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文档简介

1、,空间解析几何,第六章,4. 空间中的平面与直线,空间中的平面及其方程。,空间直线及其方程。,1、平面的点法式方程,几何上,任给空间中某一点,及某一方向,都可且只可做一条过该定点且垂直于给定方向的平面。下面用解析式描述此几何关系.,任取平面上一点M(x, y, z).,一、空间中的平面及其方程, (A, B, C)(xx0, yy0, zz0),= A(x x0)+B(y y0)+C(z z0),= 0.,即平面上任意点M(x, y, z)都满足方程(1).,反之若(x, y, z)满足(1),则由(1).,(1),我们称垂直于平面 的任何非零向量为的法方向或法向,,A(x x0)+B(y y

2、0)+C(z z0)=0,法点式方程,解,所求平面的点法式方程为,化简得,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,一般地,设平面 过M1, M2, M3三点, M1, M2, M3不共线. 即,则得平面方程为:,即,平面的三点式方程.,2、平面的一般方程,由点法式方程,法向量,平面的一般(式)方程。,平面一般方程的几种特殊情况:,平面通过坐标原点;,平面通过 轴;,平面平行于 轴;,平面平行于 坐标面;,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,设平面 :,由过原点知,所求平面方程为,解,3、平面的截距式方程,4、点到平面的距离,解:如图,M1,N,M0,设平面 : Ax+By+Cz+D=0.

3、 则,平面上点M1(x1, y1, z1)满足,A1x+B1y+C1z+D1=0.,即,即,点到平面的距离公式,5、两平面的夹角,我们目前已对平面本身的解析关系描述得较清楚了. 现在讨论两平面间的关系.,一般说来,两平面的关系有以下几种,两平面平行不重合.,两平面平行重合.,两平面不平行相交,两平面法向一致但无交点,两法向一致且有交点,两平面垂直,相交但不垂直,两法向垂直,两法向不共线也不垂直,桥梁,法向夹角, 1: A1x+B1y+C1z+D1=0, 2: A2x+B2y+C2z+D2=0.,如何求其间夹角?,分别为 1 ,, 2,的法向,,故,A1A2+B1B2+C1C2=0;,两平面平行

4、,=,=,=,=,=,A1:A2=B1:B2=C1:C2.,两平面垂直,A1:A2=B1 : B2=C1 : C2 .,0,0,0,即,平行不重合,重合,A1:A2=B1:B2=C1:C2 D1:D2;,A1:A2=B1:B2=C1:C2= D1:D2 .,特殊情形:,例5. 设平面 过点M1(1, 0, 0), M2(1, 1, 1)且与,平面1:x+y+z=0垂直, 求平面 .,而 过点M1, M2. 故,解:,故得平面方程为,即,例6 研究以下各组里两平面的位置关系:,解,两平面相交,且夹角,解,两平面平行。,两平面不重合,二、空间直线及其方程,1.由直线上一点与直线 l 的方向决定的直

5、线方程,如果一个非零向量平行于直线L,就称这个向量为直线 的一个方向向量,点 在 直线 l 上的充要条件是,(1)式叫做直线 l 的向量式参数方程,直线的(坐标式)参数方程,将直线的参数方程中的参数 t 消去,则可得到,直线L的标准方程或对称式方程。,方向向量的方向余弦称为该直线的方向余弦,解,所以交点为,所求直线方程,两点式方程。,注:,2.直线的一般方程,若空间直线L为两平面,则,的交线,,空间直线的一般方程。,(不唯一),在直角坐标系下, 两平面的法向量分别为,所以直线 l 的方向向量可取为,例 8 将直线L 化成对称式方程,解:平面 的法向量,平面 的法向量,求直线L上一点M0(x0,

6、y0,z0),令x0=1 则,得 Y0=4,z0=4,所求直线L方程为,解,先作过点M且与已知直线 L 垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,L,M,N,代入平面方程,得,交点,取方向向量,所求直线方程为,另解,L,M,L,再求过M与L的:,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,3. 两直线的夹角,特别有:,例10 求以下两直线的夹角,解: 直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,4. 直线到平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定其夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,直线和它在平面上的投影直,则直线与平面夹角 满足,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角,解:,为所求夹角,小结,空间平面,空间直线,一般形式,法点式,截距式,(三元一次方程),Ax+By+Cz+D=0.,交面式,对称式:,参数形式:,两点式:,(一般形式):,三元一次方程组.,x=x0+mt,y=y0+nt ,z=z0+pt ;,关系,直线间夹角:,平面间夹角:,

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