初中数学竞赛公式及定理精简版

1、.一般定理及公式1、多边形内角和定理n 边形的内角的和等于（n-2 ） 1802、推论任意多边的外角和等于360 提供以交流互动的形式学习数学相B3、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等数学论坛 % Fk. s& * v& m4、等腰梯形的两条对角线相等数联天地6 h v3 g8 F! j+ cR0 z5、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形数学论坛 & s$ O7 y:6、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（ a+b）2 S=Lh7、比例的基本性质如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 数如果 ad=bc, 那么 a:b=c:d8、合比

2、性质如果 a b=c d, 那么 (a b) b=(c d) d9、等比性质如果 a b=cd=mn(b+d+n0), 那么 (a+c+ +m)(b+d+n)=a10、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值11、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值12、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等13、如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项14、切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项15、从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条

3、割线与圆的交点的两条线段长的积相等16、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上17、两圆外离d R+r两圆外切d=R+r数 两圆相交R-r d R+r(R r)两圆内切d=R-r(R r)两圆内含d R-r(R r)18、相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦19、定理正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 2n 个全等的直角三角形20、正三角形面积 3a 4 ，a 表示边长数学论坛-数联天地 d! s5 Ad; ?21、弧长计算公式：L=n R180 4 a3 0 / M/ q. B4 p7 O22、扇形面积公式：S 扇形 =n R2 360=LR 2 数学论坛 f( A9 T9 FE%

4、t; a2 d: 4 23、内公切线长= d-(R-r)外公切线长 = d-(R+r)三角函数定理及公式两角和公式sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin Bsin(A-B)=sin A cos B-sin B cos Acos(A+B)=cos A cos B-sin A sin Bcos(A-B)=cos A cos B+sin A sin Btan(A+B)=(tan A+tan B)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tan A-tan B)/(1+tan A tan B)数 联天 地1 8 z; cotB-1)/(cot B+cot A) cot(A-

5、B)=(cot A cot B+1)/(cot B-cot A)cot(A+B)=(cot A数学论坛-数联天地L& W5) C,Z- E:v$ l;P.倍角公式tan 2A=2 tan A/(1-tan 2A) cot 2A=(cot 2A-1)/2cotAcos 2a=cos 2a-sin 2a=2 cos 2a-1=1-2 sin 2a. E. D:S, I0c sV# n半角公式数联天地# l T(O1 u! P! I数学论坛-数联天地% L 8 u, $ j; T& Ssin(A/2)=(1-cos A)/2)sin(A/2)=-(1 -cos A)/2)cos(A/2)= (1+c

6、os A)/2)cos(A/2)=-(1+ cos A)/2)tan(A/2)=(1 -cos A)/(1+cos A)tan(A/2)=-(1 -cos A)/(1+cos A)cot (A/2)= (1+cosA)/(1-cos A)cot(A/2)=-(1+cos A)/(1-cosA)数 联天 地Y, 数学论坛 4 D 1 w & G+ 6 m和差化积2sin A cos B=sin(A+B)+sin(A-B)2cos A sin B=sin(A+B)-sin(A-B)2cos A cos B=cos(A+B)-sin(A-B) -2sin A sin B=cos(A+B)-cos(A

7、-B)sin A+sin B=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cos A+cos B=2cos(A+B)/2) sin(A-B)/2)tan A+tan B=sin(A+B)/cos A cos B tan A-tan B=sin(A-B)/cos A cos Bcot A+cot B sin(A+B)/sin Asin B -cot A+cot B sin(A+B)/sin A sin B5.com9 c. j1 G+ 4 ?数联天地4 O& b1 6 r 5 u$ l2 r某些数列前 n 项和数学论坛6 % _6G+ i#U6 a# I. :5 ?1+2+3+4+5+6+7+

8、8+9+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+n3 =n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+ +n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3数联天地% p0 o一些平面几何的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2： 1 的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交

9、于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC 的外心为O，垂心为 H，从 O 向 BC 边引垂线，设垂足不L，则 AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）.上12、库立奇大上定理： （圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三

10、角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss 为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形 ABC 的边 BC 的中点为 P，则有 AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P 将三角形ABC的边BC内分成m:n ，则有n AB2+m AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD 的对角线互相垂直时，连

11、接AB 中点 M 和对角线交点E 的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A 、 B 的距离之比为定比m:n（值不为1）的点 P，位于将线段 AB 分成 m:n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD 内接于圆，则有AB CD+AD BC=AC20、以任意三角形ABC 的边 BC 、CA 、AB 为底边，分别向外作底角都是30 度的等腰BDC 、 CEA 、 AFB ，则 DEF 是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若 ABC 和三角形都是正三角形，则由线段AD 、 BE 、CF 的重心构成的三角形也是正三角形。22、爱尔可斯定理2：若 ABC 、

12、 DEF 、 GHI 都是正三角形，则由三角形ADG 、BEH 、 CFI 的重心构成的三角形是正三角形。23、梅涅劳斯定理：设ABC 的三边 BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R 则有BPPC CQQA ARRB=124、梅涅劳斯定理的逆定理：（略）25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设 ABC 的 A 的外角平分线交边CA 于 Q、 C 的平分线交边AB 于 R，、 B 的平分线交边CA 于 Q，则 P、Q、R 三点共线。26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意 ABC 的三个顶点A 、 B、 C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、 CA 、AB

13、的延长线交于点P、 Q、 R，则 P、 Q、 R 三点共线27、塞瓦定理：设ABC 的三个顶点A 、B 、C 的不在三角形的边或它们的延长线上的一点 S 连接面成的三条直线，分别与边BC 、CA 、AB 或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC CQQA ARRB()=1.28、塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC 的边 BC 的直线与两边AB 、 AC 的交点分别是 D 、E，又设 BE 和 CD 交于 S，则 AS 一定过边BC 的中心 M29、塞瓦定理的逆定理： （略）30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设 ABC 的内切圆和边

14、BC、 CA、 AB 分别相切于点 R、S、 T，则 AR 、 BS、 CT 交于一点。32、西摩松定理：从ABC 的外接圆上任意一点P 向三边 BC、CA 、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、 E、 R，则 D 、 E、 R 共线，（这条直线叫西摩松线）33、西摩松定理的逆定理：（略）34、史坦纳定理：设ABC 的垂心为H ，其外接圆的任意点P，这时关于 ABC 的点P 的西摩松线通过线段PH 的中心。35、史坦纳定理的应用定理：ABC 的外接圆上的一点P 的关于边BC 、CA 、AB 的对.称点和 ABC 的垂心 H 同在一条（与西摩松线平行的）直线上。这条直线被叫做点P 关于AB

15、C 的镜象线。36、波朗杰、腾下定理：设ABC 的外接圆上的三点为P、Q、R，则 P、Q、R 关于ABC 交于一点的充要条件是：弧AP+ 弧 BQ+ 弧 CR=0(mod2 ).37、波朗杰、腾下定理推论1：设 P、 Q、R 为 ABC 的外接圆上的三点，若P、Q、R关于 ABC 的西摩松线交于一点，则A 、 B、 C 三点关于 PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论 1 中，三条西摩松线的交点是A 、B、 C、P、Q、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。39、波朗杰、腾下定理推论3：考查 ABC 的外接圆上的一点P

16、 的关于 ABC 的西摩松线，如设QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、 Q、R 的关于 ABC的西摩松线交于一点40、波朗杰、腾下定理推论4：从 ABC 的顶点向边BC 、 CA 、AB 引垂线，设垂足分别是 D 、E、F，且设边BC 、 CA 、 AB 的中点分别是L 、M 、 N，则 D、 E、F、L 、 M 、N 六点在同一个圆上，这时L 、M 、 N 点关于关于ABC 的西摩松线交于一点。41、关于西摩松线的定理1： ABC 的外接圆的两个端点P、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。42、关于西摩松线的定理2（安宁定理） ：在一个圆周上有4 点，以其

17、中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。43、卡诺定理：通过ABC 的外接圆的一点P，引与 ABC 的三边 BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD、 PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则 D、E、 F 三点共线。44、奥倍尔定理：通过ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、 N ，在 ABC 的外接圆取一点P，则 PL 、PM 、 PN 与 ABC的三边 BC 、 CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E、 F，则 D、 E、 F 三点共线45、清宫定理：设P、 Q 为 ABC 的外接圆

18、的异于A 、 B 、 C 的两点， P 点的关于三边BC 、CA 、 AB 的对称点分别是U、 V 、W ，这时， QU、 QV 、 QW 和边 BC 、CA 、 AB 或其延长线的交点分别是D 、 E、 F，则 D 、E、 F 三点共线46、他拿定理： 设 P、Q 为关于 ABC 的外接圆的一对反点，点 P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是 U、V 、W ，这时，如果 QU 、QV 、 QW 与边 BC、CA 、AB 或其延长线的交点分别为 ED、E、 F，则 D 、 E、 F 三点共线。（反点： P、 Q 分别为圆 O 的半径 OC 和其延长线的两点，如果 OC2=OQ OP

19、 则称 P、 Q 两点关于圆 O 互为反点）47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14 点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点 P，作 P 点的关于这4 个三角形的西摩松线，再从 P 向这 4 条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。48、从三角形各边的中点，向这条边所的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心。49、一个圆周上有 n 个点，从其中任意 n-1 个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。50、康托尔定理 1：一个圆周上有 n 个点，从其中任意 n-2 个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。51、康托尔定理 2：一个圆周上有 A 、B、 C、 D 四点及 M 、N 两点，则 M 和 N 点关于四个三角形 BCD 、 CDA 、 DAB 、 ABC 中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线。52、康托尔定理3：一个圆周上有A 、B、 C、D 四点及 M 、N、 L 三点，则M 、N 两点.的关于四边形ABCD 的康托尔线、 L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、 M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点。这个点叫做M 、 N、 L 三点关于四边形