数学建模第三次作业

1、 院 系： 数学学院 专 业： 信息与计算科学 年 级： 2014级 学生姓名： 王继禹 学 号： 5 教师姓名： 徐霞 6.6 习题3.一个慢跑者在平面上沿着他喜欢的路径跑步，突然一只狗攻击他，这只狗以恒定速率跑向慢跑者，狗的运动方向始终指向慢跑者，计算并画出狗的轨迹。解：（1）模型分析建立:狗的轨迹：在任意时刻，狗的速度向量都指向它的目标慢跑者。假设1：慢跑者在某路径上跑步，他的运动由两个函数X(t)和Y(t)描述。假设2：当t=0时，狗是在点(x0,y0)处，在时刻t时，它的位置是(x(t),y(t)那么下列方程成立：(1)狗以恒定速率跑: X2+y2=w2(2) 狗的速度向量平行于慢跑

2、者与狗的位置的差向量：将上述方程带入等式：,可得：再将代入第二个方程，可得狗的轨迹的微分方程：（2）程序及结果dog函数dog.mfunction zs,isterminal,direction = dog(t,z,flag) global w;% w=speed of the dog X=jogger(t);h = X-z;nh=norm(h); if nargin3 | isempty(flag) zs=(w/nh)*h; else switch(flag) case events zs = nh-1e-3; isterminal = 1; direction = 0; otherwise

3、 error(Unknow flag: flag); endend慢跑者的运动轨迹方程，水平向右jogger.mfunction s = jogger(t);s = 8*t;0;标记的函数cross.mfunction cross(Cx,Cy,v) Kx = Cx Cx Cx Cx-v Cx+v; Ky = Cy Cy+2.5*v Cy+1.5*v Cy+1.5*v Cy+1.5*v plot(Kx,Ky); plot(Cx,Cy,o);主程序：静态显示main1.mglobal w y0 = 60;70; w=10; options = odeset(RelTol,1e-5,Events,o

4、n);t,Y = ode23(dog,0,20,y0,options);clf;hold on;axis(-10,100,-10,70);plot(Y(:,1),Y(:,2);J=; for h=1:length(t), w = jogger(t(h); J=J;w; endplot(J(:,1),J(:,2),:);p = max(size(Y); cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off;动态显示main2.mglobal w;y0=60;70;w=10; options = odeset(RelTol,1e-5,Events,on);t,Y=ode23(dog,0,2

5、0,y0,options); J=; for h=1:length(t); w= jogger(t(h); J=J;w;endxmin = min(min(Y(:,1),min(J(:,1); xmax = max(max(Y(:,1),max(J(:,1); ymin = min(min(Y(:,2),min(J(:,2);ymax = max(max(Y(:,2),max(J(:,2);clf;hold on; axis(xmin-10 xmax ymin-10 ymax);title(The jogger and the Dog); for h = 1:length(t)-1, plot

6、(Y(h,1),Y(h+1,1),Y(h,2),Y(h+1,2),-,Color,red,EraseMode,none); plot(J(h,1),J(h+1,1),J(h,2),J(h+1,2),-,Color,green,EraseMode,none); drawnow; pause(0.1);endplot(J(:,1),J(:,2),:); p = max(size(Y); cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off;结果t=12.81，在12.27秒后狗追上慢跑者。慢跑者轨迹是椭圆轨迹jogger2.mfunction s=jogger2(t) s=10+20*co

7、s(t) 20+15*sin(t);狗的微分方程dog.mfunction zs,isterminal,direction = dog(t,z,flag) global w;% w=speed of the dogX=jogger2(t);h = X-z; nh=norm(h); if nargin=2)个圆，任何两个圆都相交但无3个圆共点。试问n个圆把平面划分成多少个不连通的区域？解：一个圆将平面分为2份两个圆相交将平面分为4=2+2份，三个圆相交将平面分为8=2+2+4份，四个圆相交将平面分为14=2+2+4+6份，平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n

8、个圆分平面区域数f（n）=2+（n-1）n=n2-n+2证明：（1）当n=1时，一个圆把平面分成两个区域，而12-1+2=2，命题成立（2）假设n=k（k1）时，命题成立，即k个圆把平面分成k2-k+2个区域当n=k+1时，第k+1个圆与原有的k个圆有2k个交点，这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此增加了2k个区域，共有k2-k+2+2k=（k+1）2-（k+1）+2个区域n=k+1时，命题也成立由（1）、（2）知，对任意的nN*，命题都成立9.某人有元钱，他每天买一次物品，每次买物品的品种很单调，或者买一元钱的甲物品，或者买二元钱的乙物品，

9、问他花完这元钱有多少不同的方式？解：设an表示花完这n元钱的方案种数，若n=1，则只能买甲，有一种方法，故a1=1，若n=2，则可以买2个甲，或者1个乙或1个丙，即a2=3，当n3时，花钱的方式由购买甲和购买乙购买丙的种数之和构成，即an=an-1+an-2+an-2=an-1+2an-2则当n3时，an+an-1=2（an-1+an-2），即an+1+an是公比q=2的等比数列，首项为a2+a1=1+3=4，则an+1+an=42n-1=2n+1，an+an-1=2n，两式相减得an+1-an-1=2n+1-2=2，（n2），若n是奇数，an=2n-1+2n-3+22+a1=(2n+1-1)

10、/3若n是偶数，an=2n-1+2n-3+23+a2=(2n+1+1)/37.6 习题1.在化工生产中常常需要知道丙烷在各种温度和压力下的导热系数。下面是实验得到的一组数据：/68688787106106140140/KPa9.798113.3249.007813.3559.791814.2779.656312.463K0.08480.08970.07620.08070.06960.07530.06110.0651 试求=99和=10.3xKPa下的K。解：找出温度T相等时，导热系数K与压力P的关系。由于在不同温度时，仅给出两个K、P的值，因此采用线性近似，把K、P看作是线性关系。建立M文件：

11、function y=y_lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;end主程序：p1=9.7981,13.324; k1=0.0848,0.0897; %T=68p2=9.0078,13.355; k2=0.0762,0.0807; %T=87p3=9.7918,14.277; k3=0.0696,0.0753; %T=10

12、6p4=9.6563,12.463; k4=0.0611,0.0651; %T=140a2=polyfit(p2,k2,1); a3=polyfit(p3,k3,1);x1=polyval(a2,10.3); x2=polyval(a3,10.3); %x1，x2分别是P=10.3*103kPa下87和106的K值plot(10.3,x1,k+,10.3,x2,k+,p1,k1,p2,k2,p3,k3,p4,k4)xlabel(丙烷压力P)ylabel(丙烷导热系数K)title(在不同温度下丙烷导热系数与压力的关系图)gtext(T=68),gtext(T=87),gtext(T=106),

13、gtext(T=140)运行后图中所标点为P=10.3*103kPa时，T=87和T=106对应的导热系数K值。在T=87和T=106之间仍采用线性近似来求T=99时的导热系数K。程序如下： x=87,106;y=x1,x2;a=polyfit(x,y,1);z=polyval(a,99)z=0.0729plot(99,z,k+,x,y)gridxlabel(丙烷温度T)ylabel(丙烷导热系数K)title(压力P=10.3*103kPa时丙烷导热系数与温度的关系)运行结果: T=99、P=10.3*103KPa时 K=0.0729。4.用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为v(t)=V-(V-V0),其中v0是电容器的初始电压，是充电常数。试由下面一组t，v数据确定V0和。t/s0.51234579V/伏6.366.487.268.228.668.999.349.63 解：建立M文件function f=dianya(x,t)f=10-(10-