矩阵论—Jordan标准形.ppt

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束,数学科学学院 陈建华,矩 阵 论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.3 Jordan标准形,一、 - 矩阵,二、Jordan标准形,三、Jordan标准形简单应用,目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构-Jordan矩阵。,1. 定义,设 P 是一个数域， 是一个文字，作多项式环,P .,一个矩阵，如果它的元素是 的多项式，即,P 的元素,就称为 - 矩阵.,讨论 - 矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上,关于若尔当标准形的主要定理.,因为数域 P 中的数也是 P 的元素，所以在, - 矩阵中也包括以数为元素的矩阵.,一、 - 矩阵,矩阵称为数字

2、矩阵.,以下用 A()， B()， 等,表示 -矩阵 .,我们知道， P 中的元素可以作加、减、乘,三种运算, 并且它们与数的运算有相同的运算规律.,而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法,与乘法，因此，我们可以同样定义 - 矩阵的加法,与乘法, 它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.,把以数域 P 中的数为元素的,行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法,因此,同样可以定义一个 n n 的 - 矩阵的行列式.,一般地， - 矩阵的行列式是 的一个多项式,它与,数字矩阵的行列式有相同的性质.,例如, 对于 - 矩阵的行列式，矩阵乘积的行列式,等于行列式的乘积，,这一结论，显然是对的.,既

3、然有行列式，也就有 - 矩阵的子式的概念.,利用这个概念，我们有秩和可逆矩阵等。,秩 如果 - 矩阵 A() 中有一个 r ( r 1 ),级子式不为零，而所有 r + 1 级子式 (如果有的话),全为零，则称 A() 的秩为 r .,零矩阵的秩规定为零。,可逆矩阵 一个 n n 的 - 矩阵 A() 称为可逆,的，如果有一个 n n 的 - 矩阵 使,A() B() = B() A() = E , (1),这里 E 是 n 级单位矩阵.,适合 (1) 的矩阵 B() (它,是唯一的) 称为 A() 的逆矩阵，记为 A-1() .,定理 1 一个 n n 的 - 矩阵 A() 是可逆的,充分必

4、要条件是行列式 | A() | 是一个非零数.,证明,先证充分性.,设,d = | A() |,是一个非零的数.,A*() 是 A() 的伴随矩阵，它也,是一个 - 矩阵 ，而,因此， A() 可逆.,再证必要性.,设 A() 可逆，则有,A() B() = B() A() = E ,上式两边取行列式，得,| A() | | B() | =|E | = 1 .,因为 | A() | 与 | B() | 都是 的多项式，所以由它,们的乘积是 1 可以推知，它们都是零次多项式，,也就是非零的数 .,证毕,例1 求下列 - 矩阵的秩,秩为3,秩为2,例2 下列 - 矩阵中，哪些是可逆的？若可,逆求其

5、逆矩阵.,初等变换的定义,定义 下面的三种变换叫做 - 矩阵的初等变换：,(1) 矩阵的两行(列)互换位置；,(2) 矩阵的某一行(列)乘以非零常数 c ；,(3) 矩阵的某一行(列)加另一行(列)的 (),倍， () 是一个多项式.,和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.,2. - 矩阵的Smith标准形,三种初等变换对应三个初等矩阵,同样地，对一个 s n 的 - 矩阵 A() 作一次,初等行变换就相当于在 A() 的左边乘上相应的 ss,初等矩阵；,对 A() 作一次初等列变换就相当于在,A() 的右边乘上相应的 n n 的初等矩阵.,初等矩阵都是可逆的，并且有,P( i , j

6、) -1 = P( i , j ) , P( i(c) ) -1 = P( i( c -1 ) ) , P( i , j ( ) ) -1 = P( i , j (- ) ) .,由此得出初等变换具有可逆性：,设 - 矩阵 A() 用,初等变换变成 B()，这相当于对 A() 左乘或右乘,一个初等矩阵.,再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 B(),就变回 A() ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由,B()可用初等变换变回 A() .,我们还可以看出在第,二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这,也是为了使 P( i(c) ) 可逆的缘故., - 矩阵的等价,定义 - 矩阵 A() 称为与 B() 等

7、价，,可以经过一系列初等变换将 A() 化为 B() .,等价的性质:,等价是 - 矩阵之间的一种等价关系。,如果, - 矩阵等价的条件：,矩阵 A() 与 B() 等价的充分必要条件是有一,系列初等矩阵 P1 , P2 , , Pl , Q1 , Q2 , , Qs 使,A() = P1 P2 Pl B()Q1Q2 Qs ., - 矩阵的标准形,本段主要是证明任意一个 - 矩阵可以经过,初等变换化为Smith标准形.,引理,设 - 矩阵A() 的左上角元素 a11() 0，,并且 A() 中至少有一个元素不能被它除尽，那么,一定可以找到一个与 A() 等价的矩阵 B() ，它的,左上角元素也

8、不为零,但是次数比 a11() 的次数低.,证明,根据 A() 中不能被 a11() 除尽的元素,所在的位置，分三种情况来讨论：,1) 若 A() 的第一列中有一个元素 ai1() 不能,被 a11() 除尽，则有,ai1() = a11() q() + r () ,其中余式 r () 0，且次数比 a11() 的次数低.,对 A() 作初等行变换.,把 A() 的第 i 行减去,第 1 行的 q() 倍，得：,再将此矩阵的第 1 行与第 i 行互换，得：,B() 左上角元素 r () 符合引理的要求，故 B(),即为所求的矩阵.,2) 在 A() 的第一行中有一个元素 a1i () 不能,被

9、 a11() 除尽，这种情况的证明与 1) 类似，但是,对 A() 进行的是初等列变换.,3) A() 的第一行与第一列中的元素都可以被,a11() 除尽，但 A() 中有另一个元素 aij () ( i 1,j 1 ) 不能被 a11() 除尽.,设,ai 1 () = a11() () .,对 A() 作下述初等行变换：,= A1() .,矩阵 A1() 的第一行中，有一个元素,ai j () +( 1 - () ) a1j (),不能被左上角元素 a11() 除尽，这就化为已经证,明了的情况 2) .,证毕,定理2 任意一个非零的 s n 的 - 矩阵A(),都等价于下列形式的矩阵,其中

10、 r 1 , di() ( i = 1, 2, , r-1 ) 是首项系数为 1,的多项式，且,di() | di+1() ( i = 1, 2, , r-1 ) .,证明,经过行列调动之后，可以使得 A() 的,左上角元素 a11() 0，如果 a11() 不能除尽 A(),的全部元素，,由,可以找到与 A() 等价的,B1() ，它的左上角元素 b1() 0，并且次数比,a11() 低.,如果 b1() 还不能除尽 B1() 的全部元素,由引理，又可以找到与 B1() 等价的 B2() ，它的,左上角元素 b2() 0，并且次数比 b1() 低.,如此,下去，将得到一系列彼此等价的 - 矩

11、阵 A() ,B1() , B2() , .,它们的左上角元素皆不为零，而,且次数越来越低.,但次数是非负整数，不可能无止,境地降低.,因此在有限步以后，我们将终止于一个, - 矩阵 Bs () ，它的左上角元素 bs() 0，而且,可以除尽 Bs () 的全部元素 bij() ，,bij () = bs() qij () ，,对 Bs () 作初等变换：,即,在右下角的 - 矩阵 A1 () 中，全部元素都是可以,被 bs() 除尽的, 因为它们都是 Bs() 中元素的组合.,如果 A1() O，则对于A1() 可以重复上述过,程，进而把矩阵化成,其中 d1() 与 d2() 都是首项系数为

12、 1 的多项式,( d1() 与 bs() 只差一个常数倍数)，而且,d1() | d2() ，,d2() 能除尽 A2() 的全部元素.,如此下去，A() 最后就化成了所要求的形式.,证毕,最后化成的这个矩阵称为 A() 的标准形.,例3 用初等变换把下列 - 矩阵化为标准形.,行列式因子,在上一段，我们讨论了 - 矩阵的标准形，其,主要结论是：任何 - 矩阵都能化成标准形.,但是,矩阵的标准形是否唯一呢？,答案是肯定的.,为了证,明唯一性，要引入矩阵的行列式因子的概念.,3.行列式因子与不变因子,不变因子,设 - 矩阵 A() 的秩为 r ，对于正整数 k，,1 k r ， A() 中必有

13、非零的 k 级子式.,A(),中全部 k 级子式的首项系数为 1 的最大公因式,Dk() 称为 A() 的 k 级行列式因子.,由定义可知，对于秩为 r 的 - 矩阵，行列式,因子一共有 r 个.,行列式因子的意义就在于，它在,初等变换下是不变的.,行列式因子,性质,定理3 等价的 - 矩阵具有相同的秩与相同的各级,行列式因子.,证明,我们只要证明， - 矩阵经过一次初等,行变换，秩与行列式因子是不变的.,设 - 矩阵 A() 经过一次初等行变换变成 B() ,f() 与 g() 分别是 A() 与 B() 的 k 级行列式因子.,我们证明 f() = g() .,下面分三种情形讨论.,1)

14、A() 经初等行变换 (1) 变成 B() .,这时 B(),的每个 k 级子式或者等于 A() 的某个 k 级子式,者与 A() 的某一个 k 级子式反号, 因此 f() 是B(),的 k 级子式的公因式，从而 f() | g() .,2) A() 经初等行变换 (2) 变成 B() .,这时 B(),的每个 k 级子式或者等于 A() 的某个 k 级子式,者等于 A() 的某一个 k 级子的 c 倍 , 因此 f () 是,B() 的 k 级子式的公因式，从而 f() | g() .,或,或,3) A() 经初等行变换 (3) 变成 B() .,这时 B(),中那些包含 i 行与 j 行的

15、 k 级子式和那些不包含i 行,的 k 级子式都等于 A() 中对应的 k 级子式；,B()中,那些包含 i 行但不包含 j 行的 k 级子式，按 i 行分,成两部分，而等于 A() 的一个 k 级子式与另一个,k 级子式的 () 倍的和，也就是 A() 的两个 k,级子式的组合.,因此 f () 是 B() 的 k 级子式的公,因式，从而 f() | g() .,对于列变换，可以完全一样地讨论.,总之，如,果 A() 经一次初等变换变成 B() ，那么,f() | g() .,但由于初等变换是可逆的， B() 也可以经一次初,等变换变成 A() .,由上讨论，同样应有,g() | f() .

16、,于是 f() = g() .,当 A() 的全部 k 级子式为零时，B() 的全部,k 级子式也就为零；,反之亦然.,因此， A() 与 B() 既有相同的各级行列式因,子，又有相同的秩.,证毕,标准形的唯一性,标准形的行列式因子,设标准形为,其中 d1() , d2() , , dr() 是首项系数为1的多项,式，且 di () | di+1 () ( i = 1, 2, , r-1 ) .,不难证明,在这种形式的矩阵中，如果一个 k 级子式包含的行,与列的标号不完全相同，那么这个 k 级子式一定为,零.,因此，为了计算 k 级行列式因子，只要看由,i1 , i2 , , ik 行与 i1

17、 , i2 , , ik 列 (1 i1i2ik r),组成的 k 级子式就行了，,而这个k 级子式等于,显然，这种 k 级子式的最大公因式就是,定理4 - 矩阵的标准形是唯一的.,证明,设(1)是 A() 的标准形.,由于A() 与,(1) 等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，,因此， A() 的秩就是标准形的主对角线上非零元,素的个数 r ;,A() 的 k 级行列式因子就是,于是,(3),这说明 A() 的标准形 (1) 的主对角线上的元素是被,A() 的行列式因子所唯一确定的，所以 A() 的标,准形是唯一的.,证毕,不变因子,定义 标准形的主对角线上非零元素,d1() , d2(

18、) , , dr(),称为 - 矩阵 A() 的不变因子.,性质,定理5 两个 - 矩阵等价的充分必要条件是,它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的,不变因子.,证明,等式（2）与（3）给出了 - 矩阵的行,列式因子与不变因子之间的关系.,这个关系式说明,行列式因子与不变因子是相互确定的.,因此，说两,个矩阵有相同的各级行列式因子，就等于说它们有,相同的各级不变因子.,必要性已由定理3证明。,充分性是很明显的.,因为若 - 矩阵A()与B(),有相同的不变因子，则 A() 与 B() 和同一个标准,形等价，因而它们也等价.,证毕,例4 试求下列矩阵的不变因子:,定义,现在我们假定讨论中的数

19、域是复数域C.,上面已经看到，不变因子是矩阵的相似不变量.,为了得到若尔当标准形，再引入初等因子。,把矩阵 A (或线性变换A )的每个次数大于零,的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，,所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计,算) 称为矩阵 A (或线性变换 A )的初等因子.,4. 初等因子,例如 设12级矩阵的不变因子是,( - 1 )2 ( + 1 )( 2 + 1 )2 .,按定义，它的初等因子有 7 个，即,( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( + 1 ) , ( + 1 ) ,( - i )2 , ( + i )2 .,其中 ( -

20、 1 )2 出现三次， + 1 出现二次.,不变因子与初等因子的关系,首先，假设 n 级矩阵 A 的不变因子,d1() , d2() , , dn(),为已知.,将 di() (i =1, 2, , n) 分解成互不相同,的一次因式方幂的乘积：,则其中对应于 kij 1 的那些方幂,就是 A 的全部初等因子.,我们注意到不变因子有,一个除尽一个的性质，即,di() | di+1() (i =1, 2, , n - 1) ,从而,因此在 d1() , d2() , , dn() 的分解式中，属于同,一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即,k1j k2j knj (j = 1, 2, , r)

21、.,这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中,方次最高的必定出现在 dn() 的分解式中，方次次,高的必定出现在 dn-1() 的分解式中.,如此顺推下,去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子,在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.,上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩,阵的级数唯一地作出不变因子的方法.,设一个 n 级,矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将,同一个一次因式 ( - j) (j = 1, 2, , r) 的方幂的,那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的,个数不足 n 时，就在后面补上适当个数的 1，使得,凑成 n 个.,设所得排列为,于是令,则

22、d1() , d2() , , dn() 就是 A 的不变因子.,这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数,字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变,因子，因而它们相似.,反之，如果两个矩阵相似，,则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初,等因子.,综上所述，即得：,定理8 两个同级复数矩阵相似的充分必要条是它们,有相同的初等因子.,初等因子的求法,初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.,但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而,方便一些.,在介绍直接求初等因子的方法之前，先来说明,关于多项式的最大公因式的一个性质：,如果多项式 f1()， f2() 都与 g1()， g2() 互

23、素，则,(f1()g1() , f2()g2()=(f1() , f2()(g1() , g2().,事实上，令,( f1()g1() , f2()g2() = d() ,( f1() , f2() = d1() ,( g1() , g2() = d2() .,显然，,d1() | d() , d2() | d() .,由于 ( f1() , g1() = 1 , 故 ( d1() , d2() ) = 1，因而,d1() d2() | d() .,另一方面，由于,d() | f1() g1() ,可令,d() = f () g () ,其中 f () | f1() , g() | g1()

24、.,由于,( f1() , g2() = 1 ,故 ( f () , g2() = 1 .,由 f () | f2() g2() 又得 f () | f2()，因而,f () | d1() .,同理 g() | d2() .,所以,d() | d1() d2() .,于是,d() = d1() d2() .,证毕,引理 设,如果多项式 f1()， f2() 都与 g1()， g2() 互素，,则 A() 和 B() 等价.,下面的定理给了我们一个求初等因子的方法，,它不必事先知道不变因子.,定理9 首先用初等变换化特征矩阵 E - A,为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不,相同的一次因

25、式方幂的乘积，,式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是 A 的全,部初等因子.,则所有这些一次因,证明,设 E - A 已用初等变换化为对角形,其中每个 hi() 的最高项系数都为 1 .,将 hi() 分,解成互不相同的一次因式方幂的乘积：,我们现在要证明的是，对于每个相同的一次,因式的方幂,在 D() 的主对角线上按递升幂次排列后，得到的,新对角矩阵 D () 与 D() 等价.,此时 D () 就是,E - A 的标准形而且所有不为 1 的,就,是 A 的全部初等因子.,为方便起见，先对 - 1 的方幂进行讨论.,令,于是,而且每个,都与 gj() (j = 1, 2, , n) 互,素

26、.,如果有相邻的一对指数 ki1 ki+1,1 , 则在 D(),中将,与,对调位置，而,其余因式保持不动.,根据,与,等价.,从而 D() 与对角矩阵,等价.,然后对 D1() 作如上的讨论.,如此继续进行,直到对角矩阵主对角线上元素所含 - 1 的方幂是,按递升幂次排列为止.,依次对 - 2 , , - r 作,同样处理，最后便得到与 D() 等价的对角矩阵,D () ，它的主对角线上所含每个相同的一次因式,的方幂，都是按递升幂次排列的.,证明,例5 已知 - 矩阵 A() 的初等因子，秩 r 与,阶数 n ，求 A() 的标准形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 解,把 A(

27、) 的初等因子,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则 d1() , d2() , d3() , d4() 是 A() 的不变因子.,以 A() 的标准形为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 解,把 A() 的初等因子,按降幂排成如下两行，每行 3 个因子(因 A() 的秩,令,等于 3 ) :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则 d1() , d2() , d3() 是 A() 的不变因子.,所以,A() 的标准形为,例6 求下列矩阵的不变因子，行列式因子与,初等因子,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 解,把 E - A 化为标准形,初等变换,所以不变因子为,行列

28、式因子为,初等因子为,(2) 解,把 E - B 化为标准形,初等变换,所以不变因子为,行列式因子为,初等因子为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、Jordan标准形,Jordan标准形的存在定理,任何方阵A均可通过某一相似变换化为如下Jordan标准形：,其中,称为Jordan块矩阵。,为A的特征值，可以是多重的。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：（1） 2阶以上Jordan块矩阵一定不能对角化；,（4）Jordan标准形是唯一的，这种唯一性是指：各Jordan块矩阵的阶数和对应的特征值是唯一的，但是各Jordan块矩阵的位置可以变化。,（5）Jordan标准形中各Jorda

29、n块矩阵的阶数均为1时，即为对角形矩阵。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Jordan 矩阵可以作为相似标准形。 惟一性：Jordan 子块的集合惟一。 A相似于BJA相似于JB,元素的结构 Jordan矩阵是上三角矩阵 对角矩阵是Jordan 矩阵,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. Jordan标准形的求法,方法一 特征向量法,P 9-10,注： 1.属于某一个特征值的若当块个数由它的几何维数确定。 2.该方法只适用于阶数较低的矩阵,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7 求下列矩阵的Jordan标准形。,1的几何维数是1，故它对应一个若当块。,2的几何维数是2，故它对应两个若

30、当块。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法二 初等因子法,（1）求出特征多项式,的初等因子组，设为,（2）写出各Jordan块矩阵（一个初等因子对应一个Jordan块矩阵）,（3）合成Jordan矩阵：,例8 求下列矩阵的Jordan标准形。,由例6 A初等因子为：,B初等因子为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法三 行列式因子法,（1）求E-A 的各阶行列式因子,（2）求E-A 的各阶不变因子,（3）求E-A 的初等因子，确定Jordan标准形。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9 求下列矩阵的Jordan标准形。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第1-4行与第1、2、4、5列交叉的元素形成的四阶子式为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第1、2、3、5行与1、3、4、5列交叉的元素形成的四阶子式为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,这两个子式的公因式为1，故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第1-5行与第1、2、3、5、6列交叉的元素形成的五阶子式为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第1、2、3、5、6行与第1、3、4、5、6列交叉的元素形成的五阶子式为,机