412圆的一般方程.ppt

1、4.1.2 圆的一般方程,一.复习引入,圆心为A(a, b)，半径长为r的圆的标准方程为,得,这说明任何一个圆的方程都可化为,反过来，方程形如 的曲线是不是一定是圆呢？,思考1？,方程表示以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆.,不存在点的坐标(x,y)满足上述方程，故不表示任何图形.,思考2？,二. 研探新知,方程在什么条件下表示圆？,将上述方程左边配方，常数项移到右边，得,（1）当时， 方程表示以为圆心，以 为半径长的圆；,（2）当时，方程只有实数解 即只表示一个点 ；,（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.,我们称为圆的一般方程.,结论,说明：圆的一般方程的特点：,方程 表示的

2、曲线不一定是圆.,(1) 和 的系数相同，都不等于0;,（2）没有 这样的二次项;,（3）三个参数D,E,F满足,圆心为,半径为,当时，方程 表示圆.,一般方程,标准方程(圆心,半径),圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆心和半径，几何特征较明显.,圆的一般方程突出了方程形式上的特点.,圆的标准方程与一般方程的特点及联系,思考？,P123练习2：下列方程各表示什么图形?,原点(0,0),思考?当D=0，E=0或F=0时，圆 的位置分别有什么特点？,D=0,E=0,F=0,圆心在y轴,圆心在x轴,圆过原点,例4 求过三点O（0，0），M1（1，1），M2（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长

3、和圆心坐标.,解：设圆的一般方程是,由已知圆过三点O，M1，M2把三点坐标代入圆的方程，得,解得,所以，所求圆的方程是,圆心坐标（4，-3）,半径,还有其它方法吗？,根据题意，选择标准方程或一般方程;,根据已知条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;,解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程.,方法总结,求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：,小结：求圆的方程,几何方法,求圆心坐标 （两条直线的交点）（常用弦的中垂线）,求半径 （圆心到圆上一点的距离）,写出圆的标准方程,待定系数法,列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组,解出a，b，r（或D，E

4、，F），写出标准方程（或一般方程）,分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程,建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程.,点M的轨迹方程是指点M的坐标(x,y)满足的关系式,例5已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.,解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是,上运动，所以点A的坐标满足方程,例5已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.,若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.,(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为,(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?,(2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系,一般方程,标准方程(圆心,半径),(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:,若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般