若 a( 0， 2，1) ，b( 1， 1， 0) ，c( 2， 1， 2) 是平面内的三点，设平面的法向量a( x， y， z) ，则 x y z_ 9如图 ab 是圆 o 的直径， pa 垂直于圆 o 所在的平面， c 是圆 o 上非

26、a，b 的任意一点，则图中直角三角形共有 _个三、解答题10正方体abcd a1b1c1 d1 的棱长为2，( 1) 在图中找出平面abcd ，平面 add 1a1，平面 bdd 1 b1 的一个法向量；;.( 2) 以点 d 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出( 1) 中三个法向量的坐标11如图，四棱锥p abcd 中 , 底面 abcd 为矩形， pd底面abcd ，ad pd 2 ab 4，e， f 分别为 cd , pb 的中点求平面 aef 的一个法向量的坐标12如图，在正四棱柱 abcd a1b1c1d 1 中， ab 2， aa1 4， e， f ， m，n 分另是 a1d1，d

27、1d， bc， bb1 的中点求证：平面efc 1平面 amn 13正方体abcd a1b1 c1d1 中， p， m，n 分别是 dc， cc1， bc 中点求证：平面pa1a平面 mnd;.测试十四平面的法向量和平面的向量表示1 d2 b3 d4 c5c6 157 os; bc8 x y z 2 1 39 4 个， pac， pab， abc， pbc10解： ( 1) 由正方体可得：dd 1 平面 abcd ， ab平面 add 1a1 ，平面 abcd 的一个法向量为dd1 ，平面 add 1a1的一个法向量为ab ，连接 ac， acbd ， ac bb1 ，得 ac平面 bb 1d

28、1d ，平面 bdd 1b1的一个法向量为ac ( 2) 如图，建立空间直角坐标系d xyz，可得 d 1( 0， 0， 2) ，a( 2，0， 0) ， b( 2， 2， 0) ， c( 0， 2， 0) dd1( 0,0,2), ab( 0,2,0), ac( 2,2,0)11如图，建立空间直角坐标系d xyz，设 ad 2，可得 a( 0， 2，0) ， b( 4， 2， 0) ， c( 4， 0， 0) ，p( 0，0， 2) ， e( 2， 0， 0) ， f( 2， 1， 1) 平面 aef的一个法向量为m ( x，y， z) ，ae(2,2,0), af (2,1,1) ，2x2

29、 y0，令 x1，得 y 1， z 1，m( 1， 1， 1) 2xyz012如图，建立空间直角坐标系d xyz，;.可得 a( 2， 0，0) ， b( 2， 2， 0) ， c( 0， 2， 0) ，b1( 2， 2，4) ， d1( 0， 0， 4) ，c1( 0， 2， 4) ， e( 1， 0， 4) ， f( 0， 0， 2) ， m( 1， 2， 0) ， n( 2， 2， 2) 平面 efc 1 的一个法向量为m ( x， y， z) ，ec1(1,2,0), ef( 1,0, 2) ,ec1m0x2y0，所以，efm0x2z0令 y 1，得 x 2， z 1， m ( 2，

30、1， 1) 设平面 amn 的一个法向量为 n ( a， b，c) a2b0am( 1,2,0), an(0,2,2) ，所以2b2c0令 b1，得 a2， c 1， n ( 2，1， 1) 因为 m n，所以平面efc 1平面 amn 13如图，建立空间直角坐标系d xyz，设 ab 2，可得 a( 2， 0，0) ， b( 2， 2， 0) ， c( 0， 2， 0) ，b1( 2， 2，2) ， c1( 0，2， 2) ，p( 0， 1，0) ， m( 0，2， 1) ， n( 1， 2， 0) 平面 pa1a 的一个法向量为m ( x， y， z) ，aa1(0,0,2), ap (

31、2,1,0) ，2z02x，令 x1，得 y2， m ( 1， 2，0) ，y 0同理，平面 amn 的一个法向量为n ( a，b， c) ，a2b0dn (1,2,0), dm (0,2,1) ，所以c2b0;.令 b1，得 a 2， c 2， n ( 2， 1， 2) 因为 m n 0，所以 m n ，所以平面pa1a平面 mnd 测试十五直线与平面的夹角、二面角学习目标1会利用定义求直线与平面的夹角，二面角2会利用平面的法向量求直线与平面的夹角，二面角3会根据所给的几何体，合理的建立空间直角坐标系解决相关角度问题基础性训练一、选择题1若直线 l 与平面 成角为在平面 内，且直线 l 与直

32、线 a 异面，则直线l 与直，直线 a3线 a 所成的角的取值范围是 ()( b) 2 ( a ) (0, ,( c) ,( d ) (0, 3333222已知二面角 l 的大小为 ，异面直线 a， b 分别垂直于平面， ，则异面直线a，3b 所成角的大小为 ()2( a )( b)( c)( d )63233正方体 abcd a1b1c1d1 中， bc1 与平面bdd 1b1 所成角的大小为 ( )( a )( b)( c)( d )64324正方体 abcd a b c d中，点 e 为 bb中点，平面 a ec 与平面 abcd 所成二面角的111111余弦值为 ()2363( a )

33、( b)( c)( d )22335 abcd 为正方形， e 是 ab 中点，将 dae 和 cbe 折起，使得ae 与 be 重合，记a，b 重合后的点为p，则二面角d pe c 的大小为 ()( a )( b)( c)( d )6432二、填空题;.6设 n1， n2 分别为一个二面角的两个半平面的法向量，若n1 , n22 ，则此二面角的大小为 _.37棱长为 1 的正方体 abcd a b c d ， p 是棱 cc上一点， cpm，且直线 ap 与平面111111122 ，则 m _bbd d 所成的角的正弦值为38正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为_9在三棱锥 o abc 中，三条棱 oa，ob，oc 两两互相垂直，且oaob oc，m 是 ab的中点，则 om 与平面 abc 所成角的余弦值是 _ 10如图，已知正三棱柱abc a b c的所有棱长都相等，d 是 a c的中点，则直线