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1、用代数思想求解几何证明问题的一种方法例题:在正方形ABCD中,E和F分别是AB和BC的中点,连接CE和DF,相交于P,连接AP。求证:AP=AD几何解法:EB=CF,DC=BC,DCF=B DCFCBE,可得DFC+FDC=90,BCE=FDC, DFC+BCE= 90 FPC=90 DFEC。方法一:过点P做MNBC,MN垂直于AB,CD。NPC=PCB, PNC=CBE=90PNCCBE得出PN/NC=CB/EB=2 FDH=ECB PND=EBC=90PNDCBE DN/PN=CB/EB=2 DN=2PN=4NC DC=5NC PN=2/5DC NC=1/4DN=1/5DC=1/5AB=
2、MB 所以,就知道了AM=AB-MB=4/5AB PM=MN-PN=AB-PN=3/5AB ,AP=(AM+PM)=(4/5AB) +(3/5AB)=AB (勾股定理)AP=AB=AD 方法二: 延长PE交DA延长线于G, AE=EB CEB=GEA EBC=EAG=90, GAECBE, GA=BC=AD, DPG 为RT, DPG=FPC=90,DG 为斜边, A为斜边上中点, AP=1/2DG=AD方法三: H为DC中点,连AH, HP, AH交DE于G, DPC 为RT, GDPG=FPC=90,HP=HC=DH,RT中线的性质, HPC=HCP, HPD=HDP, 用上面同样的方法可
3、证AHDF, ECAH (垂直于同一条直线的两条直线平行), DHG=DCP(同位角), PHG=HPC(内错角), DHG=PHG, HG=HG GHGPHG, DG=PG, AH垂直平分DP, AH是线段DP的垂直平分线,所以,AD=AP 方法四: 在方法三的基础上, AH=AH, DH=PH, DHG=PHG ADHAPH, AD=AP代数方法:由于ABCD是正方形,且E和F为AB与BC的中点,因此,比较容易建立直角坐标系。我们以D为原点,DC为X轴,DA为Y轴建立坐标系,设正方形的边长为2,则AE=EB=BF=FC=1,各点的坐标为,D点D(0,0), A(0,2), E(1,2), F(2,1), C(2,0), 设直线CE的方程 y=kx+b, 将C,E两点的坐标代入,可以求得b=4, k= -2, 则y= -2x+4. 同理,可得FD的方程为 y=1/2 x 联立这个两个方程可得 1/2 x =-2x + 4 求的 P点的横坐标x=8/5 , 代入y= 1/2 x的 纵坐标 y=4/5 , P(8/5 , 4/5 ), 由两点间距离公式: AP =(8/50)+(24
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