立体几何复习课件.ppt

1、立体几何复习,平行问题,垂直问题,角度问题,距离问题,柱锥问题,体积面积问题,多面体与球的问题,生活问题和翻折问题,综合问题,平行问题,返回,直线和平面的位置关系,直线和平面的平行关系,平面和平面的平行关系,返回,直线在平面内,直线和平面相交,直线和平面平行,线面位置关系,有无数个公共点,有且仅有一个公共点,没有公共点,返回,平行于同一平面的二直线的位置关系是 ( ）,（A） 一定平行,（B） 平行或相交,（C） 相交,（D） 平行，相交，异面,D,返回,（1）点A是平面外的一点，过A和平面平行的直线有 条。,无数,返回,（2）点A是直线l 外的一点，过A和直线l 平行的平面有 个。,无数,返

2、回,（3）过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有 个。,无数,返回,（4）过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有 个。,且仅有一,返回,（5）如果l1 / l2 , l1 平行于平面,则l2 平面,l1, 或 /,返回,（6）如果两直线a，b相交,a平行于平面，则b与平面的位置关系是 。,a,相交或平行,返回,过直线L外两点,作与直线L平行的平面,这样的平面( ),（A） 有无数个,（C） 只能作出一个,（B） 不能作出,（D） 以上都有可能,情况一,返回,（A） 有无数个,（C） 只能作出一个,（B） 不能作出,（D） 以上都有可能,过直线L外两点,作与直线L平行的平面,这样的平面(

3、),情况二,返回,过直线L外两点,作与直线L平行的平面,这样的平面( ),（A） 有无数个,（C） 只能作出一个,（B） 不能作出,（D） 以上都有可能,D,情况三,返回,例： 有以下四个命题： 若一条直线与另一条直线平行，则它就与经过另一条直线的平面平行； 若一条直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线平行于这个平面； 若一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，则此直线必垂直于这个平面； 平面内两条平行直线，若其中一条直线与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行 其中正确命题的个数是（ A ） A0 B1 C2 D3,返回,解： 不正确，若一条直线与另一条直线平行，则这条直线可能与经过另一条

4、直线的平面平行，也可能在平面内； 不正确，与相仿，若一条直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线可能平行于这个平面，也可能在平面内；,返回, 不正确，若一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，如果在平面内的两条直线平行，则无法判断直线是否垂直于这个平面； 不正确，与相仿，该直线仍有可能在平面内。 所以四个命题都是错误的，选A。,返回,线面平行的判定,(1)定义直线与平面没有公共点,(2)定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。,返回,线面平行判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。,已知：a b a/b,求证：a/,a

5、,b,(1) a,b确定平面，=b,(2) 假设a与不平行,则a与有公共点P,则P =b,(3) 这与已知a/b矛盾,(4) a / ,返回,如图,空间四面体P-ABC,M,N分别是面PCA和面PBC的重心,求证:MN/面BCA,P,MN/ EF, MN /面BCA,线线平行,线面平行,返回,如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB,M.N分别是对角线上的点，AM=FN。求证:MN/面BCE。,A,B,C,D,E,F,M,N,MN / GH, MN /面BCE,线线平行,线面平行,返回,A,B,C,D,E,F,M,N,AFN BNH, AN/NH=FN/BN, AN/NH=AM

6、/MC, MN/CH, MN /平面BCE,如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB, M.N分别是对角线上的点，AM=FN，求证:MN/平面BCE。,返回,在正方体ABCD-A1B1C1 D1中，E为DD1的中点，求证：DB1/平面A1C1E,E,DB1 / EF, DB1 /平面A1C1E,线线平行,线面平行,返回,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为平面ADD1A1的中心，求证：CO / 平面A1C1B,B1,O,返回,(1)如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面无公共点,(2)如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的直线成异面直线或平行直线,

7、(3)如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行。,返回,已知：a/,a, =b,求证：a/b, =b,b ,a /,a b=,a/b,返回,如果平面外的两条平行线中的一条与这个平面平行，则另一条直线与这个平面也平行,a,b,c,返回,如果一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线与它们的交线平行,a,l,已知：a / ， a/ ， =l,求证：a / l,返回,a,b,A,B,O,M,N,P,如图，a,b是异面直线，O为AB的中点，过点O作平面与两异面直线a,b都平行MN交平面于点P，求证：MP=PN,返回,一、两个平面平行的判定方法,1、两个平面没有公

8、共点,2、一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,3、都垂直于同一条直线的两个平面,两个平面平行,返回,二、两个平面平行的性质,4、一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面,2、其中一个平面内的直线平行于另一个平面,3、两个平行平面同时和第三个平面相交，它们的交线平行,两个平面平行,5、夹在两个平行平面间的平行线段相等,1、两个平面没有公共点,返回,判断下列命题是否正确？,1、平行于同一直线的两平面平行,2、垂直于同一直线的两平面平行,3、与同一直线成等角的两平面平行,返回,4.垂直于同一平面的两平面平行,5.若,则平面内任一直线a ,返回,2. 如图,设AB、CD为夹在两

9、个平行平面 、 之间 的线段，且直线AB、CD为异面直线，M、P 分别为AB、CD 的中点， 求证： 直线MP / 平面 .,返回,例:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求证：平面AB1D1平面BDC1,证明：,B1D1AB1=B1,平面AB1D1 平面BDC1,线线,线面,面面,返回,证法2：,A1CBD,BDBC1=B,A1C平面BDC1,平面AB1D1 平面BDC1,返回,变形1:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别为A1D1,A1B1,A1A的中点,求证：面EFG面BDC1,变形2:若O为BD上的点 求证：OC1 平面EFG,O,面面,由上知平面EFG

10、平面BDC1,线面,OC1 平面EFG,证明：,返回,变形3:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E,F,M,N分别为A1B1,A1D1, B1C1, C1D1 的中点,求证：平面AEF平面BDMN,返回,小结：,线 平行 线,线 平行 面,面 平行 面,线面平行判定,线面平行性质,面面平行判定,面面平行性质,三种平行关系的转化,返回,已知：四面体A-BCD，E,F,G分别为AB,AC,AD的中点.,求证：平面EFG平面BCD,练习,返回,垂直问题,线面垂直的判定方法,(1)定义如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。,(2)判定定理1如果两条平行线中的一条垂

11、直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。,(3)判定定理2如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。,返回,线面垂直的性质,(1)定义如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线,(2)性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。,返回,填空,（1）l , m l_m,（2） n, m , m与n_, l m, l n, l ,（3）l , m , l_m,（4）l /m , l , m_ ,相交,/,返回,P,A,B,C,如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面,（1）BC平面PAC,返回,P,A,

12、B,C,2)若AHPC,则AH面PBC,如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面,返回,O,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为下底面的中心,求证：AC平面D1B1BD,返回,O,H,在正方体AC1中，O为下底面的中心，B1H D1O,求证：B1H平面D1AC,返回,返回,如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直,返回,如图，C为以AB为直径的圆周上一点， PA面ABC，找出图中互相垂直的平面。,PA平面ABC,平面PAC平面ABC,平面PAB平面ABC,BC平面PAC,平面PBC平面PAC,返回,如果两个平面垂直，则在一个平面

13、内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面,返回,求证：如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直,返回,四面体ABCD中，平面ADC平面BCD，平面ABD 平面BCD，设DE是BC边上的高， 求证： 平面ADE 平面ABC,平面ADC平面BCD,平面ABD 平面BCD,AD 平面BCD,AD BC,DE BC,BC 平面ADE,平面ABC 平面ADE,返回,课堂练习,课堂练习,空间四面体ABCD中，若AB=BC，AD=CD，E为AC的中点，则有( ）,(A) 平面ABD 平面BCD,(B) 平面BCD 平面ABC,(C) 平面ACD 平面ABC,(D) 平面ACD 平面BDE,返

14、回,如图，ABCD是正方形，PA 面ABCD，连接PB,PC,PD,AC,BD,问图中有几对互相垂直的平面？,平面PAC平面ABCD,平面PAB平面ABCD,平面PAD平面ABCD,平面PAD平面PAB,平面PAD平面PCD,平面PBC平面PAB,平面PBD平面PAC,返回,如图，三棱锥P-ABC中，PB底面ABC，ACB= 90,PB=BC=CA,E为PC中点，,返回,如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA底面ABCD，BAD= 120,E为PC上任意一点，,返回,例:如图，在四面体SABC中，ASC=90，ASB=BSC=60，SA=SB=SC， 求证：平面ASC平面ABC。,返回,证

15、明：容易证得AB=BC=SB，取AC中点D，连SD、BD，得SDAC，BDAC， 由ASC=90，设SA=SB=SC=a， 解得SD= a，BD= a， 而SB=a， SDB=90， 平面ASC平面ABC。,返回,角度问题,一、概念,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,返回,a,b,O是空间中的任意一点,点o常取在两条异面直线中的一条上,o,o,o,o,o,返回,一、概念,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异

16、面直线a和b所成的角。,返回,B,A,返回,一、概念,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,返回,A,B,O,返回,一、概念,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点

17、为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,A,L,B,O,返回,二、数学思想、方法、步骤：,解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。,2.方法：,3.步骤：,b.求直线与平面所成的角：,a.求异面直线所成的角：,c.求二面角的大小：,作（找）, 证, 点, 算,1.数学思想：,返回,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线A1B和B1C所成的角？,A1B和B1C所成的角为60,和A1B成角为60的面对角线共有 条。,返回,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异

18、面直线D1B和B1C所成的角？,A,B,D,C,A1,B1,D1,C1,返回,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是A1A和B1B的中点，求异面直线CM和D1N所成的角？,M,N,返回,P,A,B,C,M,N,空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，AC的中点，PA=BC=4，MN=3，求PA与BC所成的角？,返回,1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、G分别是AA1和CC1的中点， F在AB上，且C1EEF，则EF与GD所成的角的大小为（ ） (A) 30 (B) 45 (C) 60(D) 90,D,M,EB1是EC1在平面AB1 内的射影,EB1 EF DGAMEB

19、1 EF DG,返回,A1,A,B,B1,C,D,C1,D1,F,E,解：如图，取AB的中点G ，,O,（证）,（点）,（算）,（作）,例1:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1 、CD中点。求AE与D1F所成的角。,返回,例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。,返回,取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，,如图，连B1D1与A1C1 交于O1，,于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）,O1,M,解：,为什么？,返回,解法二：,方法归纳：,补形法,把空间图

20、形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。,返回,解法二：,方法归纳：,补形法,把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。,在A1C1E中，,由余弦定理得,A1C1与BD1所成角的余弦值为,如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面,连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，,BC1的长方体B1F，,返回,例： 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，异面直线AC与BC1所成角的大小是（ ） A30 B45 C60 D90,返回,例： 如图，正三棱锥SA BC的

21、侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、 A B的中点，那么异面直线EF与SA所成角等于（ ） A90 B60 C45 D30,返回,解：取AC的中点G，连接EG、FG， EG/SA， GEF是异面直线EF与SA所成角，又FG/BC，SABC， EGF=90， EGF是直角三角形，又EG=SA，FG=BC， EG=FG，EGF是等腰直角三角形， GEF=45，选C.,返回,正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC、BD交于O，则OB1与A1C1所成的角的度数为,例：,900,返回,定角一般方法有：,（1）平移法（常用方法）,小结：,1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，体现了化归的

22、数学思想。,2、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识解决。,（2）补形法,化归的一般步骤是：,定角,求角,返回,说明：异面直线所成角的范围是（0， ，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角。,返回,斜线与平面所成的角,平面的一条斜线,和它在这个平面内的射影,所成的锐角,返回,若斜线段AB的长度是它在平面内的射影长的2倍，则AB与所成的角为 。,60,返回,最小角原理,C,斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。,返回,求直线与平面所成的角时,应注意的问题:,(1)先判断直线与平面的位置关系,(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：,作出或找出

23、斜线上的点到平面的垂线,作出或找出斜线在平面上的射影,求出斜线段，射影，垂线段的长度,解此直角三角形,求出所成角的相应函数值,返回,例题:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角,O,返回,如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为下底面AC的中心，求A1O与平面BB1D1D所成的角.,O,O,返回,正四面体P-ABC中，求侧棱PA与 底面ABC所成的角,P,A,B,C,D,返回,例题:,从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,返回,以二面角的

24、棱上任意一点为端点，,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,返回,基础题例题,1.下列命题中： 两个相交平面组成的图形叫做二面角； 异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补； 二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； 正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角. 其中，正确命题的序号是_.,、,返回,2.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1的大小为_，二面角B-AA1-D的大小为_，二面角C1-BD-C的正切值是_.,45,90,基础题例题,返回,3

25、. 在二面角-l-的一个平面内有一条直线AB，它与棱 l 所成的角为45，与平面所成的角为30，则这个二面角的大小是_.,45或135,基础题例题,返回,B,4. 在二面角-l-内，过l作一个半平面，使二面角-l-为45，二面角-l-为30，则内的任意 一 点P到平面 与平面的距离之比为( ) (A) (B) (C) (D),基础题例题,返回,基础题例题,5. PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条的夹角 都是60o，则二面角B PAC的余弦值是 ( ) A. B. C. D.,A,返回,A,B,C,A,M,已知：如图ABC的顶点A在平面M上的射影为点A，ABC的面积是S， ABC的面

26、积是S，设二面角A-BC-A为.求证：COS = S S,返回,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角D1-AC-D的大小？,返回,7.已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，AC= BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1 与底面ABC所成的角为60. (1)求证：BC平面AA1C1C； (2)求二面角B-AA1-C的大小.,能力思维方法,返回,7.已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1与底面ABC所成的角为60.(1)求证：BC平面AA1C1C；(2)求二面角 B-AA1-C的大小.

27、,能力思维方法,证明: (1)由题设知，A1M平面ABC，,又A1M 平面AA1C1C，,(1)平面AA1C1C底面ABC，,又BCAC，,平面AA1C1C平面ABC=AC，,BC 平面AA1C1C,返回,7.已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1与底面ABC所成的角为60.(1)求证：BC平面AA1C1C；(2)求二面角 B-AA1-C的大小.,能力思维方法,证明: (2)由题设知，A1M平面ABC，,AA1与底面ABC所成角为A1AC,A1AC=60o,又M是AC中点，,AA1C是正三角形,作CNAA1于N，,点N是

28、AA1的中点,连接BN，,由BC 平面AA1C1C，,BCAA1，,AA1 平面BNC，,AA1 BN ，,BNC是二面角B-AA1C的平面角，,返回,7.已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1与底面ABC所成的角为60.(1)求证：BC平面AA1C1C；(2)求二面角 B-AA1-C的大小.,能力思维方法,设AC=BC=a，,正三角形AA1C的边长为a，,在直角三角形BNC中，,二面角BAA1C的大小是,返回,【解题回顾】先由第(1)小题的结论易知BCAA1， 再利用作出棱AA1的垂面BNC来确定平面角BNC. 将题设

29、中“AA1与底面ABC所成的角为60”改为“ BA1AC1 ” 仍可证得三角形AA1C为正三角形，所求二面角仍为 . 本题的解答也可利用三垂线定理来推理.,能力思维方法,返回,ABC中,ABBC,SA 平面ABC,DE垂直平分SC,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小?,S,A,B,C,E,D,返回,三棱锥P-ABC中，PA 平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC.,（1）求二面角P-BC-A的大小,3,4,H,返回,（2）求二面角A-PC-B的大小,COS =,三棱锥P-ABC中，PA 平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC.,返回,在正方体ABCD-A1

30、B1C1D1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小.,E,F,返回,E,F,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小.,返回,已知正方形ABCD中，AC、BD相交于O点，若将正方 形ABCD沿对角线BD折成60的二面角后，给出下面4个 结论： ACBD；ADCO；AOC为正三角形； 过B点作直线l平面BCD，则直线l平面AOC, 其中正确命题的序号是_,基础题例题,返回,1、在四面体PABC中，PC平面ABC， AB=BC=CA=PC，求二面角BAPC的大小,E,F,解：如图过B作BEAC于E，

31、过E作EFPA于F，连结BF。 PC平面ABC，BE平面PAC，BFPA。 BFE就是二面角BPAC的平面角。,设PC=1 则AB=BC=CA=PC=1， E为AC的中点，,所求二面角大小为:,能力思维方法,返回,能力思维方法,2.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿对角线AC将四边形折成直二面角. 证：(1)AB面BCD；(2)求面ABD与面ACD所成的角.,返回,能力思维方法,2.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿对角线AC将四边形折成直二面角. 证：(1)AB面BCD；(2)求面ABD与面ACD所成的角.,证明:

32、(1)D-AC-B是直二面角,又DCAC,DC平面ABC,(面面垂直性质定理),又AB 平面ABC,DCAB,又ABBC,AB平面BCD,A,B,C,D,返回,能力思维方法,2.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿对角线AC将四边形折成直二面角. 证：(1)AB面BCD；(2)求面ABD与面ACD所成的角.,证明: (2)过C作CHDB于H,平面ABD平面DCB,CH平面ABD,AB平面BCD,又平面ABD 平面DCB=DB,B,H,过H作HEAD于E,E,连接CE,由三垂线定理知 CEAD,HEAD,CEAD,CEH是所求二面角 的平面角,CEH=60o,

33、即所求二面角为 60o,返回,【解题回顾】准确画出折叠后的图形，弄清有关点、线之间的位置关系，便可知这是一个常见空间图形(四个面都是直角三角形的四面体).,能力思维方法,返回,例A为二面角l的棱l上一点，射线AB ，且与棱成45角，与成30角，则二面角l的大小是（ ）。（A）45 （B）30 （C）45或135 （D）30或150,提示：分锐二面角和钝二面角两种情况讨论,返回,sinBCD= BCD=45，,返回,如图（2），若二面角l是钝二面角，自B作BD，D为垂足，作BCl于C，C为垂足，连接CD，延长DC到E，则由三垂线定理得CEl， BCE是二面角l的平面角，而BCD是二面角l的平面角

34、的补角，由（1）解得BCD=45， BCE=135， 即二面角的大小是45或135，选C.,返回,3.在直角梯形P1DCB中，P1DCB，CDP1D，P1D= 6，BC=3，DC=3，A是P1D的中点. 沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45，设E、F分别为AB、PD的中点. (1)求证：AF平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大小；,能力思维方法,E,F,P,.,.,证明:（1）取PC的中点G,.,G,连接FG、EG,则FG/CD,且FG= CD,AE/CD,且AE= CD,AE/FG,AE=FG,从而四边形AEGF是平行四边形,AF/EG,EG 平面P

35、EC,AF/平面PEC,返回,3.在直角梯形P1DCB中，P1DCB，CDP1D，P1D= 6，BC=3，DC=3，A是P1D的中点. 沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45，设E、F分别为AB、PD的中点. (1)求证：AF平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大小；,能力思维方法,P,证明:（2）,CD平面PAD,平面PAD平面ABCD,PAB为二面角P-BC-A的平面角,在RtPAB中,PA=3,PB= ,PA=AD,且PDA=45o,PAAD,PA平面ABCD,ABBC,由三垂线定理得 PBBC,sinPBA=,得所求的二面角为60o,返回,【解题回

36、顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而 应首先由题设去分析，题目中是否已有.,能力思维方法,返回,4.正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，求平面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.,能力思维方法,A,D,B,C,B1,A1,D1,C1,.,E,解题分析:所求二面角”无棱”,要么先找 “棱”,要么用面积投影.,解法一:取B1C1的中点M,.,M,连接EM,E为BC的中点,EM平面A1B1D1,B1D1 M是D1B1E的射影三角形,设平面B1D1E和平面A1B1C1D1所成的 二面角为,平面ABCD/平面A1B1C1D1,平面B1D1E和平面ABCD所成的 二面角也为,设正

37、方体棱长为 a,所求二面角的正弦值为,返回,4.正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，求平面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.,能力思维方法,A,D,B,C,B1,A1,D1,C1,.,F,解法二:取BC的中点F,.,M,连接BD、EF,所求二面角的正弦值为,.,E,E为BC的中点,EF/BD,BD/B1D1,EF/B1D1,EF、B1D1共面，,平面ABCD平面EB1D1F=EF，,作BGEF交FE的延长线于G,G,连接B1G,则B1GB是平面B1D1E,和平面ABCD所成二面角的平面角。,设正方体棱长为 a,则BE= ，,BG= ，,在RtB1BG中,B1G= ，,

38、返回,【解题回顾】解法一利用公式 . 思路简单明 了，但计算量较解法二大.解法二的关键是确定二面角的棱，再通过三垂线定理作出平面角，最终解直角三角形可求出.,能力思维方法,返回,例：如图，已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长大于底面边长，M、N分别在侧棱AA1、BB1上，且B1N=A1B1=2A1M，求截面C1MN与底面A1B1C1所成的二面角的大小。,返回,返回,距离问题,一、知识概念,1.距离定义 （1）点到直线距离 从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的距离叫这点到这条直线的距离。 （2）点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫这点到这个平面的

39、距离。 （3）两平行直线间的距离 两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间的距离。,返回,（4）两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度，叫两异面直线的距离。 （5）直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这个平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离。 （6）两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面间的距离。,返回,2.求距离的步骤 （1）找出或作出有关距离的图形 （2）证明

40、它们符合定义 （3）在平面图形内进行计算,返回,A,B,C,A1,B1,D1,C1,正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题,(1)A到CD1的距离,D,点线,返回,A,B,C,A1,B1,D1,C1,正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题,(1)A到CD1的距离,D,(2)A到BD1的距离,返回,点线,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,H,已知：长方体AC1中，AB=a，AA1=AD=b,求点C1到BD的距离？,C1H=,返回,线线,A,B,C,D,E,F,矩形CDFE和矩形ABFE所在的平面相交，EF=5,AD=13,求平行线AB和CD的距离？,返回,点面,从平面外一点引这个平面的垂线

41、,垂足叫做点在这个平面内的射影,这个点和垂足间的距离叫做,点到平面的距离,线面垂直,点的射影,点面距离,返回,已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？,P,A,B,C,O,OA=OB=OC,O为三角形ABC的外心,返回,已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？,P,A,B,C,O为三角形ABC的垂心,D,O,返回,已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？,P,A,B,C,O为三角形ABC的内心,O,E,F,返回,已知三棱锥P-ABC的三条

42、侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？外心,已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？垂心,已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？内心,P,A,B,C,O,返回,A,B,C,A1,B1,D1,C1,正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题,D,(1)A到面A1B1CD,返回,A,B,C,A1,B1,D1,C1,正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题,D,(1)A到面A1B1CD,(2)A到平面BB1D1,返回,棱长为1的正四面体PABC中，求点P到平面ABC的距离

43、？,A,B,C,O,P,返回,4.如图，已知P为ABC外一点，PA、PB、PC两两垂直，且PAPBPC3，求P点到平面ABC的距离。,返回,3.如图，AB是O的直径，PA平面O，C为圆周上一点，若AB5，AC2，求B到平面PAC的距离。,返回,直角三角形ACB确定平面 ，点P在平面 外， 若点P到直角顶点C的距离是24，到两直角边的 距离都是6 ，求点P到平面 的距离？,P,A,B,C,E,F,O,返回,A,B,E,F,D,C,P,Z,返回,线面,一条直线和一个平面平行时，直线上任意一点 到这个平面的距离叫做直线到平面的距离,返回,例：已知一条直线 l 和一个平面平行，求证：直线 l 上各点到

44、平面的距离相等,A,A,B,B,l,返回,l,A,A,B,返回,如果一条直线上有两个点到平面的距离 相等，则这条直线和平面平行吗？,判断题：,返回,空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D 距离相等的平面有几个？,A,B,C,D,4,A,B,C,D,3,返回,5.如图，已知在长方体ABCDABCD中，棱AA=5，AB=12，求直线BC到平面ABCD的距离。,练 习,返回,A,B,C,D,P,F,E,已知：ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是 AD，AB的中点，PC面ABCD，PC=2， 求点B到平面PEF的距离？,G,O,H,点线,点面,线面,综合练习：,返回,例3：如图：已知ABCD是边

45、长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，PC垂直平面ABCD，且PC=2，求点B到平面EFP的距离。,解：连AC，BD，设交于O,设AC交EF于H,O,H,连PH,因为BD平面PEF，所以求B到平面的距离，可转化为求BD到平面的距离,过O作OK平面PEF，可证明OK就是所要求的距离,K,此时，得用OKHPCH，容易求得 OK的值。,返回,两个平行平面的距离,A,B,A,B,和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线。,公垂线夹在平行平面间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。,直线AA、BB都是它们的公垂线段,两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。,返回,返回,题型

46、讲练：,思考:在边长为1的正方体 中,M,N,E,F分别,放 飞 思 维 的 翅 膀,是棱 的中点.,(1)求证:平面 面 ;,(2)求:平面 与面 的距离.,返回,思考题：（1999）如图：已知正四棱柱ABCD-ABCD中，点E在棱DD上，截面EACDB，且面EAC与底面ABCD所成的角为450，AB=a （1）求截面EAC的面积 （2）求异面直线AB与AC的距离,返回,二、例,例1：在600二面角M-N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求P到直线a距离。,解：设PA，PB分别垂直平面M，平面N与A、B，PA，PB所确定的平面为,且平面交直线a与Q，设PQ=x,在直角PAQ中

47、sinAQP=1/x 在RT PBQ中sin AQP=2/x,cos600=cos(AQP +AQP)，由此可得关于x的方程,最后可解得,返回,例2：菱形ABCD中，BAD=600，AB=10，PA平面ABCD，且PA=5，求： （1）P到CD的距离 （2）P到BD的距离 （3）P到AD的距离 （4）求PC的中点到 平面PAD的距离,(1)过P作CD的垂线，交CD的延长线于E，连AE,E,(2)连BD，交AC于O，连PO,O,返回,1. 、是两个平行平面，a，b ，a与b之间的距离为d1， 与之间的距离为d2，则 ( ) (A)d=d2 (B)dd2 (C)d1d2 (D)dd2,基础题例题,

48、D,2. 一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直.如果公共边AC=a，则异面直线AB与CD的距离是 ( ) (A) (B) a (C) (D),C,返回,3. ABC中，AB=9，AC=15，BAC=120，ABC 所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14， 那么点P到平面的距离为 ( ) (A)7 (B)9 (C)11 (D)13,A,基础题例题,4. 在长方体， 中，已知AB=4，AA1 =3，AD=1，则点C1到直线A1B的距离为_.,返回,5.已知RtABC的直角顶点C在平面内，斜边AB，AB=26，AC、BC分别和平面成45和30角，则AB到平面的距离为_.,2

49、,基础题例题,6.在二面角- l 的半平面内有一点 A 到棱 l 的距 离为 2 ,到半面所在平面的距离等于 1 ,则这个二面角 的度数为_,30o 或 150o,返回,2.已知四面体ABCD，ABACAD6，BC3，CD4，BD5，求点A到平面BCD的距离。,练习：,A,B,D,返回,7.平面内的MON=60，PO是平面的斜线段，PO=3，且PO与MON的两边都成45的角，则点P到的距离为 （ ） A.B. C. D.,A,基础题例题,8.直线 EF 平行于平面内的两条直线AB和CD，EF 与的距离为15，与AB的距离为17，又AB与CD的距 离是28，则EF与CD的距离是 ,25或39,返

50、回,9. 已知平面, AB, AB, A , B ，直线 a ，b , ab，A到 a 的距离为2，B 到 b 的距离为5，AB=4，则a，b间的距离为 ,基础题例题,a,b,a,b,A,B,A,B,返回,11.在棱长为1的正方体 中， (1)求点A到平面 的距离； (2)求点 到平面 的距离； (3)求平面 与平面 的距离； (4)求直线AB与平面 的距离.,能力思维方法,A,C,D,B,A1,B1,D1,C1,O,解析： 连AC、BD交于O， AOBD， 又AODD1， AO平面BD1， AO的长即为所求,返回,11.在棱长为1的正方体 中， (1)求点A到平面 的距离； (2)求点 到平

51、面 的距离； (3)求平面 与平面 的距离； (4)求直线AB与平面 的距离.,能力思维方法,A,C,D,B,A1,B1,D1,C1,O,E,易知平面 A1ACC1平面AB1D1 在矩形AA1CC1中， 易知A1 CO1A 设A1EAO1于E， A1E平面AB1 D1 A1E为所求。,返回,11.在棱长为1的正方体 中， (1)求点A到平面 的距离； (2)求点 到平面 的距离； (3)求平面 与平面 的距离； (4)求直线AB与平面 的距离.,能力思维方法,A,C,D,B,A1,B1,D1,C1,E,F,.,.,易知A1C平面AB1D1 A1C平面BC1D 设直线A1C分别交平 面AB1D1

52、、平面BC1D于 点E、F，则EF的长为 所求,返回,11.在棱长为1的正方体 中， (1)求点A到平面 的距离； (2)求点 到平面 的距离； (3)求平面 与平面 的距离； (4)求直线AB与平面 的距离.,能力思维方法,A,C,D,B,A1,B1,D1,C1,G,.,因为直线AB平面CDA1B1 点B到平面CDA1B1 的距 离BG就是所求的距离， (G是BC1与B1C的交点， BGB1C, BGCD， 直线BG平面A1B1CD） 此距离为:,返回,【解题回顾】(1)求距离的一般步骤是：一作，二证，三计算.即先作出表示距离的线段，再证明它就是要求的距离，然后再计算，其中第二步的证明易被忽

53、视，应引起重视. (2)求距离问题体现了化归与转化的思想，一般情况下需要转化为解三角形.,能力思维方法,返回,12. 已知如图，边长为a的菱形ABCD中，ABC=60，PC平面ABCD，E是PA的中点，求E到平面PBC的距离.,能力思维方法,解:E是PA的中点，,E到平面PBC的距离等于A 到 平面PBC的距离的一半.,由PC平面ABCD,得到平面PBC平面ABCD,在平面ABCD内作AHBC， 交BC于H,则AH=,H,所求距离为,返回,12. 已知如图，边长为a的菱形ABCD中，ABC=60，PC平面ABCD，E是PA的中点，求E到平面PBC的距离.,能力思维方法,G,O,返回,距离离不开

54、垂直，因此求距离问题的过程实质上是 论证线面关系(平面与垂直)与解三角形的过程，值得注 意的是，“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少 的步骤，尤其是证明那一步.,误解分析,返回,13. 在120的二面角 内有一点P，它到二面角的两个面的距离分别是3cm和4cm，求它在和内的射影的距离和这点到 l 的距离,能力思维方法,解析：设P到、的射影分别是M、N，则 PM=3cm,PN=4cm,过P、M、N作平面交l于Q则 llQM，lQN MQN为二面角l的平面角。 MQN=120 M+N=180 P、M、Q、N四点共圆， MPN=180120=60,P到 l 的距离是:,MN=,返回,棱柱问题,

55、棱锥问题,复习：知识网络,底面,对角线,高,侧面,侧棱,顶点,棱柱(概念),有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。,体积VSh,返回,复习：知识网络,棱柱(分类),斜棱柱,直棱柱,正棱柱,返回,复习：知识网络,四棱柱,四棱柱,直四棱柱 侧棱垂直底面,平行六面体 底面是平行四边形,长方体,正四棱柱,正方体,侧面垂直底面,返回,要点疑点考点,一、棱柱,(1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫棱柱,1.概念,(2)侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱,返回,(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；,2.性质,(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.,(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形；,要点