高中数学人教A选修22课件习题课12导数的计算

1、习题课导数运算及几何意义的综合问题,1.导数的几何意义 (1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率等于 函数f(x)在x0处的导数f(x0). (2)曲线的切线与该曲线不一定只有一个公共点. (3)“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”含义是不同的,“曲线在点P处的切线”时,点P就是切点,而“曲线过点P的切线”时,点P不一定是切点. 2.导数的定义,答案:C,做一做2已知直线y=kx+b与曲线f(x)=ax2+2+ln x相切于点P(1,4),则b=() A.3B.1C.-1D.-3 解析:由点P(1,4)在曲线f(x)=ax2+2+ln x上可得a=2,则f(x)=2x

2、2+2+ln x,所以f(x)= ,所以曲线在x=1处的切线的斜率k=f(1)=5,因此切线方程为y=5x+b.由点P(1,4)在切线上,可得b=-1. 答案:C,答案:A,做一做4若函数f(x)=2f(1)ln x+3x,则f(2)= () A.1B.-1C.3D.0,答案:D,做一做5设f(x)=aex+bln x,且f(1)=e,f(-1)= ,求a,b的值.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,导数几何意义的综合问题 【例1】已知函数f(x)=x3+x-16. (1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的

3、方程及切点的坐标. 分析:利用导数的几何意义求解,但要注意(2)中切线经过原点,而原点不在曲线上,故应另设切点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,变式训练1若曲线y=x3+3ax与直线y=3x+1相切,求a的值.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,导数运算的综合问题 【例2】 用导数的方法求和:1+2x+3x2+4x3+2 016x2 015(x0且x1). 分析:结合幂函数的求导法则及等比数列求和公式求解.,探究一,探究二,探究三,思想方法

4、,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,变式训练2已知函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-2 016),求f(1)+f(2 016)的值. 解:由于f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-2 016), 令g(x)=(x-2)(x-3)(x-2 016), 则f(x)=(x-1)g(x), 所以f(x)=g(x)+(x-1)g(x), 于是f(1)=g(1)+0g(1)=g(1)=-1232 015. 同理,设h(x)=(x-1)(x-2)(x-2 015),即f(x)=(x-2 016)h(x), 则f(x)=h

5、(x)+(x-2 016)h(x), 所以f(2 016)=h(2 016)=2 0152 0142 0131, 故f(1)+f(2 016)=0.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,对导数定义式的理解:,答案:B,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,答案:D,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,等价转化思想在导数几何意义中的应用 典例已知点P是曲线y=f(x)=x2-ln x上任意一点,求点P到直线y=x-2的距离的最小值. 审题视角:所求点P应为与直线y=x-2平行的曲线y=x2-ln x的切线的切点,此时最小距离应为该

6、切线与已知直线之间的距离,即切点到已知直线的距离,从而转化为求曲线y=x2-ln x的斜率等于1的切线的切点坐标问题,故可借助导数的几何意义进行求解.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,答案:B,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,1.若曲线f(x)= x3+x2+mx的切线中,只有一条与直线x+y-3=0垂直,则实数m的值等于() A.2B.0C.0或2D.3 解析:依题意,只有一条切线的斜率等于1,又f(x)=x2+2x+m,所以方程x2+2x+m=1只有一个实数根,于是=4-4(m-1)=0,解得m=2. 答案:A 2.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程为x-y+2=0,则f(1)+f(1)=() A.1B.2C.3D.4 解析:由条件知点(1,f(1)在直线x-y+2=0上,且f(1)=1, 故f(1)+f(1)=3+1=4. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,答案:2,答案:-12,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,5.求垂直于直线2x-6y+1=0,且与曲线f(x)=x3+3x2-5相切的直线方程. 解:设切点为P(a,b),f(x)=3x2+6x,直线2x-6y+1=0的斜率等于