算术基本定理.ppt

1、算术基本定理,人教A版数学选修4-6初等数论,宁波市鄞州中学 陈军杰,第一章 整数的整除,整除性理论是初等数论的基础. 本章已经学习了整除、带余数除法、素数及其判别法、最大公约数、最小公倍数等知识.,问题1：请将数60与720表示成一些素因 数的乘积.,结论：任何大于1的整数总可以表示成素 因数乘积的形式.,即任给大于1整数n，总有 n = p1p2pm， (1) 其中pi（1 i m）是素数.,第六节 算术基本定理,引理1 任何大于1的正整数n可以写成素数之积，即 n = p1p2pm， (1) 其中pi（1 i m）是素数。,证明 当n = 2时，结论显然成立。 假设对于2 n k，式(1

2、)成立，我们来证明式(1)对于n = k 1也成立，从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数n成立。,第六节 算术基本定理,如果k 1是素数，式(1)显然成立。 如果k 1是合数，则存在素数p与整数d，使得k 1 = pd。由于2 d k，由归纳假定知存在素数q1, q2, , ql，使得d = q1q2ql，从而k 1 = pq1q2ql。,证毕。,第六节 算术基本定理,定理1(算术基本定理) 任何大于1的整数n可以唯一地表示成 ， (2) 其中p1, p2, , pk是素数，p1 p2 pk，1, 2, , k是正整数。,证明 由引理1，任何大于1的整数n可以表示成式(2)的形式，因此，

3、只需证明表示式(2)的唯一性。,第六节 算术基本定理,假设pi（1 i k）与qj（1 j l）都是素数， p1 p2 pk，q1 q2 ql， (3) 并且 n = p1p2pk = q1q2ql ， (4) 则由第三节定理4推论1，必有某个qj（1 j l），使得p1qj，所以p1 = qj；又有某个pi（1 i k），使得q1pi，所以q1 = pi。,第六节 算术基本定理,于是，由式(3)可知p1 = q1，从而由式(4)得到 p2pk = q2ql 。 重复上述这一过程，得到 k = l，pi = qi ，1 i k 。,证毕。,第六节 算术基本定理,定义1 使用定理1中的记号，称

4、是n的标准分解式, 其中pi（1 i k）是素数, p1 p2 pk， i（1 i k）是正整数.,由此可得下面推论，推论1、推论2证明留作习题。,第六节 算术基本定理,推论1 使用式(2)中的记号，有 () n的正因数d必有形式 ， iZ，0 i i，1 i k； () n的正倍数m必有形式 MN，iN，i i，1 i k。,第六节 算术基本定理,推论2 设正整数a与b的标准分解式是 其中pi(1 i k)，qi(1 i l)与ri(1 i s)是两两不相同的素数，i，i(1 i k)，i(1 i l)与i(1 i s)都是非负整数，则,第六节 算术基本定理,(a, b) = ， i = m

5、ini, i，1 i k， a, b = ， i = maxi, i，1 i k。,第六节 算术基本定理,推论2 设正整数a与b的标准分解式是 其中p1, p2, , pk 是互不相同的素数，i，i（1 i k）都是非负整数，则,第六节 算术基本定理,推论3 设a，b，c，n是正整数， ab = cn ，(a, b) = 1， (5) 则存在正整数u，v，使得 a = un，b = vn，c = uv，(u, v) = 1。,证明 设 ，其中 p1, p2, , pk 是互不相同的素数，i（1 i k）是正整数。,第六节 算术基本定理,又设 其中i，i（1 i k）都是非负整数。由式(5)及推

6、论2 可知 mini, i = 0，i i = ni，1 i k， 因此，对于每个i（1 i k），等式 i = ni ，i = 0与i = 0，i = ni 有且只有一个成立. 这就证明了推论.,证毕.,第六节 算术基本定理,例1 写出51480的标准分解式。,解 我们有 51480 = 225740 = 22 12870 = 23 6435 = 23 5 1287 = 23 5 3 429 = 23 5 32 143 = 23 32 5 11 13.,第六节 算术基本定理,例2 设a，b，c是整数，证明： () (a, b)a, b = ab； () (a, b, c) = (a, b),

7、 (a, c)。,证明 为了叙述方便，不妨假定a，b，c是正整数。 () 设,第六节 算术基本定理,其中p1, p2, , pk是互不相同的素数, i，i(1 i k)都是非负整数。由定理1推论2 ，有 由此知,第六节 算术基本定理,() 设 其中p1, p2, , pk是互不相同的素数, i，i，i(1 i k)都是非负整数. 由定理1推论2 , 有 其中，对于1 i k，有 i = mini, maxi, i，,第六节 算术基本定理,i = maxmini, i, mini, i， 不妨设i i，则 mini, i mini, i， 所以 i = mini, i = i ， 即(a, b,

8、 c) = (a, b), (a, c)。,注：利用定理1可以容易地处理许多像例2这样的问题。,第六节 算术基本定理,例3 证明： （n 2） 不是整数。,证明 设 3k 2n 1 3k + 1。 对于任意的1 i n，2i 1 3k，记 2i 1 = Qi，QiZ， 由第一节例5，知i k 1。,第六节 算术基本定理,因为3k 1Q1Q2Q2n 1是整数，所以，如果N是整数，则存在整数Q，使得 3k 1Q1Q2Q2n 1N=Q 3k 1Q1Q2Q2n 1 . 由于3 Q1Q2Q2n1，所以上式右端不是整数，这个矛盾说明N不能是整数。,在本节中，我们要介绍整数与素数的一个重要关系，即任何大于1的正整数都可以表示成素数的乘积。,习 题 六,1. 证明定理1的推论1。 2. 证明定理1的推论2。 3. 写出22345680的标准分解式。 4. 证明：在1, 2, ,