（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习 专题五 立体几何 5.2 空间中的平行与垂直课件.pptx

1、5.2空间中的平行与垂直,-2-,突破点一,突破点二,突破点三,线线、线面平行或垂直的判定与性质 【例1】如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2 , PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点. (1)证明:PO平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.,-3-,突破点一,突破点二,突破点三,分析推理(1)首先根据三棱锥的结构特征,利用等腰三角形底边中线也就是底边上的高得到OP,OB都与AC垂直,然后求出OP和OB的长度,然后利用勾股定理验证OPOB,即可证得结论;(2)根据(1)问,先建立空间直角坐标系,利用向量法转化已知二面角,

2、确定点M的位置,再利用向量法求直线和平面所成角.,-4-,突破点一,突破点二,突破点三,(1)证明:因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,由OP2+OB2=PB2知POOB. 由OPOB,OPAC知PO平面ABC.,-5-,突破点一,突破点二,突破点三,-6-,突破点一,突破点二,突破点三,-7-,突破点一,突破点二,突破点三,已知平面过点O,若平面截三棱锥所得四边形OEFQ(如图)是平行四边形,试证明:平面与PC,AB都平行.,证明:因为四边形OEFQ是平行四边形,所以OEQF. 因为OE平面PAB,QF平面PAB, 所以OE平面PAB. 又OE平面ABC,平面ABC平面PAB=AB,

3、所以OEAB. 又因为OE,AB,所以AB. 同理可证PC.,-8-,突破点一,突破点二,突破点三,规律方法1.解决此类问题要注意线线平行(垂直)、线面平行(垂直)与面面平行(垂直)的相互转化.在解决线线平行、线面平行问题时,若题目中已出现了中点,可考虑在图形中再取中点,构成中位线进行证明. 2.要证明线面平行,先在平面内找一条直线与已知直线平行,或找一个经过已知直线与已知平面相交的平面,找出交线,证明两线平行. 3.要证明线线平行,可考虑公理4或转化为证明线面平行. 4.要证明线面垂直可转化为证明线线垂直,应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化.,-9-,突破点一,突破点二,突破点三,即时

4、巩固1如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC, AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点. (1)证明:MN平面PAB. (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.,-10-,突破点一,突破点二,突破点三,又ADBC,故TNAM, 四边形AMNT为平行四边形, 于是MNAT. 因为AT平面PAB,MN平面PAB, 所以MN平面PAB.,-11-,突破点一,突破点二,突破点三,(2)解:取BC的中点E,连接AE. 由AB=AC得AEBC,从而AEAD,设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,-12-,突破点一,突破点二,突破点三,

5、-13-,突破点一,突破点二,突破点三,面面平行或垂直的判定与性质 【例2】如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP =90. (1)证明:平面PAB平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角A-PB-C的余弦值. 分析推理(1)首先将已知两个直角转化为线线垂直,然后利用ABCD转化为AB与平面PAD内的两条相交直线垂直,即可根据线面垂直的判定定理得到所证.(2)根据(1)的结论以及该问的条件找出线面垂直关系,建立适当的空间直角坐标系,将所求转化为两个平面的法向量的夹角求解.,-14-,突破点一,突破点二,突破点三,(1)证明:由已知BAP=CDP=9

6、0,得ABAP,CDPD. 由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD. 又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD. (2)解:在平面PAD内作PFAD,垂足为F. 由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,可得PF平面ABCD.,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.,-15-,突破点一,突破点二,突破点三,设m=(x,y,z)是平面PAB的法向量,-16-,突破点一,突破点二,突破点三,-17-,突破点一,突破点二,突破点三,规律方法1.判定面面平行的四个方法: (1)利用定义,即判断两个平面没有公共点; (2)利用面面平行的判定定理; (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行; (4

7、)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行. 2.面面垂直的证明方法: (1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线; (2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角. 3.从解题方法上说,由于线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转化途径进行.,-18-,突破点一,突破点二,突破点三,即时巩固2(2019广东揭阳一模)如图,在四边形ABED中,ABDE, ABBE,点C在AB上,且ABCD,AC=BC=CD=2,现

8、将ACD沿CD折起,使点A到达点P的位置,且PE与平面PBC所成的角为45. (1)求证:平面PBC平面DEBC. (2)求二面角D-PE-B的余弦值.,-19-,突破点一,突破点二,突破点三,(1)证明:ABCD,ABBE,CDEB, ACCD,PCCD, EBPC,且PCBC=C,EB平面PBC. 又EB平面DEBC,平面PBC平面DEBC. (2)解:由(1)知EB平面PBC, EBPB,由PE与平面PBC所成的角为45得EPB=45, PBE为等腰直角三角形,PB=EB. ABDE,结合CDEB得BE=CD=2, PB=2,故PBC为等边三角形. 取BC的中点O,连接PO, POBC,

9、PO平面EBCD.,-20-,突破点一,突破点二,突破点三,以O为坐标原点,过点O与BE平行的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图,设平面PDE的一个法向量为m=(x,y,z),平面PEB的一个法向量为n=(a,b,c),-21-,突破点一,突破点二,突破点三,-22-,突破点一,突破点二,突破点三,平行、垂直关系及体积中的探索性问题 【例3】在如图所示的几何体中,四边形CDEF为正方形,四边形ABCD为等腰梯形,ABCD,AC= ,AB=2BC=2,ACFB. (1)求证:AC平面FBC. (2)求四面体F-BCD的体积. (3)线段AC上是否存在点M

10、,使EA平面FDM?证明你的结论.,-23-,突破点一,突破点二,突破点三,分析推理(1)只需在平面ABCD中根据线段长度验证AC与BC垂直,结合已知即可证得结论;(2)由已知可得FC与平面ABCD垂直,求出BCD的面积,代入锥体体积公式求解即可;(3)根据线面平行的性质定理,只需利用中位线构造线AE与线(EC中点与AC中点连线)的平行即可.,-24-,突破点一,突破点二,突破点三,(1)证明:在ABC中,因为AC= ,AB=2,BC=1,所以ACBC. 又因为ACFB,BCFB=B, 所以AC平面FBC. (2)解:因为AC平面FBC,所以ACFC. 因为CDFC,ACCD=C,所以FC平面

11、ABCD. 在等腰梯形ABCD中,可得CB=DC=1,所以FC=1.,-25-,突破点一,突破点二,突破点三,(3)解:线段AC上存在点M,且M为AC中点时,有EA平面FDM.证明如下: 连接CE,与DF交于点N,取AC的中点M,连接MN,如图. 因为四边形CDEF为正方形, 所以N为CE的中点. 所以EAMN. 因为MN平面FDM,EA平面FDM, 所以EA平面FDM. 所以线段AC上存在点M, 使得EA平面FDM成立.,-26-,突破点一,突破点二,突破点三,规律方法1.对命题条件的探索的三种途径: (1)先猜想后证明,即先观察与尝试给出条件再证明; (2)先通过命题成立的必要条件探索出命

12、题成立的条件,再证明充分性; (3)将几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件. 2.对命题结论的探索方法: 从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在,求解时常先假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论.,-27-,突破点一,突破点二,突破点三,(1)证明:平面AMD平面BMC; (2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.,即时巩固3如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧,-28-,突破点一,突破点二,突破点三,(1)证明:由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD. 因为BCCD,BC平面ABCD, 所以BC平面CMD

13、,故BCDM.,又BCCM=C,所以DM平面BMC. 而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.,-29-,突破点一,突破点二,突破点三,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.,-30-,核心归纳,预测演练,-31-,核心归纳,预测演练,1.(2019山东泰安高三期末)若m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列为真命题的是() A.若m,则m B.若m,n,则mn C.若m,m,则 D.若,则,C,解析:对于选项A,当且仅当m平面,的交线时,命题才成立,即原命题不成立;对于选项B,若m,n,则直线m,n可能异面,可能平行还可能相交,所以原命题为假命题;对于选项C,由m,m,可得平面内

14、一定存在直线与直线m平行,进而得出该直线垂直于平面,所以原命题为真命题;对于选项D,若,则平面与平面相交或垂直,所以原命题为假命题,故应选C.,-32-,核心归纳,预测演练,2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1= ,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(),C,-33-,核心归纳,预测演练,解析:以DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图,-34-,核心归纳,预测演练,3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足 时,平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).,DMPC(或B

15、MPC),解析:连接AC,由PABD,ACBD可得BD平面PAC,所以BDPC.所以当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,所以平面MBD平面PCD.,-35-,核心归纳,预测演练,4.如图,在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45, BAD=90,将ADB沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列正确的命题序号是. 平面ABD平面ABC;平面ADC平面BDC; 平面ABC平面BDC;平面ADC平面ABC.,-36-,核心归纳,预测演练,解析:因为在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45, BAD=90,所以BDCD. 又平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCD=BD,CD平面BCD, 所以CD平面ABD. 又AB平面ABD, 则CDAB,又ADAB,ADCD=D, 所以AB平面ADC,又AB平面ABC, 所以平面ABC平面ADC.,-37-,核心归纳,预测演练,5.如图,已知PA平面ABCD,四边形ABCD为等腰梯形,ADBC, BC=2AB=2AD=2PA=4. (1)求证:平面PAC平面PAB; (2)已知E为PC中点,求AE与平面PBC所