医科数学C课件：19第十九讲多元函数的微分学(五年制3-1）

1、吉林大学数学教学与研究中心,第3738讲,吉林大学数学中心,共计：50讲 主讲教师：王颖,医用数学C,第四章,多元函数微分学,多元函数积分学,多元函数微积分学,1微分学：,一 元 函 数 微 积 分 学,2积分学:,无穷积分、瑕积分均为定积分的极限,不定积分：,定 积 分：,反常积分：,微分：,导数：,（函数的变化率）,单,多,多,多,推广,注意: 重点介绍二元函数的微积分学.,学习时应善于类比，区别异同。,解析几何: 平面解析几何与空间解析几何,平面解析几何是研究一元函数微积分的基础，同样空间解析几何也是研究多元函数微积分的必备的工具。空间解析几何能给二元函数提供直观的几何解释；同时利用多元

2、函数微积分可解决空间解析几何的一些实际问题，如求空间曲线的切线和立体体积等问题。,1 空间解析几何简介,横轴,纵轴,竖轴,定点,1坐标系,一、空间直角坐标系,O 称为坐标原点，三条 数轴称为坐标轴:,空间直角坐标系,x 轴（横轴）; y 轴（纵轴）; z 轴（竖轴）.,面,面,面,2坐标平面,3.卦限,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,4坐标,设M为空间上的一点，,过M点作三个平面分别垂直,于 x 轴、y 轴、z 轴与它们分别交于P、Q、R三点，,它们在 x 轴、y 轴、z 轴的坐标分别为 x、y、z，于,是M点唯一确定一有序数组 ；,特殊点的坐标：,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,

3、坐标轴上的点,坐标面上的点,坐标原点:,(点 M 的坐标),二、空间两点间的距离,特殊地：若两点分别为,解,原结论成立.,解,设P点坐标为,所求点为,三、空间曲面与空间曲线,1空间曲面,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是动点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,(1). 曲面方程的概念,(2). 几个常见的曲面,解,根据题意有,所求球面方程为,若球心在原点时方程为,根据题意有,化简得所求方程,解,平面方程：,特殊的平面方程：,平面的截距式方程,空间曲线的一般方程。,曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,空间曲线C可看作空

4、间两曲面的交线.,特点：,2、空间曲线的一般方程,3. 二次曲面,三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面,讨论二次曲面性状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合,从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,（ 与 同号）,(2). 椭圆抛物面,用截痕法讨论：,（1）用坐标面 与曲面相截,截得一点，即坐标原点,设,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在

5、 轴上.,与平面 不相交.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得抛物线,与平面 的交线为抛物线.,它的轴平行于 轴,顶点,（3）用坐标面 ， 与曲面相截,均可得抛物线.,同理当 时可类似讨论.,椭圆抛物面的图形如下：,（ 与 同号）,(3). 双曲抛物面（马鞍面）,用截痕法讨论：,设,图形如下：,双叶双曲面,单叶双曲面图形,为正数,第二节 多元函数的概念,一、预备知识,二、多元函数的概念,1.实例,2.概念,3定义域的求法,解,即,其定义域为图中阴影部分是 一个圆域，是一个有界闭区域。,解,其定义域为图中阴影部分是一,个无界的开区域。,例 求 的定义域,解,所求定义域为,定义域为有界的半开区域,4. 二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,定义域 D为该曲面