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文档简介

1、导数的应用,光线的折射,光线的折射,光行最短原则 分别记空气、水中的时间 分别有,光线的折射,所以 求极小值，令,光线的折射,不难看出上式即为 即为,极值在经济学中的应用,函数的极值,例1 当常数为何值时，函数 在处取得极值？类型？并求出极值。 解：由函数在实数域上可导，可知当取得极值时必有,可导的极值点必为驻点,函数的极值,即 已知当时取得极值，所以 故,函数的极值,下面判定极值类型 (二阶导数法) 代入，有 所以是极大值 .且,利用极值证明不等式,例 证明： 证：设 先求其驻点 得到,利用极值证明不等式,且易见 所以 是在内的唯一的极小值点, 由定理4.9 同时也是最小值点，.,曲线的凸性

2、与拐点,定义 【基于图像的】 设函数在区间上连续 若曲线上任意两点连成的弦总在曲线的上方，则称该曲线为凹（或称下凸）的，并称区间为凹区间。 相应的可定义 凸 和 凸区间。,曲线的凸性与拐点,曲线的凸性与拐点,定义 【基于代数的】 设函数在区间上连续,对任意, 与, 若有 则称该曲线为凹（或称下凸）的，并称区间为凹区间。,曲线的凸性与拐点,定理 设函数在区间内二阶可导.在区间内有如下结论 曲线为 凹 曲线为 凸,证：对任意, 要证 不妨取, 且 即,曲线的凸性与拐点,等价于 代入前式，又等价于,曲线的凸性与拐点,即 即证 又等价于,曲线的凸性与拐点,等同于 由可知上式成立，因此原命题成立。,曲线

3、的凸性与拐点,函数曲线的凹凸性,求曲线的凹凸区间. 解：,函数曲线的凹凸性,定义4.3 连续曲线上改变凸性的点称为该曲线的拐点。 若拐点二阶可导，则其二阶导数为 . 存在不可导的拐点。,求曲线的凹凸区间. 解：,函数曲线,函数的凹凸性,计算函数 的凹凸区间。,导数与函数曲线,曲线的渐近线,定义4.4 如果曲线上一动点沿曲线远离原点时，该动点与直线的距离趋于, 则称直线为曲线的渐近线。 渐近线种类 水平渐近线 垂直渐近线 斜渐近线 ,曲线的渐近线,斜渐近线方程的计算方法 由 先计算,曲线的渐近线,所以 2. 再计算,Newtons Method,Newtons Method,Newtons Method,Newtons Method,Newtons Method,Newto

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