8.1+空间几何体的结构及其三视图和直观图.ppt

1、第八编 立体几何 8.1 空间几何体的结构及其三 视图和直观图 要点梳理 1.多面体的结构特征 (1)棱柱的上下底面 ，侧棱都 且长度 ，上底面和下底面是 的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 的三角形.,平行,平行,相等,全等,公,共点,基础知识 自主学习,(3)棱台可由 的平面截棱锥得 到，其上下底面的两个多边形相似. 2.旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕其 旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其 旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等 腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由 的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕其 旋转得到.,平行

2、于棱锥底面,一边所在直线,一条直角边所在,直线,平行于圆锥底面,直径,3.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用 得到,这种投 影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平 面图形的形状和大小是 的,三视图包括 、 、 . 4.空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用 画法，基 本步骤是： (1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴 相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x 轴、y轴,两轴相交于点O,且使xOy .,正投影,完全相同,斜二测,=45（或135）,正视图,侧视图,俯视图,(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观 图中平行于 . (3)已知图形中平行于x轴的线段,在

3、直观图中长 度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为 . (4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面， 在直观图中对应的z轴也垂直于xOy平 面,已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中 仍平行于z轴且长度 .,x轴、y轴,原来,的一半,不变,5.中心投影与平行投影 (1)平行投影的投影线 ，而中心投影的 投影线 . (2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画 出的直观图都是在 投影下画出来的图形.,互相平行,相交于一点,平行,基础自测 1.一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ） A.底面是正方形，有两个侧面是矩形 B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C.底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两

4、两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱 解析 根据正四棱柱的结构特征加以判断.,C,2.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是 圆，则这个几何体一定是（ ） A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截 面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面 都是圆面.,C,3.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥 的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 解析 设母线为l,底面半径为r，则l=2r. 母线与高的夹角为30.圆锥的顶 角为60.,C,4.三视图如下图的几何体是 （ ） A.三棱锥 B.

5、四棱锥 C.四棱台 D.三棱台 解析 由三视图知该几何体为一四棱锥，其中 有一侧棱垂直于底面,底面为一直角梯形.故选B.,B,5.等腰梯形ABCD，上底CD=1，腰AD=CB= ，下 底AB=3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画 法画出的直观图ABCD的面积为 . 解析,题型一 几何体的结构、几何体的定义 设有以下四个命题： 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； 底面是矩形的平行六面体是长方体； 直四棱柱是直平行六面体； 棱台的相对侧棱延长后必交于一点. 其中真命题的序号是 . 利用有关几何体的概念判断所给命题 的真假.,题型分类 深度剖析,解析 命题符合平行六面体的定义,故命题是 正确的

6、,底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底 面不垂直,故命题是错误的,因直四棱柱的底面 不一定是平行四边形,故命题是错误的,命题 由棱台的定义知是正确的. 答案 解决该类题目需准确理解几何体的定 义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通 过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错 误的，设法举出一个反例即可.,知能迁移1 下列结论正确的是（ ） A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余 两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则 此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线 都是母线 解析 A错误.

7、如图所示，由两个结构 相同的三棱锥叠放在一起构成的几何 体,各面都是三角形，但它不一定是棱锥.,B错误.如下图，若ABC不是直角三角 形或是直角三角形,但旋转轴不是直角 边，所得的几何体都不是圆锥. C错误.若六棱锥的所有棱长都相等， 则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正 六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长. D正确.,答案 D,题型二 几何体的直观图 一个平面四边形的斜二测画法的直观图 是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面 积等于( ) A. B. C. D. 按照直观图的画法，建立适当的坐 标系将正方形ABCD还原，并利用平面 几何的知识求出相应的线段、角，求解时要注 意

8、线段和角的变化规律.,解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规 则可知,在x轴上(或与x轴平行)的线段,其长度保持 不变;在y轴上(或与y轴平行)的线段,其长度变为原 来的一半,且xOy=45(或135),所以, 若设原平面图形的面积为S,则其直观图的面积为 可以得出一个平面图形的面积S 与它的直观图的面积S之间的关系是S= 本题中直观图的面积为a2， 所以原平面四边形的面积 答案 B,对于直观图,除了解斜二测画法的规 则外,还要了解原图形面积S与其直观图面积S 之间的关系S= 能进行相关问题的计算. 知能迁移2 如图所示，直观图四边形 ABCD是一个底角为45， 腰和上底均为1的等腰梯形，

9、那么原平面图形的面 积是 .,解析 把直观图还原为平面图形得： 直角梯形ABCD中，AB=2，BC=1+ ，AD=1，,答案,题型三 几何体的三视图 (2009山东，4)一空间几何体的三视图 如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D.,由几何体的三视图，画出几何体的直 观图，然后利用体积公式求解. 解析 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成， 圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2，四棱锥 的底面边长为 ，高为 ，所以体积为 所以该几何体的体积为 答案 C 通过三视图间接给出几何体的形状,打 破以往直接给出几何体并给出相关数据进行相关 运算的传统模式,使三视图与传统意义上的几何体

10、有机结合,这也体现了新课标的思想.,知能迁移3 一个几何体的三视图如图所示，其中正 视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几 何体的侧面积为 （ ） A. B. C. D. 解析 由三视图知，该几何体为一圆锥，其中 底面直径为2，母线长为2，S侧=rl =12=2.,B,题型四 多面体与球 （12分）棱长为2的正四面体的四个顶点 都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面 如图所示，求图中三角形（正四面体的截面） 的面积. 截面过正四面体的两顶点及球心， 则必过对边的中点.,解 如图所示，ABE为题中的三角形，,4分,8分,解决这类问题的关键是准确分析出组 合体的结构特征,发挥自己的空间想象

11、能力,把立 体图和截面图对照分析,有机结合,找出几何体中 的数量关系,为了增加图形的直观性,常常画一个 截面圆作为衬托.,12分,知能迁移4 在一个倒置的正三棱锥容器内,放入 一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经 过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形 是( ) 解析 正三棱锥的内切球心在高线上,与侧面有 公共点,与棱无公共点.,B,方法与技巧 1.棱柱主要是理解、掌握基本概念和性质，并能 灵活应用. 2.正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底 面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面 边长的一半构成的直角三角形中解决. 3.圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这 一特点，弄清旋

12、转轴、旋转面、轴截面.,思想方法 感悟提高,失误与防范 1.台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截 面与底面平行. 2.掌握三视图的概念及画法 在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面 的交线是它们的分界线.在三视图中，分界线和可 见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚 线.并做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样 宽”.,3.掌握直观图的概念及斜二测画法 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段. “平行于x轴的线段平行性不变，长度不变； 平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” 4.能够由空间几何体的三视图得到它的直观图； 也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图. 提升空间想象能

13、力.,一、选择题 1.如图是由哪个平面图形旋转得到的 （ ） 解析 几何体的上部为圆锥，下部为圆台，只 有A可以旋转得到，B得到两个圆锥，C得到一圆 柱和一圆锥，D得到两个圆锥和一个圆柱.,A,定时检测,2.下列命题中，成立的是 （ ） A.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 B.四面体一定是三棱锥 C.棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一 定是正棱锥 D.底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱 相等的棱锥一定是正棱锥 解析 A是错误的，只要将底面全等的两个棱锥 的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是 三角形，但这个多面体不是棱锥；,B是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形 是四面体也

14、必定是个三棱锥； C是错误的，如图所示，棱锥的侧面 是全等的等腰三角形，但该棱锥 不是正三棱锥； D也是错误的，底面多边形既有内切 圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形， 因此不是正棱锥. 答案 B,3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图 相同的是 （ ） A. B. C. D. 解析 在各自的三视图中正方体的三个视图 都相同；圆锥的两个视图相同；三棱台的 三个视图都不同；正四棱锥的两个视图相同， 故选D.,D,4.（2008广东理，5）将正三棱柱截去三个角 （如图1所示），A，B，C分别是GHI三边的 中点得到几何体如图2，则该几何体按图2所示 方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

15、,解析 当三棱锥没有截去三个角时的侧视图如图 （1）所示，由此可知截去三个角后的侧视图如 图（2）所示. 答案 A,5.已知ABC的直观图是边长为a的等边A1B1C1 (如图)，那么原三角形的面积为 （ ） A. B. C. D.,解析 在原图与直观图中有OB=O1B1，BC=B1C1. 在直观图中，过A1作A1D1B1C1， 因为A1B1C1是等边三角形， 所以A1D1= 在RtA1O1D1中，A1O1D1=45， O1A1= 根据直观图画法规则知： ABC的面积为 答案 C,6.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在 球O的表面上,E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则 直

16、线EF被球O截得的线段长为 （ ） A. B.1 C. D. 解析 由题知球O半径为 ，球心O到直线EF 的距离为 ，由垂径定理可知直线EF被球O截 得的线段长,D,二、填空题 7.用任一个平面去截正方体，下列平面图形可能是 截面的是 . 正方形；长方形；等边三角形；直角 三角形；菱形；六边形. 解析 如图所示正方体ABCD A1B1C1D1中，平行于ABCD的截面 为正方形，截面AA1C1C为长方形， 截面AB1D1为等边三角形,取BB1、DD1的中点E、 F，则截面AEC1F为菱形，取B1C1、D1C1、AB、 AD的中点M、N、P、Q，过这四点的截面为六 边形，截面不可能为直角三角形.,

17、8.下列命题中： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底 面和截面之间的部分叫棱台； 棱台的各侧棱延长后一定相交于一点； 圆台可以看做直角梯形以其垂直于底边的腰 所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面 围成的几何体； 半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球. 其中所有正确命题的序号是 . 解析 符合棱台的定义；棱台是由棱锥被 平行于底面的平面所截而得，各侧棱延长后一 定相交于一点；是圆台的另一种定义形式； 中形成的是球面而不是球.,9.（2009天津文，12）如图是一个几何体的三 视图.若它的体积是3 ，则a= . 解析 由三视图可知，此几何体为直三棱柱， 其底面为一边长为2，高为a的等腰三角形.由棱 柱的体积公式得,三、解答题 10.一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm 的圆锥中，求正方体的棱长. 解 如图所示，过正方体的体对角 线作圆锥的轴截面，设正方体的棱 长为x，则