基本函数求导公式

1、最新 料推荐基本初等函数求导公式(1)(C )0(2)(x )x 1(3)(sin x)cos x(4)(cos x)sin x(5)(tan x)sec2 x(6)(cot x)csc2 x(7)(sec x)secx tan x(8)(csc x)csc x cot x(9)(a x )a x ln a(10)(e x )ex(log a1(ln x)1(11)x)(12)x ，x ln a11(arcsin x)x 2(arccos x)x 2(13)1(14)11(arccot1(arctan x)2x)2(15)1 x(16)1 x函数的和、差、积、商的求导法则设 uu( x) ，

2、vv( x) 都可导，则（ 1）(u v)u v（ 2）（ 3）(uv) u v uv（ 4）反函数求导法则(Cu )Cu （ C 是常数）u u v uvv v 2若函数x( y) 在某区间 I y 内可导、单调且( y)0 ，则它的反函数 y f ( x) 在对应区间 I x 内也可导，且dy11dxdxf ( x)dy( y)或复合函数求导法则1最新 料推荐设 yf (u) ，而 u(x) 且 f (u) 及( x) 都可导，则复合函数yf (x) 的导数为dydydudxdudx 或 y f (u) ( x).双曲函数与反双曲函数的导数.双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可

3、以用前面的求导公式和求导法则求出可以推出下表列出的公式：1(th x)2x(shx) chx(ch x) shxch(arshx)111(archx)x2 1(arthx)21x21 x一、一个方程的情形在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程f ( x, y) =0(1)求它所确定的隐函数的方法。 现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式 .隐函数存在定理1 设函数 F (x, y) 在点 P( x0 , y0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 F (x0 , y0 )0 ，,Fy ( x0 , y0 )0 ，则方程 F

4、( x, y) =0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y f ( x) ，它满足条件 y0f (x0 ) ，并有dyFxdxFy(2)公式（ 2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。将方程 (1)所确定的函数 yf (x) 代入，得恒等式2最新 料推荐F (x, f ( x)0 ,其左端可以看作是x 的一个复合函数， 求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得FF dyx0,y dx由于 Fy 连续，且 Fy (x0 , y0 )0 ，所以存在 (x0 ,y0)的一个邻域，在这个邻域内Fy 0 ，于

5、是得dyFx .dxF y如果 F ( x, y) 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得d 2 yFxFxdydx 2xFyyFydxFxx FyFyz FxFxy FyFyy FxFxFy2Fy2FyFxx Fy22Fxy Fx FyFyy Fx2Fy3.例 1验证方程 x 2y 210 在点 (0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当 x =0 时， y1的隐函数 yf ( x) ，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0 的值。解 设 F (x, y)x 2y21，则 Fx2x, F y2y , F (0,1) 0, Fy (0,

6、1)2 0 . 因此由定理 1 可知，方程 x 2y 210在点 (0,1) 的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当 x =0 时， y1的隐函数 yf ( x) 。下面求这函数的一阶和二阶导数dyFxxdy0dxFyy ， dx x 0=;xd 2 yy xyy x(y)y 2x 21dx2=y2y2y3y3 ,d 2 y1dx2x 0。3最新 料推荐隐函数存在定理还可以推广到多元函数 .既然一个二元方程 (1) 可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程F ( x, y, z)=0(3)就有可能确定一个二元隐函数。与定理 1 一样，我们同样可以由三元函数F ( x, y, z )的性质

7、来断定由方程 F ( x, y, z )=0所确定的二元函数 z = ( x, y) 的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。隐函数存在定理2 设函数 F ( x, y, z )在点 P(x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 , z0 )0 ， Fz (x0 , y0 , z0 )0 ，则方程 F ( x, y, z)=0 在点 (x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数zf ( x, y) ，它满足条件z0f ( x0 , y0 ) ，并有zFxzFyx=Fz ,y =Fz .(4)这个定

8、理我们不证.与定理 1类似，仅就公式 (4) 作如下推导 .由于F ( x, y , f ( x, y) ) 0,将上式两端分别对 x 和 y 求导，应用复合函数求导法则得zzFx + Fzx =0,Fy + Fz y =0。因为 Fz 连续，且 Fz ( x0, y0 , z0 )0 ,所以存在点 ( x0 , y0 , z0 ) 的一个邻域，在这个邻域内Fz0，于是得zFxzFyx = Fz ,y =Fz 。2 z例 2 设 x 2y 2z24z 0 ，求 x 2 .解 设 ( x, y, zx2y 2z 24z ，则 Fx=2x,Fz= 2z 4 .F) =，得应用公式 (4)zxx =

9、2z 。再一次 x 对求偏导数，得2 z(2z)x zxx 2( 2z) 24最新 料推荐(2 z)xx(2 z) 2x 22 z.(2z) 2( 2 z) 3二、方程组的情形下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且增加方程的个数，例如，考虑方程组F ( x, y, u, v)0,G( x, y, u, z)0.(5)这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。在这种情形下，我们可以由函数F 、 G 的性质来断定由方程组 (5) 所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。隐函数存在定理 3设函

10、数 F ( x, y, u, v) 、G (x, y, u, v) 在点 P0 (x0 , y0 , u0 ,v0 ) 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又 F ( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0，G ( x0 , y0 , u0 , v0 )0 ,且偏导数所组成的函数行列式 (或称雅可比 (Jacobi) 式 ):FF( F ,G)uvGGJ(u,v)= uv在 点 P0 ( x0 , y0 ,u0 ,v0 ) 不 等 于 零 ， 则 方 程 组 F (x, y, u, v)0 ， G( x, y,u, v)0 在 点( x0 , y0 ,u0 ,v0 ) 的 某 一 邻 域

11、 内恒 能 唯 一确 定 一 组 单 值连 续 且 具有 连 续 偏 导 数的 函 数u u( x, y), v v( x, y) ，它满足条件 u0u(x0 , y0 ), v0 v( x0 ,u0 ) ，并有FxFvG xGv,u1(F ,G )FuFvGuGvxJ( x, v)FuFxGuG x,v1( F ,G )FuFvxJ(u, x)GuGv(6)5最新 料推荐F yFvG yGv,u1(F ,G )FuFvyJ( y, v)GvGvFuFyGuGy.v1(F , G)FuFvyJ(u, y)GuGv这个定理我们不证 .uuvv例 3 设 xu yv 0, yuxv 1 ，求 x ,y ,x和 y .解此题可直接利用公式(6) ，但也可依照推导公式(6)