高中数学人教A浙江一轮参考课件101分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1、10.1分类加法计数原理 与分步乘法计数原理,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法,在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要分成n个不同的步骤,完成第一步有m1种不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法,完成第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法.,-4-,知识梳理,双击自测,3.两个计数原理的区别 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法的

2、种数.它们的区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.,-5-,知识梳理,双击自测,1.将5封信投入3个邮筒,不同的投法共有() A.53种B.35种C.3种D.15种 2.某校高一有6个班,高二有7个班,高三有8个班.现选两个班的学生参加社会实践活动,若要求这两个班来自不同年级,则有不同的选法种.,B,解析:第1封信,可以投入第1个邮筒,可以投入第2个邮筒,也可以投入第3个邮筒,共有3种投法;同理,后面的4封信也都各有3种投法.所以,5封信投入3个邮筒,不同的

3、投法共有35种.故选B.,146,解析:先分类再分步,共有不同的选法:67+78+68=146(种).,-6-,知识梳理,双击自测,3.若x,yN*,且x+y6,则有序自然数对(x,y)共有个. 4.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后的项数为. 5.用1,5,9,13中的任意一个数作分子,4,8,12,16中的任意一个数作分母,可构成的真分数的个数为.,15,解析:当x=1,2,3,4,5时,y值依次有5,4,3,2,1个,由分类加法计数原理,有序自然数对(x,y)共有5+4+3+2+1=15(个).,60,解析:由于乘积的展开项是由三个不

4、同字母组成的,所以要组成一项分三步完成.因此,展开后的项数共有:345=60.,10,解析:设构成的真分数为 ,其中m1,5,9,13,n4,8,12,16,且mn.若m=1,则n有4种选法;若m=5,则n有3种选法;若m=9,则n有2种选法;若m=13,则n有1种选法,故可构造的真分数的个数为4+3+2+1=10.,-7-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.在分类加法计数原理中,每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是相互独立的,不能是相同的,即分类的标准是“不重不漏,一步完成”. 2.在分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,在各个步骤中任取一种方法,即是完成这个步骤的一种方法. 3.应用两

5、种计数原理解题时,要注意分清:要完成的事情是什么,完成该事情是分类完成还是分步完成.,-8-,考点一,考点二,考点三,分类加法计数原理(考点难度) 例1(1)设集合A=1,2,3,4,m,nA,则方程 表示焦点位于x轴上的椭圆有() A.6个B.8个C.12个D.16个 (2)满足a,b-1,0,1,2,且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为() A.14B.13C.12D.9,A,B,-9-,考点一,考点二,考点三,解析: (1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以当m=4时,n=1,2,3; 当m=3时,n=1,2; 当m=2时,n=1,即满足条件的椭圆共有3+2+

6、1=6(个). (2)由于a,b-1,0,1,2,则 当a=0时,有 为方程的实根,则b=-1,0,1,2,有4种; 当a0时,方程有实根, =4-4ab0,ab1. (*) ()当a=-1时,满足(*)式的b=-1,0,1,2,有4种; ()当a=1时,b=-1,0,1,有3种; ()当a=2时,b=-1,0,有2种. 故由分类加法计数原理,知满足条件的有序数对(a,b)共有4+4+3+2=13(个).,-10-,考点一,考点二,考点三,方法总结利用分类计数原理解题时,应注意: (1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标准要统一,不能遗漏; (2)分类时,注意完成这件事情的任何一种方

7、法必须属于某一类,不能重复.,-11-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有() A.24对B.30对C.48对D.60对 (2)如图所示为某旅游区各景点的分布图,图中一支箭头表示一段有方向的路,试计算顺着箭头方向,从A到H可走的不同的旅游路线的条数为() A.15B.16 C.17D.18,C,C,-12-,考点一,考点二,考点三,解析: (1)如图,在上底面中选B1D1,四个侧面中的面对角线都与它成60,共8对,同样A1C1对应的也有8对,下底面也有16对,左右侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对. (2)不妨设

8、每两点之间的距离为步长1,则从A到H有以下几类:总步长为3的有ABFH,ABEH,ACEH,ADEH,ADGH,共5条;总步长为4的有ABEFH,ABEGH,ACEFH,ACEGH,ADEFH,ADEGH,ABCEH,ADCEH,共8条;总步长为5的有ABCEFH,ABCEGH,ADCEFH,ADCEGH,共4条.由分类加法计数原理可知,总共有5+8+4=17(条)不同的路线.,-13-,考点一,考点二,考点三,分步乘法计数原理(考点难度) 例2(1)(2016全国高考甲卷)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短

9、路径条数为() A.24B.18 C.12D.9 (2)用5种不同的颜色为如图所示的广告牌着色,要求在四个不同区域中相邻的区域不用同一种颜色,则不同的着色方法种数为() A.320B.240 C.180D.135,B,C,-14-,考点一,考点二,考点三,解析: (1)由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为63=18,故选B. (2)分四步:第一步涂有5种;第二步涂有4种;第三步涂有3种;第4步涂有3种.由分步乘法计数原理可得共有5433=180(种)不同的涂色方法.,-15-,考点一,考点二,考点三,方法

10、总结1.利用分步乘法计数原理解决问题时,要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事. 2.分步必须满足两个条件:一是步骤之间互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成.,-16-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)用a代表一个红球,b代表一个蓝球,c代表一个黑球.由加法计数原理及乘法计数原理,从一个红球和一个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取,“a”表示取出一个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推

11、,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法是() A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5 C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5) D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5),A,-17-,考点一,考点二,考点三,(2)如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与一个正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不染色),

12、要求每面染一色,且相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有() A.6种B.12种 C.18种D.24种,B,-18-,考点一,考点二,考点三,解析: (1)分三步:第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个,5个,则有(1+a+a2+a3+a4+a5)种不同的取法;第二步,5个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有(1+b5)种不同取法;第三步,5个有区别的黑球看作5个不同色,从5个不同的黑球中任取0个,1个,5个,有(1+c)5种不同的取法,所以所求的取法种数为(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5,故选A. (2)先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,然后涂三棱柱ABC-A1B1

13、C1的三个侧面,当棱锥侧面颜色确定后,棱柱侧面的颜色对应有2种情形,即共有3212=12种不同的染色方案.故选B.,-19-,考点一,考点二,考点三,两个计数原理的综合应用(考点难度) 例3(1)(2015浙江重点中学协作体一模改编)设ABCDEF为正六边形,一只青蛙开始在顶点A处,它每次可随意地跳到相邻两顶点之一.若在5次之内跳到D点,则停止跳动;若5次之内不能到达D点,则跳完5次也停止跳动.那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共()种. A.18B.20C.24D.26 (2)如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同

14、的颜色,则不同的涂色种数有.,D,96,-20-,考点一,考点二,考点三,解析: (1)易知青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达D点,故青蛙的跳法只有下列两种: 青跬跳3次到达D点,有ABCD,AFED 2种跳法; 青蛙一共跳5次后停止,那么,前3次的跳法一定不能到达D点,只能到达B点或F点,则共有AFEF,ABAF,AFAF,ABCB,ABAB,AFAB这6种跳法,随后2次的跳法各有4种,比如由F出发,则有FEF,FED,FAF,FAB,共4种,因此共有64=24(种).故共有24+2=26(种).,-21-,考点一,考点二,考点三,(2)按区域1与3是否同色分类: 区域1与3同色;先涂区域1

15、与3,有4种方法,再涂区域2,4,5(还有3种颜色),有 种方法. 故区域1与3涂同色,共有 =24种方法. 区域1与3不同色:先涂区域1与3,有 种方法,第二步涂区域2,有2种涂色方法,第三步涂区域4只有一种方法,第四步涂区域5有3种方法. 故共有 213=72种方法, 故由分类加法计数原理,不同的涂色种数为24+72=96.,-22-,考点一,考点二,考点三,方法总结用两个计数原理解决计数问题时,关键是明确需要分类还是分步. (1)分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数. (2)分步要做到“步骤完整”.根据分步乘法计数原理,把完成每一步的

16、方法数相乘,得到总数. (3)对于复杂问题,可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析.,-23-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为() A.24B.18 C.12D.6 (2)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种,且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有种.(用数字作答),B,120,-24-,考点一,考点二,考点三,解析: (1)三位奇数可分成两种情况:奇偶奇;偶奇奇.对于,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有2种选

17、择,共322=12(个);对于,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有1种选择,共321=6(个),即共有12+6=18(个).故选B. (2)依同颜色的花分类求解(因为两两相邻,因此不妨先给“涂”色,再讨论的变化情况). ()与同色,则也同色或也同色,不同的栽种方法有43221=48(种); ()与同色,考虑对称性,同()不同的栽种方法也有48种; ()与且与同色,不同的栽种方法有4321=24(种).所以,不同的栽种方法共有N=48+48+24=120(种).,-25-,思想方法分类讨论在计数原理中的应用 由于计数原理一个是分类加法计数原理,一个是分步乘法计数原理,所以分类讨论的数学思想贯

18、穿两个原理应用的始终.对于计数问题,有时正确的分类就是解决问题的切入点,一般要考虑问题有几种情况,即分类;考虑每种情况有几个步骤,即分步.同时注意分类的全面与到位,不要出现重复或遗漏的现象.,-26-,典例如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数.,-27-,解:(方法一)可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用分步乘法计数原理即可得出结论.由题设,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有543=60(种)染色方法. 当S,A,B染好时,不妨设其颜色分别为1,2,3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;若C染4,则D可染3或5,有2种染法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法.可见,当S,A,B已染好时,C,D还有7种染法,故不同的染色方法有607=420(种).,-28-,(方法二)以S,A,B,C,D的顺序分步染色. 第一步,点S染色,有5种方法; 第二步,点A染色,与S在同一条棱