中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)

1、最新资料推荐中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个： 定点到定点 ：两点之间， 线段最短； 定点到定线 ：点线之间，垂线段最短。由此派生： 定点到定点 ：三角形两边之和大于第三边； 定线到定线 ：平行线之间，垂线段最短； 定点到定圆 ：点圆之间，点心线截距最短（长）； 定线到定圆 ：线圆之间，心垂线截距最短； 定圆到定圆 ：圆圆之间，连心线截距最短（长）。余不赘述，下面仅举一例证明： 定点到定圆 ：点圆之间，点心线截距最短（长）。已知 O 半径为 r ， AO=d， P 是 O上一点，求AP 的最大值和最小值。证明：由

2、“两点之间，线段最短”得AP AO+PO， AO AP+PO，得d-r AP d+r ，AP 最小时点 P 在 B 处，最大时点 P 在 C 处。即过圆心和定点的直线截得的线段 AB、 AC 分别最小、最大值。 ( 可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。1最新资料推荐上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。 类型分三种情况： （ 1）直接包含基

3、本图形；（ 2）动点路径待确定；（ 3）动线（定点）位置需变换。（一）直接包含基本图形例 1. 在 O 中，圆的半径为6， B=30， AC是 O 的切线，则CD的最小值是。简析：由 B=30知弧 AD一定，所以 D 是定点， C 是直线 AC上的动点，即为求定点 D 到定线 AC的最短路径，求得当 CD AC时最短为 3。（二）动点路径待确定例 2. ，如图，在 ABC中， ACB=90， AB=5， BC=3， P 是 AB 边上的动点（不与点 B 重合），将 BCP沿 CP所在的直线翻折， 得到 B CP，连接 BA，则 B A 长度的最小值是。简析： A 是定点， B 是动点，但题中未

4、明确告知B 点的运动路径，所以需先确定 B 点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B 的路径2最新资料推荐是以C 为圆心， BC 为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-BC=1 。例 3. 在 ABC中， AB=AC=5， cos ABC=3/5，将 ABC绕点 C 顺时针旋转，得到 ABC ，点 E 是 BC 上的中点，点F 为线段AB 上的动点，在ABC绕点 C 顺时针旋转过程中，点F 的对应点是F ，求线段EF 长度的最大值与最小值的差。简析： E 是定点， F 是动点，要确定F 点的运动路径。先确定线段AB 的运动轨迹是圆环，外圆半径为BC，内圆半径为AB 边上

5、的高， F 是 AB 上任意一点，因此F 的运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点E 到圆环的最短和最长路径。E 到圆 环的 最短距离为EF2 =CF2-CE=4.8-3=1.8， E 到圆环的最 长距离为EF1=EC+CF1=3+6=9，其差为7.2 。（三）动线（定点）位置需变换线段变换的方法：（ 1）等值变换：翻折、平移；（ 2）比例变换：三角、相似。【翻折变换类】典型问题：“将军饮马”例 4. 如图， AOB=30，点 M、 N 分别是射线OA、 OB上的动点， OP平分AOB，且 OP=6，当 PMN的周长最小值为。3最新资料推荐简析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三

6、条动线段PM、MN、PN 在 OA、OB的内侧。所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧，从而把三条动线段PM、MN、PN 转化为连接两点之间的路径。如图，把点 P 分别沿OA、 OB 翻折得P1 、 P2 ， PMN的周长转化为P1M+MN+P2N，这三条线段的和正是连接两个定点P1、 P2 之间的路径，从而转化为求P1 、 P2 两点之间最短路径，得PMN的周长最小值为线段P1 P2 OP 6。例 5. 如图，在锐角 ABC中， AB=4， BAC=45， BAC的平分线交 BC于点 D，M、N分别是 AD和 AB上的动点，则 BM+MN的最小值是。简析：本题的问题也在于动线段BM、

7、MN居于动点轨迹AD 的同侧，同样把点 N 沿 AD 翻折至 AC 上， BM+MN BM+MN，转化为求点B 到直线AC的最短路径，即BN AC时，最小值为22 。【平移变换类】典型问题：“造桥选址”例 6. 如图， m、 n 是小河两岸，河宽20 米， A、 B是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使A、 B之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）？4最新资料推荐简析：桥长为定值，可以想像把河岸m 向下平移与n 重合，同时把点A 向下平移河宽，此时转化成n 上的一点到A、B 的路径之和最短，即转化为定点 A 到定点B 的最短路径。如下图：思路是把动线AM平移至 AM，AN+BN 即转化为

8、求定点A 与定点B 之间的最路径。本题的关键是定长线段MN把动线段分隔，此时须通过平移把动线段AN 、 BN变为连续路径，也可以把点B 向上平移20 米与点 A 连接。例 7. 如图， CD是直线 y=x 上的一条定长的动线段，且CD=2，点 A（ 4，0），连接 AC、AD，设 C 点横坐标为 m，求 m为何值时， ACD的周长最小，并求出这个最小值。解析：两条动线段AC、 AD居于动点所在直线的两侧，不符合基本图形中定形（点线圆）应在动点轨迹的两侧。首先把AC 沿直线CD 翻折至另一侧，如下图：现在把周长转化为AC+CD+AD，还需解决一个问题：动线段AC 与 AD之间被定长线段CD阻断，

9、动线段必须转化成连续的路径。同上题的道理， 把 AC沿 CD方向平移CD的长度即可，如下图。5最新资料推荐现在已经转化为AD+AD 的最短路径问题，属定点到定点，当AD与 AD共线时 AD+AD 最短，即为线段AA 的长。【三角变换类】典型问题：“胡不归”例 8. 如图， A 地在公路BC旁的沙漠里，A 到 BC的距离AH 2 3， AB 219，在公路 BC 上行进的速度是在沙漠里行驶速度的2 倍。某人在B 地工作，A 地家中父亲病危，他急着沿直线BA 赶路，谁知最终没能见到父亲最后一面，其父离世之时思念儿子，连连问：“胡不归，胡不归！”（怎么还不回来），这真是一个悲伤的故事，也是因为不懂数

10、学而导致的。那么，从 B 至 A 怎样行进才能最快到达？简析： BP 段行驶速度是AP 段的 2 倍，要求时间最短即求BP/2+AP 最小，从而考虑BP/2 如何转化，可以构造含30 角利用三角函数关系把BP/2 转化6最新资料推荐为另一条线段。如下图，作 CBD=30， PQ BD，得 PQ=1/2BP，由“垂线段最短”知当 A、 P、 Q 共线时 AP+PQ AQ最小。【相似变换类】典型问题：“阿氏圆”“阿氏圆”：知平面上两点A、 B，则所有满足PA/PB=k 且不等于1 的点 P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆，如下图所示，其中PO： BO AO： P

11、O PA： PB k 。例 9. 已知 A(-4 ， -4) 、 B(0, 4)、 C(0, -6)、 D(0, -1)， AB 与 x 轴交于点E，以点 E 为圆心，ED长为半径作圆， 点 M为 E 上一动点，求 1/2AM+CM的最小值。7最新资料推荐简析：本题的主要问题在于如何转化1/2AM，注意到由条件知在M的运动过程中， EM： AE 1： 2 保持不变，从而想到构造相似三角形，使之与AEM的相似比为1： 2，这样便可实现1/2AM 的转化，如下图取EN： EM 1： 2，即可得 EMN EAM，再得MN=1/2AM，显然， MN+CM的最小值就是定点N、C 之间的最短路径。之后便是常规方法先求N 点坐标，再求CN的长。【解法大一统】万法归宗：路径成最短，折线到直线。（所求路径在一般情况下是若干折线的组合，这些折线在同一直线上时即为最短路径）基本图形：动点有轨迹，动线居两边。8最新资料推荐（动点轨迹可以是线或圆，动线指动点与定点或定线、定圆的连线，动线与折线同指）核心方法：同侧变异侧，分散化连