2.2.1双曲线及其标准方程.ppt

1、双曲线及其标准方程,朝阳市第三高级中学,蔡久军,问题1：椭圆的定义是什么？,平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。,问题2：椭圆的标准方程是怎样的?,， ， 关系如何？,问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？,复习引入,平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|，且大于0）的点的轨迹叫做双曲线。,这两个定点叫做双曲线的焦点，记作F1、F2， 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，,通常情况下，我们把|F1F2|记为2c（c0)； 常数记为2a(a0).,问题1:定义中为什么

2、强调距离差的绝对值为常数？,一、双曲线的定义,问题2: 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且大于0（即02a2c）？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？,若2a=2c,则轨迹是什么？,若2a2c,则轨迹是什么？,若2a=0,则轨迹是什么？,此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线,此时轨迹不存在,此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线,F1,F2,F1,F2,分3种情况来看：,二、双曲线标准方程的推导, 建系,使 轴经过两焦点 ， 轴为线段 的垂直平分线。, 设点,设 是双曲线上任一点，,焦距为 ，那么 焦点 又设|MF1|与|MF2| 的差的绝对值等于常数 。, 列式,即,将上述方程化

3、为：,移项两边平方后整理得：,两边再平方后整理得：,由双曲线定义知：,即：,设,代入上式整理得：,两边同时除以 得：,化简,这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0).,其中c2=a2+b2.,类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？,其中c2=a2+b2.,这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在y轴上，焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c).,三.双曲线两种标准方程的比较, 方程用“”号连接。, 分母是 但 大小不定。, 。,如果 的系数是正的，则焦点在 轴上；如果 的系数是正的，则焦点

4、在 轴上。,F（c，0）,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,四、双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,练一练,判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。,答案：,题后反思： 先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。,例题,解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为,因此，双曲线的标准方程为,题后反思： 求标准方程要做到先定型，后定量。,两条射线,轨迹不存在,例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程。,1.若|PF1|-|PF2|=8呢？,2.若|PF1|-|PF2|=10呢？,3.若|PF1|-|PF2|=12呢？,所以2c=10，2a=8。即a=4，c=5,那么b2=c2-a2=25-16=9,根据已知条件，|F1F2|=10. |PF1|-|PF2|=8，,练一练,求适合下列条件的双曲线的标准方程。 焦点在在轴 上， ； 焦点在在轴 上，经过点 .,答案: ,令,则,解得,故所求双曲线的标