考研极限试题(卷)

1、“考研数学”做到更好，追求最好南工程考研数学辅导材料之一高等数学主编：杨降龙杨帆刘建新.翁连贵吴业军序近几年来，随着高等教育的大众化、普及化，相当多的大学本科毕业生由于就业的压力，要想找到自己理想的工作比较困难，这从客观上促使越来越多的大学毕业生选择考研继续深造，希望能学到专业的知识，取得更高的学历，以增强自己的竞争能力；同时还有相当多的往届大学毕业生由于种种的原因希望通过读研来更好地实现自我。这些年的统计数据表明：应届与往届的考生基本各占一半。自 1989 年起，研究生入学数学考试实行全国统一命题，其命题的范围与内容严格按照国家考试中心制定的“数学考试大纲”， 该考试大纲除了在 1996 年

2、实施了一次重大的修补以外， 从 1997 年起一直沿用至今，但期间也进行了几次小规模的增补。因此要求考生能及时了解掌握当年数学考试大纲的变化，并能按大纲指明的“了解”，“理解”，“掌握”的不同考试要求系统有重点的复习。通常研究生入学数学考试与在校大学生的期末考试相比，考试的深度与难度都将大大的增加，命题者往往将考试成绩的期望值设定在 80（按总分 150 分）左右命题，试题涉及的范围大，基础性强，除了需要掌握基本的计算能力、运算技巧外，还需掌握一些综合分析技能（包括;.各学科之间的综合）。这使得研究生数学入学考试的竞争力强，淘汰率很高。为了我院学生的考研需要， 我们编写了这本辅导讲义。 该讲义

3、共分三个部分，编写时严格按照考试大纲，含盖面广、量大，在突出重点的同时，注重于基本概念的理解及基本运算能力的培养，力求给同学们做出有效的指导。第一章函数极限与连续考试内容函数的概念及其表示，函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性，复合函数、反函数、分段函数、隐函数，基本初等函数的图形与性质，初等函数的建立，数列极限与函数极限的性质，函数的左右极限，无穷小与无穷大的关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限，函数连续的概念，函数间断点的类型，闭区间上连续函数的性质。考试要求1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题中的函数关系。2、了解函数的有

4、界性、单调性、奇偶性及周期性的概念，注意这些问题与其它概念的结合应用。3、理解复合函数、分段函数的概念，了解隐函数、反函数的概念。4、掌握基本初等函数的性质及其图形。5、理解极限、左右极限的概念，以及极限存在与左右极限的关系。6、掌握极限的性质与四则运算。7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、理解无穷小、无穷大的概念；掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小计算极限。;.9、掌握利用罗必达法则求不定式极限的方法。10、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。11、理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最值存在、介值定理），并会利用这些性质。1 函

5、数一、函数的概念二、函数的性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性；三、函数的运算（重要考点）：四则运算、复合运算（复合函数）、逆运算（反函数） ；四、函数的分类：初等函数、非初等函数。例题21、（ 88 ）已知f ( x)ex ,f ( x)1x ，且( x)0 ，求(x) 及定义域。2、（ 92 ）已知f ( x)sin x,f ( x)1x2 ，求(x) 定义域。3、设 f ( 1 ) x(1x21), x 0 ，求 f ( x) 。x4、 f (sin x1)sin2 x13 ，求 f ( x) 。sin xsin 2 x2x,x0x2 ,x05、（ 97 ） g( x)x,x,f ( x

6、)x,求 g f ( x) 。20x,01 x,x0，求 f f (x) 。6、设 f ( x)x01,;.1,x17、（ 90 ） f ( x)x，求 f f ( x) 。0,1x221x08、求 y20x的反函数。x11 2x2 ,x19、（ 96 ）设函数 f (x)x3 ,1 x2 ，12x 16,x2（ 1）写出 f ( x) 的反函数 g ( x) 的表达式；（ 2） g( x) 是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点。1cb ，试证： f (x) 为奇函数。10、设 f (x) 满足： af (x) bf ( ), a, b, c 为常数，且 axx11、xr,f (x) 满足

7、： 2 f (x)f (1x)x2 ，求 f (x) 。12、设 f (x) 连续，且 f ( x)sin x2limf ( x) ，求 f (x),lim f ( x) 。xxx13、（ 89）设 f (x) 连续，且 f ( x)1x 2 f ( x) dx ，求 f ( x) 。014、（ 97）设 f ( x)11 x2112f ( x) dx ，求f (x) dx 。1x00;.2 极限一、定义及性质（ 1）唯一性；（ 2 ）局部有界性； （ 3）局部保号性 :（ i ） 若 f ( x)0,( 或 f ( x)0 ), 且 lim f ( x)a ， 则 a0 ( 或 a 0 );

8、x x0oo（ ii ） 若 limf ( x) a0 ( 或 a0 ),则 u( x0 , ), xu( x0 , ) ，f ( x)0 ( 或 f (x) 0 );x x0二、求极限的方法（重点）1 、用定义证明和观察法11如 lim arctanx;lim arctanx;lim ex;lim ex0 。x2x2x 0x 02 、用极限的四则运算法则和函数的连续性3 、用两个重要极限：i )sin x1sin u）limx（或 lim1x 0u0 u注意比较如下几个极限：lim sin x0 ， lim sin x1 ， lim x sin 11， lim xsin 10xxx0xxxx

9、 0x1 ) x1) n1ii )lim(1e,lim(1e, lim(1x) xexxnnx011) u一般形式： lim (1u) ue ， lim (1eu0uu通常对于含三角函数的0 型极限用 i)，对于 1 型极限用 ii)。04 、 (1) 用等价无穷小计算极限x 0 时，常见的 等价无穷小 有sin x, tan x,ln(1x),ex1,arcsin x,arctan x x,1 cos x 1x2 ,(1x)1 x (0) .2注意：x 的广泛的代表性;.sin u, tan u, ln(1u), eu1, arcsin u, arctan u u1 cosu 1u 2, (

10、1 u)1 u 等2(2) 有界函数乘无穷小仍为无穷小。5 、用罗必达法则设（ 1） limf (x)0() ， lim f (x)0( ) ，（ xx0 或 x）（ 2）在 x0 的某个去心邻域内（当x 充分大时）f ( x), f ( x) 可导，且 f ( x) 0（ 3） limf( x)a()f ( x)则lim f ( x)limf (x)a()f ( x)f ( x)基本类型有 0和。对于 0,，可以通过初等变形转化为0 和 。对于 1 ,0 , 00 ，00通过取对数再用罗必达法则。6 、用变量代换注意：该方法要视极限的具体形式而定，如：在计算xx0 的极限时，如果被求极限中含

11、有xx0 的因式时，可以令xx0 = t ；在计算 x的极限中，如果被求极限中含有1 ，则可令 1 t 。在研究xx生数学入学考试中不常出现7 、用极限存在的二个准则i) 夹逼（两边夹）定理；ii) 单调有界定理：单调递增（减）有上界（下界）的数列必有极限。8 、利用导数定义(ch.2)9 、用定积分定义(ch.3)当已知函数f (x) 可积时，有;.nlimni1f ( i) 11nf (x)dx ， lim0nnni 1f (ia ) 1 n n101af ( ax) dx =f (x)dxa0ni ) 11a 1limf (af (ax)dx =f (x)dxn1nn0ainf (a(b

12、a)i ) b af ( x) dxlimbn1nnai10 、用微分和积分中值定理(ch.2)11 、用 taylor 公式 (ch.2)注意：下面几类极限一般要讨论左右极限：分段函数在分段点的极限；x x0 时，与绝对值或开偶次方根有关的极限；1x x0 时，含有形如 a x x0 因式的极限。三、无穷小阶的比较设 , 均为无穷小，且不为 0，如果：（ 1） lim/0 时，则称是的高阶无穷小，或称是的低阶无穷小，记0( ) 。（ 2） lim/c0时，则称与为同阶无穷小，特别当c 1 时，称与是等价无穷小。（ 3） lim/k0 时，则称是的 k 阶无穷小。c注意：无穷小的比较是在数学考

13、试中一个经常考的考点，尤其在数二、三、四中。其主要考法有：已知函数f ( x) 与另一已知函数g(x) 是同阶无穷小，求f ( x) 中所含的参数；当函数f (x) 满足什么条件时，是xn 的同阶（高阶）无穷小；将给出的几个无穷小按其阶从小到大排列。例题（一）极限的计算;.1、（ 00 ）设对任意的x，总有( x) f ( x) g(x) ，且 lim g( x)( x)0 ，则 lim f ( x) ：xx（ a）存在且等于零，（ b）存在但不一定为零，（ c）一定不存在，（d ）不一定存在。2、（ 1） limexsin x；（ 2 ） limtan x x ；x 0xcos xsin x

14、x 0x2 sin x3sin xx2 cos 1arctan x x（ 3 ）（ 97 ） limx；（ 4）（ 00） lim。x 0 (1 cos x)ln(1 x)x 0ln(1 2x3 )3、（ 1） lim1x1tan x ；（ 2 ）（ 99 ） lim1 tan x1 sin x。x 01x1sin xx 0x ln(1 x)x212exsin x（ 2 ）（ 05 ）（数三、四）1x134、（ 1）（ 00） lim(4) 。limx( )x0exxx 0 1ex215、（ 1） lim(11 )xex ；（ 2 ） limx( x2100 x) 。xxx6、（ 1）（ 04

15、）求极限 lim1 ( 2cos x) x1 ；（ 2 ）（ 93） lim3x25 sin 2 ；x 0x33x5x3x7、（ 1）（ 99） lim(11) ；（ 2）（94 ） lim xx2 ln(11 ) 。x 0x2x tan xxx1113x1axb xc x8、（ 1）（ 03） lim(cos x) ln(1x2 ) ；（ 2 ） lim, ( a, b, c 0) 。x 0x3;.x(xt ) f (t )dt0 ，求极限 lim019、（ 05 ）设函数 f (x) 连续，且 f ( 0)x()x 0x0f (x t )dt210 、（ 07） limarctan x s

16、in x=。x 0x3（二）关于数列极限：10、（ 03）设an , bn, cn 均为非负数列，且 lim an0, lim bn 1,lim cn，则必有：nnn（ a） anbn 对任意 n 成立；（ b ） bncn 对任意 n 成立；（ c）极限 lim an cn 不存在；（ d）极限 lim bn cn 不存在。nn11、（ 98）设数列 xn 与 yn 满足 lim( xn yn )0 ，则下列判断正确的是：n（ a）若 xn 发散，则 yn 必发散，（b ）若 xn 无界，则 yn 必有界，（ c ）若 xn 有界，则 yn 必为无穷小，（ d ）若1为无穷小，则yn 必为无

17、穷小。xn12、（ 1 ）（ 98 ） lim( ntan 1 )n2；（2） lim n( n n1) 。nnn（ 3）（02 ） lim ln n2na1nn n(1 2a)13、 x12, x222 ,., xn22l2 ，求 lim xn 。n14、（ 96） x1 10, xn 16 xn ，证明 lim xn 存在并求之。n15、（ 97）设 a1 2, an 11 (an1 ) ，证明： lim an 存在。2nan;.16、设 x1 2, xn 1 21 , (n 1) ，求 lim xn 。nxn17、（ 06）设数列xn 满足 0 x1， xn 1sin xn ， n 1,

18、2,1xn2证明：（ 1 ） lim xn 存在，并求该极限；（ 2 ）计算 limxn 1nnxn18、 lim(11.1) 。n2n2n2n12n19、（ 95） lim(12. 2n22) 。nnn 1n n 2nn n（三）极限中常数的确定20、（ 04）若 lim sin x (cos x b)5 ，求 a 、 b 。x 0 exa21、（ 1 ）（ 97 ）设 x0 时， etan xex 与 xn 是同阶无穷小，则n?（2 ）（ 96）设 x0 时， f ( x) ex 1ax 为 x 的三阶无穷小，求 a, b 。1bx（3 ）（ 05 数二）当x0 时，(x)kx 2 与(

19、x)1xarcsin xcos x 是等价无穷小，则k ？1cos x2 dt ， g( x)x5x6，则当 x0 时 f (x) 是 g( x) 的（4 ）设 f ( x)sin t）056;.a ：低阶无穷小b ：高阶无穷小c ：等价无穷小d ：同阶但不等价无穷小（5 ）（ 06）试确定常数a, b, c ，使得（ 1/3 ， -2/3 ， 1/6 ）ex (1 bx cx 2 ) 1 ax o( x3 )22、（ 98）求 a, b, c ，使 limax sin x3c, (c 0) 。x 0x ln(1t)dtbt23、（ 94）设a tan x b(1 cos x)2,a2c20

20、，则有：lim2x)d (1e x2x 0 c ln(1)（ a ） b4d ，（ b） b4d ，（ c） a4c ，（ d） a4c 。24 、（ 1 ）（ 01 ）设当 x0 时， (1cos x)ln(1x2 ) 是比 xsin xn 高阶的无穷小，而x sin xn 是比x21) 高阶的无穷小，则正整数n 等于：(e（ a） 1，（ b） 2 ，（ c）3 ，（ d ）4 。（ 2） （ 01）已知f (x)在 (,) 内可 导 ，且limf (x) e ，xlim(xc ) xlimf (x)f ( x1) ，求 c 的值。xxcx25 、（ 02 ）设函数 f (x)在 x 0

21、的某个领域内具有一阶连续导数，且f (0)0, f (0) 0 ，若af ( h) bf (2 h) f (0) 在 h0 时是比 h 高阶的无穷小，试确定a、 b 的值。26、（ 02）设函数f ( x) 在 x0的某领域内具有二阶连续导数，且 f (0)0 ，f (0)0 ，f (0)0 ，;.证明：存在惟一的一组实数1 ,2 ,3 ，使得当 h0时， 1 f (h)2 f (2 h)3 f (3h) f (0) 是比 h2 高阶的无穷小。27、 lim ( 3 ax3bx2xx)1x3，求 a, b 。3 连续与间断一、 f ( x) 在点 x0 连续（重点）：lim f ( x)f (

22、 x0 ) 或 limy0 。xx0x0初等函数在定义区间内是连续的，分段函数分界点的连续性要用定义讨论。二、若 f (x) 在点 a 不连续，称a 为 f ( x) 的间断点。间断点分两类：第一类间断点（左、右极限都存在）：可去间断点（左、右极限都相等）和跳跃间断点（左、右极限不相等）第二类间断点：无穷间断点（至少有一侧极限为无穷大），振荡间断点等。注意 ：这一部分在数三、四中是一个常考的考点，主要以已知连续性或间断点的类型确定参数，计算题中以讨论间断点类型并补充定义使其连续为主；在数一、二中一般不单独以单个概念出题，通常会跟函数的建立、极限、微分方程等概念结合考查。三、闭区间上连续的函数有

23、以下性质：1 ）最值定理：闭区间上连续的函数一定取到最大值m 和最小值m（必有界）；更一般地：我们可以得到如下结论设 f ( x) 在开区间 ( a,b) 内连续，且lim f ( x) 及 lim f ( x) 都存在，则f ( x) 在 (a,b) 内有界。xaxb2 ）介值定理：闭区间上连续的函数一定取到介于最小值和最大值m 之间的任一数；;.3 ）零点定理：设f (x) 在 a,b 上连续， f ( a) 与 f (b) 异号，则至少有一点(a,b) ，使得f ()0 。推广的零点定理 ：设 f ( x) 在区间 (,) 上连续，且lim f ( x)( ) ， lim f (x)(

24、) ，则至少存xx在一点( ,) ，使 f ()0例题1etan xx0f ( x)arcsinx 01（ 02 ）设函数在处连续，则 a=。x2ae2 xx0ln(1ax3 )x0xarcsin x2（ 03 ） 设函数 f (x)6x0eaxx2ax 1x0xsin x4，问 a 为何值时，f ( x) 在 x0处连续； a为何值时，x0是 f ( x) 的可去间断点？3、（ 00 ）设函数 f (x)x, ) 内连续，且 lim f (x)0 ，则常数 a、 b 满足：bx 在 (a ex（ a） a 0, b 0 ,（ b） a 0, b 0 ,（ c） a 0, b 0 ,（ d ）

25、 a 0, b 0 .4 、（ 05 ）设 f ( x)1，则（）xe x 11（ a） x0, x1都是f (x) 的第一类间断点。（ b） x0, x1都是f (x) 的第二类间断点。;.（ c）x 0是f (x)的第二类间断点 ,x 1 f (x)的第二类间断点是（ d） x 0是 f (x)的第二类间断点，x1是 f ( x) 的第一类间断点5、（ 04 ）设 f ( x)lim(n21)x ，则 f ( x) 的间断点为 x。nnx16、（ 98 ）设 f ( x)lim 1x2n，讨论 f (x) 的间断点，结论为：n1x（ a）不存在间断点，（ b ）存在间断点 x 1，（ c）

26、存在间断点x0，（d ）存在间断点 x1。7、下列命题中正确的是（）（ a）设函数 f ( x) 在 xx0处连续 , g( x) 在 xx0 处不连续，则f ( x) + g(x) 在 xx0 处必不连续（ b） f (x) ， g(x) 都在 xx0 处不连续，则f (x) + g( x) 在 xx0 处必不连续（ c） 设函数 f (x) 在 xx0 处连续， g (x) 在 xx0 处不连续， 则 f ( x) g ( x) 在 xx0 处必不连续（ d） f ( x) ， g( x) 都在 xx0 处不连续，则f ( x)g( x) 在 xx0 处必不连续x8、（ 98 ）求 f (

27、 x)tan(x)2) 内的间断点及类型。(1 x)4 在 (0,1(exe) tanx9 、（ 07 ）函数 f (x)1在 , 上的第一类间断点是 xx(exe)(a) 0; (b) 1;(c)2;(d)。210、设 f (x) 在 a, b 上连续，且 a2f ( x)b2 ，求证： a, b ,使 f ( )2 。11、 f (x) 在 0,1 上非负连续，f (0)f (1)0 ，证明：对lr (0l1),x00,1 ，使f ( x0 )f ( x0l ) 。;.12、证明：方程xpqcos x0 恰有一个实根，其中p, q 为常数，且 0q113、设 f (x)在 a,b 上连续，

28、 ax1x2b ，试证，对两个正数 t1 与 t2 ，一定点 c a,b ，使 t1 f ( x1 )t2 f ( x2 )(t1t2 ) f (c) 。（本题的证明思想应掌握，并应能将结论推广到更为一般的情况）14、（ 04）函数 f (x)x sin( x2)在下列哪个区间内有界：x( x 1)(x2)2（ a）（ 1 ，0 ）；（ b ）（0 ， 1 ）；（ c）（ 1， 2）；（ d）（ 2， 3 ）。单元练习1、 求函数 f ( x)sin(x ) 的定义域2、 函数 f ( x)ln(1e1x ) 的定义域为_。3、 若 f (x) 的定义域为（0，1 ），则函数f (ex1) 的

29、定义域为 _。4、 f ( x)x sin x ecos x ， x (,) 是（）（ a ）有界函数（ b）单调函数（ c）周期函数（ d）偶函数n2n为奇数、 xnnn，则当 n时， xn 是（）1为偶数nn（a ）无穷大量（ b）无穷小量（ c）有界变量（d ）无界变量、设 f ( x) 是连续函数，且 f ( x)x12 f (t )dt ，则 f ( x) _07、当 x0 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小（）（a ） x 2（ b） 1 x21（c ） x tan x（d ） 1cos x2;.8、设 f ( x) ， g(x)在 x 0 的某个领域内连续，

30、且当x 0 时 f (x) 是 g (x) 高阶的无穷小，则当xxx 0 时， f(t) sin tdt 是 tg (t)dt 的（）00（ a）低阶无穷小（ b）高阶无穷小（ c）同阶但不等价无穷小（ d）等价无穷小5 x9、(x)0sin t dt ， ( x)1dt ，则当 x0 时(x) 是(x) 的（）(1 t ) tsin xt0（ a）低阶无穷小（ b）高阶无穷小（ c）同阶但不等价无穷小（ d）等价无穷小ln(1x)( axbx 2 )2 ，则（）10 、已知 limx2x0（ a ） a1,b5（ b）a0, b2 （ c） a 0,b52（ d ） a 1, b212 sin 1 是211、当 x0 时，变量（）xx（ a ）无穷大量（b ）无穷小量（ c ）有界变量，但不是