最新版：三角形“四心”的向量表示ppt课件

1、三角形“四心”的向量表示,经典原创 最新修改版 曾维勇,1,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。,证明外心定理,证明: 设AB、BC的中垂线交于点O， 则有OA=OB=OC， 故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等， 故点O是ABC外接圆的圆心 因而称为外心,O,O,2,点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心 的定义及性质等相关知识巧妙结合。,O是,的外心,B,3,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。,D,E,F,证明:

2、AD、BE、CF为ABC三条高， 过点A、B、C分别作对边的平行线 相交成ABC，AD为BC 的中垂线；同理BE、CF也分别为 AC、AB的中垂线， 由外心定理，它们交于一点， 命题得证,证明垂心定理,A,B,C,4,例1如图，AD、BE、CF是ABC的三条高， 求证：AD、BE、CF相交于一点。,又点D在AH的延长线上，AD、BE、CF相交于一点,证：设BE、CF交于一点H，,5,证：设,化简：,同理：,从而,6,是ABC的边BC的高AD 上的任意向量，过垂心.,7,例3 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足,则P的轨迹一定通过ABC的 _,在ABC的边BC的

3、高AD上.,P的轨迹一定通过ABC的垂心.,所以，,时，,解:,8,解:,例4.（2005全国）点O是ABC所在平面上一点， 若 ， 则点O是ABC的（ ） （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 （C）三条中线的交点 （D）三条高线的交点,则O在CA边的高线上,同理可得O在CB边的高线上.,D,9,5. (2005湖南) P是ABC所在平面上一点，若 则P是ABC的（ ） A外心B内心C重心D垂心,D,解:,故P是ABC的垂心.,10,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。,证明重心定理,E,F,D,G,11,是BC边上的中

4、线AD上的任意向量，过重心.,5.,12,证明:,连结OE，则OD=DE， BD=DC，,作平行四边形OBEC.,D是BC的中点， AD为BC边上的中线.,故O为ABC的重心.,已知O为ABC内的一点，且,求证：O为ABC的重心.,E,D,O,OE与OA共线.,13,例1 P是ABC所在平面内任一点.G是ABC的重心,思考： 若O为ABC外心，G是ABC的重心，则,O为ABC的内心、垂心呢？,14,例2证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍,证明:,想想看？,15,B,16,2009年海南、宁夏理数卷的第9题:,例4.,C,17,A,Q,也可特取正三角形！,18,B,19,A,

5、B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。,证明内心定理,证明 : 设A、B的平分线相交于I, 过I作IDBC，IEAC， IFAB，则有IE=IF=ID 因此I也在C的平分线上， 即三角形三内角平分线 交于一点,I,I,E,F,D,H,内角平分线定理：,20,1.设a,b,c是三角形的三条边长，O是三角形ABC内心的 充要条件是,21,2003天津理科高考题,B,是BAC的角平分线上的任意向量，过内心；,2. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点， 动点P满足 则P的轨迹一定通过ABC的（ ） A外心

6、 B内心 C重心 D垂心,22,2. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点， 动点P满足 则P的轨迹一定通过ABC的（ ） A外心 B内心 C重心 D垂心,A,C,B,M,N,F,P,1,1,菱形AMFN,P,P,B,23,传统解法：,例3.（2005全国I）ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，且 ，则实数m= .,1,也可特取直角三角形!,24,例3.（2005全国卷理科）第15题 ABC的外接圆圆心为O，两条边上的高的交 点为H， 则实数m = ,O,(H),1,分析：如果用一般的三角形解决本题较难，不妨设ABC是 以C为直角的直角三角形，则O为斜边AB上的中点

7、， H与C重合， 于是得出m1.,点评：这种通过特殊值确定一般性结果的思路还有很多， 如归纳、猜想、证明的方法，过定点问题，定值 问题也可以用这样的思路。,25,例3.（2005全国卷理科）第15题 ABC的外接圆圆心为O，两条边上的高的交点 为H， 则实数m = ,也可特取正三角形来思考!,1或mR,26,参考：若O、H分别是ABC的外心和垂心.,求证,证明 ： 若ABC的垂心为H，外心为O，如图. 连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD. ,又垂心为H，,AHCD，CHAD， 四边形AHCD为平行四边形， ,故,想想看？,27,4.（2006陕西）已知非零向量 与 满足 则ABC为（ ） A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形,解法一：根据四个选择项的特点，本题可采用验证法来处理. 不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时 排除其他三个选择项，故答案必选 D.,