6.1.数学选修1-1、2-1第二章：圆锥曲线

1、各位老师,高 中 数 学 选 修2-1、1-1第二章 圆锥曲线与方程,朝阳区高中数学教材分析专题讲座:,解析几何开篇语,代数几何熔一炉，乾坤变幻坐标书。 图形百态方程绘，曲线千姿计算求。 这首诗是专门讲数学的统一美的，讲代数和几何的密切关系。大千世界，荡荡乾坤，都由点构成。 点可以由坐标表示，点的变化也就是坐标的变化，因此可以用坐标的变化来描述乾坤的变幻。这就是“乾坤变幻坐标书”的意思，其中的“书”是动词，表示“书写”，也就是描述。图形可以用方程来描述，曲线的几何形状可以通过代数计算的方法来求出。这些就是解析几何的基本思想方法。,内 容 概 述,本章节主要包括曲线与方程、椭圆、双曲线、抛物线四

2、大节内容。主要介绍了椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质以及它们在生产生活中的应用；首先结合已学过的曲线及其方程的实例，介绍了曲线与方程的对应关系，给出了求曲线方程的一般步骤。在第二、三、四大节中分别研究了椭圆、双曲线和抛物线这三种圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，人解析几何里讨论的曲线性质包括：曲线的范围；曲线的对称性；曲线的截距；不同曲线所具有的一些特殊性质。,知 识 框 图,教 材 地 位,本章继续采用必修（二）中研究直线与圆所用的坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质；通过方程组研究直线与圆锥曲线的位置关系；在感性认识的基础上，进

3、一步认识曲线与方程的关系。在这个过程中，进一步用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题，进一步感受“数形结合”的基本思想。 “圆锥曲线与方程”是解析几何的重点内容，特别对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用。,课 程 目 标,在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，在本模块中，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻划现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。,三 维 目 标,1.知识与技能： 掌握椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质；了解双曲线、抛

4、物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质，能利用圆锥曲线的有关知识解决与圆锥曲线有关的简单实际应用问题。 2.过程与方法： 进一步体会数形结合和等价转化的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力。,三 维 目 标,3.情感、态度与价值观： 感知几何图形的曲线美、简洁美、对称美，培养学生的观察能力、探究能力和学习数学的兴趣。,科 学 实 践,椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，圆锥曲线在现实世界、社会生活中有着广泛的应用。如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面等等。,学 法 指 导,1.重视圆锥曲线的定义在解题中的作用； 2.本章内容对运算能力要求比较高，在学习中要不断提高自己的运

5、算能力； 3.加强运用数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力； 4.要学会用类比的方法，如不同圆锥曲线间的类比，同一圆锥曲线不同形式间的类比等； 5.要学会反思，不断总结所学知识，形成自己的知识网络，反思解题过程、解题方法和规律。如求轨迹时，平面几何知识在简化解题过程中的应用。,课 时 安 排,2.1 曲线与方程 建议安排3课时； 2.2 椭 圆 建议安排5课时； 2.3 双 曲 线 建议安排4课时； 2.4 抛 物 线 建议安排3课时； 总结复习 建议安排3课时； 合计18课时,2.1 曲线与方程,教学重点： 曲线的方程、方程的曲线的概念。 教学难点： 理解曲线的方程、方程的曲线的

6、概念；求曲线的方程。,2.1 曲线与方程,1.相关知识回顾： （1）直线方程的五种形式； （2）圆的方程的两种形式。 2.三个知识点： （1）曲线的方程，方程的曲线： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解（曲线具有纯粹性）； 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（曲线具有完备性）。 只有同时具备了以上两个性质，才能称“曲线的方程” 和“方程的曲线”。,（2）求曲线的方程： 求曲线方程的一般步骤： 建立适当的坐标系； 写出适合条件P的点M的集合； 用坐标表示条件P（M),列出方程f(x,y)=0； 化方程f(x,y)=0为最简形式； 说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。 这五步可简写为：建系

7、设点、列等式、代换、化简、证明。 曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式。,（3）由方程研究曲线的性质： 研究曲线的组成和范围，即看一下所求曲线是由哪一些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围； 研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线的位置的关键点； 研究曲线的对称性； 研究曲线的变化趋势，即y随x的变化情况； 根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表描点的方法先画出曲线在一个象限的图象，然后根据对称性画出整条曲线。,合 作 学 习,1.如何应用集合的观点来理解曲线方程的定义？ 设

8、A是曲线C上所有点构成的集合，B是所有以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成的集合，则A是B的子集，同时B也是A的子集，因此A=B，于是建立了曲线与方程之间的等价关系。 2.在求曲线方程时，经常出现的问题是多解或漏解，应注意些什么问题？ 注意动点满足的隐含条件；在化简方程过程中要保持恒等变形；注意图形可能的位置不同或含字母参数取值不同时的讨论；充分利用几何图形的性质，将几何条件转化为坐标关系。,探 究 学 习,已知曲线方程如何画曲线？ 已知曲线方程画曲线，是解析几何研究的一方面内容，应根据已知曲线方程的特点，综合考虑曲线的性质，如曲线的范围、对称性、与坐标轴交点、曲线的类型等。这部分知识

9、常与函数、集合、不等式有密切联系，对于较为熟悉的曲线方程，可直接根据曲线类型、性质、特征作出曲线；对于较复杂的方程形式，一般先考虑化简再描点作图，且在化简过程中尽量保持同解变形。,主 要 题 型,题型1：曲线与方程的概念： 涉及曲线与方程概念的命题真假判定； 判定某方程是否为曲线的方程； 判定某曲线是否为某方程的曲线； 检验某些点是否在某曲线上； 画出某方程所表示的曲线。,主 要 题 型,题型2：求曲线方程： 用直接法求轨迹方程； 建立恰当的坐标系，求曲线方程； 用其他方法（如转代法、参数法、待定系数法、几何法等等。,主 要 题 型,题型3：求两曲线的交点： 求两曲线的交点坐标； 已知两曲线的

10、交点个数，确定参数的取值范围； 求两曲线交点间的长度（弦长）。,主 要 题 型,题型4：坐标法： 利用坐标法证明平面几何问题； 利用坐标法分析解决几何问题。,2.1 椭 圆,教学重点： 掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想。 教学难点： 椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用。,2.2.1 椭圆及其方程,1.相关知识回顾： （1）圆的定义； （2）圆的标准方程和一般方程； （3）求曲线方程的一般步骤。 2.两个知识点： （1）椭圆的定义； （2）椭圆的标准方程。,椭圆方程的一般形式,这种形式的方程在教材中没有明确给出，但在应用中有时比较方便，在此提供给大家，仅供参考。,可以看出：当A、B、

11、C同号，且AB时，上述方程便表示椭圆。,合 作 学 习,1.曲线的方程，依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应注意的地方。应注意观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理。发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁。 设椭圆的焦距为2c，椭圆上任意一点到两个焦点的距离和为2a，令 ，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要认真领会。,合 作 学 习,3.在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学习的难点。要注意这类方程的化简

12、方法： 方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他移至另一侧； 方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项。 教材第40页例1的“其他方法”可以是待定系数法。,自 主 学 习,2.探究与发现：,探 究 学 习,教材第41页例2的思考： （1）本题在求点M(x,y)的轨迹方程时，不是直接建立关于x,y之间关系的方程，而是先寻找x,y与中间变量 之间的关系，利用已知关于 之间关系的方程，得到关于是x,y之间的关系的方程，这种利用中间变量求点的轨迹方程的方法（称为相关点法）是解析几何中常用的方法。 （2）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆，将椭圆均

13、匀地压缩（拉长），可以得到圆（或新的椭圆）。,主 要 题 型,题型1：椭圆的定义： 1.判定两点距离之和为定值的动点轨迹的曲线类型； 2.利用椭圆的定义求曲线方程； 3.利用椭圆上任意一点到两焦点距离之和为定值分析解决问题。,主 要 题 型,题型2：椭圆的标准方程： 1.确定椭圆型的方程所表示曲线的类型； 2.由给出定形（即确定焦点位置）的椭圆标准方程确定有关参数的取值范围； 3.由椭的标准方程读出相关信息。,主 要 题 型,题型3：求椭圆的标准方程 1.给出所求轨迹为椭圆求其标准方程； 2.由定义判断所求轨迹为椭圆求其方程； 3.不能确定所求轨迹为椭圆,用轨迹方程的常用方法求其方程。,主 要

14、 题 型,题型4：椭圆的综合问题 1.与椭圆焦点三角形(以椭圆上的点与两焦点为顶点的三角形)有关的问题； 2.与椭圆有关的最值问题； 3.椭圆的实际应用问题。,2.2.2 椭圆的简单几何性质,1.相关知识回顾： （1）椭圆的定义； （2）椭圆的标准方程； （3）由方程研究曲线的性质： 曲线的组成和范围；与坐标轴是否相交；曲线的对称性；曲线的变化情况；作方程的近视曲线。,2.四个知识点： （1）范围； （2）对称性； （3）顶点； （4）离心率。,合 作 学 习,教材第46页中的“探究”： 1. 的大小也能刻画椭圆的扁平程度。,探 究 学 习,主 要 题 型,题型1：椭圆的简单几何性： 1.已知

15、椭圆方程，研究椭圆的简单几何性质； 2.给出椭圆的某些几何性质，求椭圆的标准方程； 3.给出椭圆的某些条件，求椭圆的某些几何量（如离心率、长轴长等）,主 要 题 型,题型2：椭圆的第二定义： 1.利用第二定义求椭圆方程； 2.将到定点（焦点）的距离转化为到定直线（准线）的距离； 3.判断曲线的形状； 4.椭圆的两个定义的综合应用； 5.给出椭圆准线求椭圆标准方程； 6.利用椭圆的焦半径公式解题。,主 要 题 型,题型3：直线与椭圆： 1.求直线与椭圆的交点坐标； 2.求直线被椭圆截得的弦长； 3.中点弦问题或与弦的中点的有关问题。,主 要 题 型,题型4：椭圆的应用： 1.利用椭圆知识解决有关

16、综合问题； 2.利用椭圆知识解决有关实际问题。,一个矩形框， 七个关键点。 焦距长短轴， 构成勾股弦。 两轴和原点， 对称都体现。 e等于c比a, 刻划扁与圆。,2.3 双 曲 线,教学重点: 了解双曲线的标准方程及其几何性质,进一步理解坐标法。 教学难点: 双曲线标准方程的推导与化简,双曲线的渐近线。,2.3.1 双曲线及其标准方程,1.相关知识回顾： （1）椭圆的定义； （2）椭圆的标准方程是怎样推导的？ 2.两个知识点： （1）双曲线的定义； （2）双曲线的方程。,合 作 学 习,探 究 学 习,主 要 题 型,题型1：双曲线的定义： 1.利用双曲线定义判定方程的曲线类型； 2.利用双曲

17、线的定义求曲线方程； 3.双曲线定义的逆向运用（即把“双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为常数”作为性质来用）。,主 要 题 型,题型2：双曲线的标准方程： 1.研究双曲线型方程所表示的曲线； 2.给出双曲线的标准方程及双曲线的焦点位置，求参数的取值范围； 3.给出某些条件，用待定系数法求双曲线的标准方程； 4.从双曲线的标准方程中读出有关信息（如a、b的值及焦点位置）。,主 要 题 型,题型3：双曲线与椭圆： 1.双曲线与椭圆类比迁移问题； 2.双曲线与椭圆的综合问题； 3.双曲线与椭圆的共同焦点问题。,主 要 题 型,题型4：双曲线方程的综合应用： 1.利用双曲线的形象直观解决有关最

18、值或求取值范围的问题； 2.双曲线方程在实际问题中的应用； 3.双曲线与其他知识的综合问题。,2.3.2 双曲线的简单几何性质,1.相关知识回顾： （1）双曲线的定义及其标准方程； （2）椭圆的简单几何性质。 2.五个知识点： （1）范围； （2）对称性； （3）顶点； （4）渐近线； （5）离心率。,合 作 学 习,探 究 学 习,主 要 题 型,题型1：双曲线的几何性质： 1.给出双曲线，研究其几何性质； 2.给出双曲线的几何性质，求双曲线的方程； 3.求双曲线某些几何量（如离心率等）。,主 要 题 型,题型2：双曲线的渐近线： 1.已知双曲线方程，求双曲线的渐近线方程； 2.已知双曲线的

19、渐近线方程，求双曲线方程； 3.双曲线渐近线与其他知识点的综合问题。,主 要 题 型,题型3：双曲线的第二定义： 1.利用双曲线的第二定义判定曲线类型； 2.将到定点的距离转化为到定直线的距离； 3.双曲线两个定义的综合运用； 4.求双曲线的准线方程和焦参数p； 5.给出双曲线的准线或准线间的距离，求双曲线的方程。,主 要 题 型,题型4：双曲线的焦半径： 1.利用双曲线的第二定义推导双曲线的焦半径公式； 2.利用双曲线的焦半径公式解题。,主 要 题 型,题型5：直线与双曲线： 1.求直线与双曲线的交点坐标； 2.求直线被双曲线截得的弦长； 3.中点问题或与弦的中点有关的问题。,椭圆分母看大小

20、， 焦点随着大的跑 双曲方程看正负， 焦点跟正去跑步,2.4 抛 物 线,教学重点与难点： 掌握抛物线的标准方程及其几何性质。,2.4.1 抛物线及其标准方程,三个知识点： 1.抛物线的定义； 2.抛物线标准方程的推导； 3.抛物线的标准方程的四种形式。,合 作 学 习,探 究 学 习,主 要 题 型,题型1：抛物线的标准方程： 1.求抛物线的标准方程； 2.给出抛物线的标准方程，求其焦点坐标和准线方程。,主 要 题 型,题型2：抛物线的定义： 1.确定方程所表示的曲线； 2.利用抛物线的定义分析解决问题。,主 要 题 型,题型3：抛物线定义与方程的应用： 1.利用抛物线的定义与标准方程解决实际问题； 2.利用抛物线定义和标准方程解决有关最值问题； 3.与抛物线定义和标准方程有关的综合问题。,2.4.2 抛物线线的简单几何性质,主要知识点： （1）范围； （2）对称性； （3）顶点； （4）离心率； （5）开口的大小,合 作 学 习,探 究 学 习,主 要 题 型,题