函数的周期性与函数的图象总结

1、.函数的周期性主要知识：1.周期函数的定义：对于f (x) 定义域内的每一个 x ，都存在非零常数t ，使得f (x t )f ( x) 恒成立，则称函数f (x) 具有周期性， t 叫做 f ( x)的一个周期，则 kt （ kz , k0）也是 f ( x) 的周期，所有周期中的最小正数叫f ( x) 的最小正周期 .2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数 yfx满足对定义域内任一实数x （其中 a 为常数） ,fxfxa，则 yfx是以 ta 为周期的周期函数；fxafx，则 f x是以 t2a 为周期的周期函数；fxa1，则 fx是以 t2a为周期的周期函数；fx fxaf

2、xa ，则 fx 是以 t2a 为周期的周期函数；f (ax)f (a x) ，则 f ( x) 是以 ta 为周期的周其函数；f (xa)1f (x) ，则 fx是以 t2a为周期的周期函数；1f (x) f (xa)1f (x)x是以 t4a为周期的周期函数 .1，则 ff (x)函数 yf (x) 满足 f (ax)f (ax) （ a 0 ）若 f (x) 为奇函数，则其周期为 t 4a ，若 f (x) 为偶函数，则其周期为 t 2a .函数 yf (x)x r 的图象关于直线xa 和 xbab 都对称，则函数 f (x) 是以2 b a为周期的周期函数；函数 yf ( x)x r

3、的图象关于两点a a, y0、 bb, y0a b 都对称，则函数f ( x) 是以 2 ba 为周期的周期函数；函数 yf (x)x r 的图象关于 a a, y0和直线 xbab 都对称，则函数 f (x) 是以 4 ba 为周期的周期函数；图象的对称性一个函数的对称性：1 、函数 yf (x) 的图象关于点(a,b)对称f (x) 2bf (2ax)f (ax)f ( ax) 2b特殊的有：函数 yf (x) 的图象关于点 (a,0) 对称f (x)f (2a x)。函数 yf (x) 的图象关于原点对称（奇函数）f (x)f ( x) 。函数 yf ( x a) 是奇函数f ( x)

4、关于点 a,0对称。f (ax) f (b x) c ，函数 yf ( x) 关于点 ( ab , c )对称222 、两个函数的对称性：. yf (x) 与 yf (x) 关于 x 轴对称。 yf (x) 与 yf ( x) 关于 y 轴对称。 yf (x) 与 yf (2ax) 关于直线 x a 对称。函数 yf (mxa) 与函数 yf (b mx) 的图象关于直线abx对称 .a b2m函数 yf ( a x) 与函数 y(x对称。b) 关于直线 x2特殊地 :y f (xa) 与函数 yf (ax) 的图象关于直线x a 对称yf (x) 与 y2af ( x) 关于直线 y a 对

5、称。yf ( x)与 y2bf (2ax) 关于点 (a,b) 对称。yf()f1 ()关于直线 yx 对称x 与 yx例 1定义在 r 上的非常数函数满足：f (10 x) 为偶函数，且 f (5x) f (5 x) ，则 f ( x)一定是（）a. 是偶函数，也是周期函数b. 是偶函数，但不是周期函数c. 是奇函数，也是周期函数d. 是奇函数，但不是周期函数解：因为f (10x) 为偶函数，所以f (10x)f (10x) 。所以 f (x) 有两条对称轴x5与 x10 ，因此 f (x) 是以 10 为其一个周期的周期函数，所以 x 0 即 y 轴也是f ( x) 的对称轴，因此f (

6、x) 还是一个偶函数。故选（a）。例 2设 f ( x) 是定义在r 上的偶函数，且f (1 x)f (1 x) ，当 1 x0 时，f ( x)1x ，则 f (8.6)_2解：因为 f(x) 是定义在 r上的偶函数，所以x 0是 yf (x) 的对称轴；又因为 f (1 x)f (1x)所以 x1也是 yf ( x) 的对称轴。故 yf ( x) 是以 2 为周期的周期函数，所以f (8.6)f (80.6) f (0.6) f ( 0.6) 0.3例 3函数 ysin( 2x5) 的图像的一条对称轴的方程是（）2.a. xb. x24c. x5d. x84解：函数 ysin(2x5 )

7、的图像的所有对称轴的方程是2x5k，所以222kx，显然取 k1 时的对称轴方程是x22，故选（ a）。例 4 设 f ( x) 是定义在r 上的奇函数，且 yf (x) 的图象关于直线 x1，则：2f (1) f (2) f (3) f (4)f (5) _1解：函数 yf ( x) 的图像既关于原点对称，又关于直线x对称，所以周期是2，又2f (0)0 ，图像关于 x1f (1)0 ，所以对称，所以2f (1)f (2)f (3)f ( 4)f (5)0例 5 、 函 数 fx 对 于 任 意 实 数 x 满 足 条 件 f x 21， 若 f 15, 则f xf f5_。例 6 （ 08

8、湖 北 卷 6 ） 已 知f (x) 在 r上 是 奇 函 数 ， 且f ( x4)f ( x),当 x(0,2)时， f ( x)2x2 ,则 f (7)aa.-2b.2c.-98d.98例 7（ 08 四川卷）函数fx 满足 f xfx 213，若 f12 ，则 f99(c )（） 13（） 2（） 13（） 2213例 8 （ 2010 安徽理数）若f(x)是 r 上周期为5 的奇函数，且满足f(1)=1， f(2)=2则f (3)f ( 4) 的值为（）a、1b、1c、2d、 2例 9 （ 09 江 西 卷 ） 已 知 函 数 f ( x) 是 (,) 上 的 偶 函 数 ， 若 对

9、于 x0 ， 都 有f ( x2） f ( x) ，且当 x0, 2) 时， f ( x)log 2 ( x1），则 f (2008)f (2009)的值为 ( c).a 2b 1c 1d 2例 10 2009广东三校一模）定义在r 上的函数 fx 是奇函数又是以2 为周期的周期函数 ,则 f 1f4f 7 等于 (b)a.-1b.0c.1d.4例 11（ 2009 全国卷理）函数f (x) 的定义域为r，若 f (x 1) 与 f ( x 1) 都是奇函数，f (1)2 则 f (2009) (d)a、 2009b、 -2009c、-2d.、 2例 12f (x) 的定义域是 r，且 f(x

10、 2)1f ( x)1 f ( x) ,若 f (0)2008求 f(2008) 的值。f (x 2)1f ( x 4)111f ( x 4) 1解： f ( x)1f ( x 4)1f (x 8)f (x 2)1f (x 4)f ( x 4)1周期为 8，f (2008)f (0)2008例 13 已知函数f（ x）的定义域为 r ，则下列命题中：若 f（ x 2）是偶函数，则函数 f（ x）的图象关于直线 x 2 对称；若 f（ x+2） f（ x 2），则函数 f（ x）的图象关于原点对称；函数 y f（2+ x）与函数 y f（ 2 x）的图象关于直线 x 2 对称；函数 y f（x

11、2）与函数 y f（ 2x）的图象关于直线 x 2 对称 .其中正确的命题序号是.【解析】是错误的，由于f（ x 2）是偶函数得f（ x2） f（ x 2），所以 f（ x）的图象关于直线x 2 对称； 是错误的， 由 f（ x+2） f（ x 2）得 f（ x+4） f（x），进而得 f（ x+8） f（ x），所以 f（ x）是周期为8 的周期函数； 是错误的，在第一个函数中，用x 代 x， y 不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于y 轴对称；是正确的，令x 2 t，则 2 x t，函数 y f （ t）与 y f（ t）的图象关于直线t 0对称，即函数 y f（ x 2）与 y

12、 f（ 2 x）的图象关于直线x 2对称 .例 14（ x）是定义在r 上的以 3 为周期的奇函数，且f（ 2） 0，则方程f（ x） 0 在区间（0， 6）内解的个数的最小值是( d )a 2b 3c 4d 5.【解析】 f（x）为奇函数， f（ 0） 0，又函数f（ x）以 3 为周期，且f（ 2） 0，f （ 2） 0， f（ 1） 0， f（4） 0， f（ 3） 0，f（ 5） 0， 在区间（ 0， 6）内的解有 1， 2， 3， 4， 5.故选 d.练习 12、对函数 f（ x），当 x（ ，）时， f（ 2 x） f（ 2+ x），f（ 7 x） f（ 7+x），在闭区间 0,7

13、上，只有 f（ 1） f（ 3） 0.（ 1）试判断函数 y f（ x）的奇偶性；（ 2）试求方程 f（x） 0 在闭区间 2005，2005上的根的个数， 并证明你的结论 .【分析】由已知f（ 2+ x） f （ 2 x）， f（ 7x） f（ 7+x）知 f （x）的图象有两条对称轴 x 2 和 x7，从而知f （ x）是周期为10 的周期函数，又在区间 0， 7上，只有f （ 1） f （ 3） 0，画图易知，它是非奇非偶函数，且在一个周期0，10上只有 2 个根，故易求得方程f （ x） 0 在的根的个数.【解】（ 1）由已知得f（ 0）0， f （x）不是奇函数，又由f（ 2 x）

14、f （2+x），得函数 y f（ x）的对称轴为x 2， f（ 1） f（ 5） 0， f（ 1）f（ 1）， f（ x）不是偶函数 .故函数 y f（x）是非奇非偶函数；（ 2）由f（ 4 x） f（ 14 x）f（ x） f（ x+10），从而知 y f（x）的周期是10.又 f（ 3） f （ 1） 0， f（ 11） f（ 13） f （ 7） f（ 9） 0，故 f（ x）在 0，10和 10，0上均有两个解， 从而可知函数 y f（ x）在 0，2005上有 402 个解，在上 2005，0有 400 个解，所以函数 y f（ x）在 2005，2005上有 802 个解 .函数的

15、图象1描绘函数图象的基本方法有两种：描点法与图象变换法。2描点法：通过、三步，画出函数的图象，有时可利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性）以利于更简便的画出函数的图象。3函数图象变换：.图象变换法(1) 平移变换水平平移： y=f(x a)(a 0)的图象，可由y=f(x) 的图象向左 (+) 或向右 (-)平移 a 个单位而得到 .竖直平移： y=f(x) b(b 0)的图象，可由y=f(x) 的图象向上 (+) 或向下 (-)平移 a 个单位而得到 .(2) 对称变换 y=f(-x) 与 y=f(x) 关于 y 轴对称 .y=-f(x) 与 y=f(x) 关于 x 轴对称 . y=-f(-x) 与 y=f(x) 关于原点对称 . y=f -1 (x)与 y=f(x) 关于直线 y=x 对称 .y=|f(x)| 的图象可将 y=f(x) 的图象在 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴作y=f(x) 的图象的对称部分，其余部分不变 .y=f(|x|) 的图象可将 y=f(x),x0的部分作出， 再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性， 作出x 0 的图象 .(3) 伸缩变换y=af(x)(a 0)的图象，可将y=f(x)