正余弦定理完美教案

1、正余弦定理教案教学标题正余弦定理及其应用教学目标熟练掌握正弦定理、余弦定理的相关公式会用正余弦定理解三角形会做综合性题目教学重难点正弦定理、余弦定理的综合应用授课内容：梳理知识1正弦定理:或变形：.2余弦定理： 或.3（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如： .典型例题探

2、究点一正弦定理的应用例1(1)在ABC中，a，b，B45，求角A、C和边c；(2)在ABC中，a8，B60，C75，求边b和c.解题导引已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况具体判断方法如下：在ABC中已知a、b和A，求B.若A为锐角，当ab时，有一解；当absin A时，有一解；当bsin Aab时，有两解；当ab时，有一解；当ab时，无解解(1)由正弦定理得，sin A.ab，AB，A60或A120.当A60时，C180456075，c；当A120时，C1804512015，c.综上，A60，C75

3、，c，或A120，C15，c.(2)B60，C75，A45.由正弦定理，得b4，c44.b4，c44.变式迁移1(1)在ABC中，若tan A，C150，BC1，则AB_；(2)在ABC中，若a50，b25，A45，则B_.探究点二余弦定理的应用例2已知a、b、c分别是ABC中角A、B、C的对边，且a2c2b2ac.(1)求角B的大小；(2)若c3a，求tan A的值解(1)a2c2b2ac，cos B.0B，B.(2)方法一将c3a代入a2c2b2ac，得ba.由余弦定理，得cos A.0Aa，BA，cos A.tan A.方法三c3a，由正弦定理，得sin C3sin A.B，C(AB)A

4、，sin(A)3sin A，sincos Acossin A3sin A，cos Asin A3sin A，5sin Acos A，tan A.变式迁移2在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B，b，ac4，求a.探究点三正、余弦定理的综合应用例3在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断该三角形的形状解题导引利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系解方法一(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cos A

5、sin B2b2cos Bsin A，由正弦定理，得sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A，sin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)0，sin 2Asin 2B，由02A2，02BbBaa，得BA，由，得sin B，0B180B60或B120.变式迁移2解由余弦定理得，b2a2c22accos Ba2c22accosa2c2ac(ac)2ac.又ac4，b，ac3，联立，解得a1，c3，或a3，c1.a等于1或3.变式迁移3解题导引在正弦定理2R中，2R是指什么？a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C的作用是什么？(1)证明在ABC中

6、，由正弦定理及已知得.于是sin Bcos Ccos Bsin C0，即sin(BC)0.因为BC，从而BC0.所以BC.(2)解由ABC和(1)得A2B，故cos 2Bcos(2B)cos A.又02B，于是sin 2B.从而sin 4B2sin 2Bcos 2B，cos 4Bcos22Bsin22B.所以sinsin 4Bcos cos 4Bsin .课后练习区1D2.D3.B4.B5.A6等边三角形解析b2a2c22accos B，aca2c2ac，(ac)20，ac，又B60，ABC为等边三角形71解析由AC2B及ABC180知，B60.由正弦定理知，即sin A.由ab知，AB，A30，C180AB180306090，sin Csin 901.8.解析设BAD，DAC，则tan ，tan ，tanBACtan()1.BAC为锐角，BAC的大小为.9解(1)因为cos，所以cos A2cos21，sin A.(4分)又由3得bccos A3，所以bc5，因此SABCbcsin A2.(8分)(2)由(1)知，bc5，又bc6，由余弦定理，得a2b2c22bccos A(bc)2bc20，所以a2.(12分)10解在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得，cosADC，(6分)ADC120，ADB60.(8分)在ABD中，AD10，