初中平方根知识讲解

1、最新资料推荐平方根（基础）【学习目标】1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1. 算术平方根的定义如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 x2a , 那么这个正数 x 叫做a 的算术平方根（规定0 的算术平方根还是 0）； a 的算术平方根记作a ，读作“ a 的算术平方根”，a 叫做被开方数 .要点诠释： 当式子 a 有意义时， a 一定表示一个非负数，即a 0， a 0.2. 平方根的定义如果 x2a ，那么 x 叫做 a 的平方根 . 求一个数 a

2、 的平方根的运算， 叫做开平方 . 平方与开平方互为逆运算 . a (a 0) 的平方根的符号表达为a (a0) ，其中 a 是 a 的算术平方根 .知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1区别：（ 1）定义不同；（ 2）结果不同：a 和a2联系：（ 1）平方根包含算术平方根；（ 2）被开方数都是非负数；（ 3）0 的平方根和算术平方根均为0要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（ 2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根 . 因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质aa

3、02a2| a | 0a 0aa 0aaa 0知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位 .例如：62500250 ， 62525 ，6.252.5 ，0.0625 0.25 .【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1最新资料推荐1、下列说法错误的是（）A.5是 25 的算术平方根B.l是 l 的一个平方根C.2D.0的平方根与算术平方根都是04 的平方根是 4【答案】 C；【解析】 利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项A. 因为25 5，所以本说法正确；B. 因为1 1，所以 l是 l 的一个平方

4、根说法正确；C. 因为2 4，所以本说法错误；4 16D. 因为0 0， 0 0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（ 1）9 没有平方根（）（ 2）164 （）（ 3） (1) 2 的平方根是1（）1010（ 4）2是4 的算术平方根 （）525【答案】 ； ； ，提示：（ 2）16 4 ；（ 4） 2 是4 的算术平方根5252、 填空：（ 1）4 是的负平方根（ 2）1 表示的算术平方根，16（ 3）1 的算术平方根为81116（ 4）若 x3，则 x，若x23 ，则 x【思路

5、点拨】 （ 3）1 就是 1的算术平方根1 ，此题求的是1 的算术平方根 .818199【答案与解析】(1)16 ； (2)1;1 (3)1(4) 9； 31643【总结升华】 要审清楚题意，不要被表面现象迷惑. 注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：2最新资料推荐【变式 1】下列说法中正确的有（）： 3 是 9 的平方根 9的平方根是 3 4 是 8 的正的平方根8 是 64 的负的平方根A 1 个B 2 个C 3 个D4 个【答案】 B；提示：是正确的 .【变式 2】求下列各式的值：（ 1） 3 25（2）8136（ 3）0.040.25（ 4）40.36121【答案】（ 1） 15

6、；（ 2） 15；（ 3） 0.3 ；（ 4） 6553、使代数式 x1 有意义的 x 的取值范围是 _【答案】 x 1；【解析】 x 1 0，解得 x 1.【总结升华】 当式子a 有意义时， a 一定表示一个非负数，即a 0， a 0.举一反三：【变式】代数式y x 3 有意义，则 x 的取值范围是【答案】 x3 .类型二、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（ 1） x23610;（ 2） x 12（ 3） 9 3x2289 ；264 0【思路点拨】 表面上看本题是一元二次方程，但是本题可以通过开平方的方法（2）小题将x 1 看作一个整体，（ 3）小题将 3x 2看作一个整体，求出它们

7、的解后，再求x .【答案与解析】解：（ 1） x23610 x2361 x36119（ 2）2x1289 x 1289 x 17x 16或 x 18.12264 3x 28214（ 3） 9 3 x 264 0 3x 293 x或 x99【总结升华】 本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法. （2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度 .类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3 倍，面积是 1323平方米求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为 x ，长为3 x ，由题意得，x 3x 13233最新资料推荐3x2 1323x21x 21

8、( 舍去 )答：长为63 米，宽为 21 米 .【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.（提高）【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若 2m 4 与 3 m 1 是同一个正数的两个平方根，求m的值【思路点拨】 由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2 m 4（ 3m 1），解方程即可求解【答案与解析】解：依题意得2 m 4（ 3 m 1），解得 m 1； m 的值为 1【总结升华】 此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数举一反三：【变式】已知2 a 1 与 a 2 是 m 的平方根，求 m 的值 .【答案】 2

9、a 1 与 a 2 是 m 的平方根，所以2 a 1 与 a 2 相等或互为相反数 .解：当2 a 1 a 2 时， a 1，所以 m 22 1212a 11当 2 a 1（ a 2） 0 时， a 1，所以 2a22(1)1229132、 x 为何值时，下列各式有意义？(1)x2； (2)x4 ； (3)x11x ； (4)x1 x3【答案与解析】解： (1) 因为 x20 ，所以当 x 取任何值时，x2都有意义(2) 由题意可知： x40 ，所以 x4 时，x 4有意义(3) 由题意可知：x101x1所以1x1 时x 11x 有意义1x解得：0(4) 由题意可知：x101且 x3 x3，解

10、得 x0所以当 x1且 x3时，x1 有意义x3【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义(2) 当分母中含有字母时，只有当分母不为0 时，式子才有意义4最新资料推荐举一反三：【变式】已知b43a2223a2 ，求 11 的算术平方根ab【答案】3a20,2，所以 b2，11312 ，解：根据题意，得3a0.则 ab2223a 11的算术平方根为112 abab类型二、平方根的运算3、求下列各式的值(1)2522423242； (2)20 110.361 900 435【思路点拨】 （ 1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.

11、 （2）注意运算顺序 .【答案与解析】解： (1)252242324249257535；(2)20 110.3619008110.613090.261.74354352【总结升华】 (1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据a2a(a0) 来解类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（ 1） x23610;（ 2） x2289 ；（ 3） 9 3x264012【答案与解析】解：（ 1） x23610 x2361 x36119（ 2） x 12 x1289 x 1 17x 16或

12、 x 18.289264 0264 3x 28 x2 或 x14（ 3） 9 3x 2 3x 29399【总结升华】 本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法. （2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度 .举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（ 1）若x21.21，则x _；2）x2169，则 x _；（ 3）若29x222x,则 x ；（ ）若，则 x _445最新资料推荐3【答案】（ 1） 1.1 ；（ 2） 13；（3）；（ 4）2.2类型四、平方根的综合应用5、已知 a 、 b 是实数，且2a6| b2 |0 ，解关于 x 的方程 (a2) xb2a1 【答案

13、与解析】解： a 、 b 是实数，2a6| b2 |0 ，2a 60， | b2 |0 ， 2a 6 0 ， b20 a 3， b2把 a 3， b2代入22) xba1246( a，得x ， x 【总结升华】 本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、 b 的值，再解方程此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可举一反三：【变式】若x21y 1 0 ，求 x2011y2012的值【答案】解：由 x21y 10 ，得 x210 ， y 10 ，即 x1， y1当 x 1， y 1 时， x2011y201212011(1)20122 当 x 1， y 1 时， x2011y2012(1)2011( 1)20120 6、小丽想用一块面积为400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它长宽之比为3 : 2 ，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3 x ( x 0) cm ，则宽为 2 x cm ，依题意得3x 2x300 .6x2300 .x250 .