实变函数证明题大全(期末复习)

1、最新资料推荐1、设 ER , f (x)是 E上 a.e. 有限的可测函数，证明：存在定义在R 上的一列连续函数 gn ，使得 lim gn ( x)f (x)a.e.于 E。n证明：因为f ( x)在 E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在 E 的可测子集 En ，使得 m( EEn )1， 同时存在定义在R1 上的连续函数gn ( x) ，使得当 xEn 时，有ngn ( x)f (x) 所 以 对 任 意 的0 ， 成 立 E |fgn | E En由 此 可 得mE | fgn | n m E( En1gn | n0 即 gn ( x)f ( x) ，) ，因此 lim mE

2、| fnn由黎斯定理存在 gn 的子列 gn ，使得 lim gn(x)f (x) ， a.e. 于 Ekkk2、设 f ( x) 是(,) 上的连续函数， g(x) 为 a,b 上的可测函数， 则 f (g( x) 是可测函数。证明：记 E1(,), E2 a, b ，由于 f ( x) 在 E1 上连续， 故对任意实数 c, E1 fc 是直线上的开集，设E1 fc( n ,n ) ，其中 ( n ,n ) 是其构成区间（可能是有限n1个 ，n可能为n可有为）因此E2 f ( g) cE 2ngn ( E g2 n E gn )2 因为 g 在 E2 上可n1n 1测，因此 E2 gn ,

3、 E2 gn 都可测。故 E f ( g )c 可测。3f ( x)是(,)上的实值连续函数，则对于任意常数a ，E x | f ( x)a是一开、设集，而 E x | f ( x)a 总是一闭集。证明：若 x0E, 则 f (x0 )a ，因为 f ( x) 是连续的， 所以存在0 ，使任意 x(,) ，| x x0 |就有 f ( x)a ， 即任意 xU( x0 ,), 就有 xE,所以 U( x0 ,)E, E 是开集若 xnE, 且 xnx0 (n), 则f ( xn )a ，由于 f (x) 连续， f (x0 ) limf ( xn )a ，n即 x0E ，因此 E 是闭集。4、

4、（ 1）设 A2 n 1(0, 1 ), A2n (0,n), n1,2, 求出集列 An 的上限集和下限集n证明： lim An(0, ) 设 x(0,) ，则存在 N，使 xN ，因此 nN 时， 0xn ，即n1最新资料推荐xA2 n ，所以 x 属于下标比 N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多 An，得 x lim An ，n又显然 lim An(0,), 所以 lim An(0, ) lim An若有 xlim An ，则存在 N，使nnnn任意 nN ，有 xAn ，因此若2n1 N 时，xA2 n 1,即0x1 , 令 n得 0x 0 ，此不可能，所以lim Annn（2）可

5、数点集的外测度为零。证明：证明：设 E xi | i1,2, 对任意0，存在开区间 I i ，使 xiIi ，且 | I i |i所2以I iE ，且| I i|，由的任意性得 m* E0i1i 15、设f n 是 E 上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。证：显然， f n 的收敛点集可表示为 EE x lim f( x)lim f( x)0xnxn=E lim f nlim f n1 .k 1xkx由 fn 可测 lim f n及 lim fn 都可测，所以lim fnlim fn 在 E 上可测。xxxxk ， E lim f nlim fn1从而，对任一自然数 可测。故xx

6、kE0E lim f n1lim f nk 1xxk可测。既然收敛点集E0 可测，那么发散点集E E0 也可测。6、设 ERq ，存在两侧两列可测集 An ， Bn , 使得 AnEBn 且 m（ An - Bn ）0，（n ）则 E 可测 .证明：对于任意i ，BnBi，所以Bn - E BiEn1n 1又因为 Ai E， BiEBiAi所以对于任意 i ， m*（BnE） m* ( BiE)m * (BiAi )m( Bi Ai )n1令 i ，由(BiAi) 0 得 m（BE）0所以BnE是可测的又由于B可m*nnn 1n 12最新资料推荐测，有Bn 也是可测的所以EBn(BnE) 是可

7、测的。n 1n 1n 17、设在 E 上 fnxfx ，而 fn xgn x a.e.成立， n1,2，则有 gnxfx设 E E fngn，则 mEnmE 0 。nn 1nn 10E f gnEnE f f n所以n1mE nfgnmnEmEnfn 1因为 fnxf x ，所以 0lim mEfgnlim mE ff n0nn即 gn xfx8、证明： ( A B)AB 。证明：因为 AAB ， BAB ，所以， A( AB) ， B( AB) ，从而A B ( A B)反之，对任意x( AB)，即对任意 B( x,) ，有B( x,)( AB)(B( x, )A)( B( x, )B) 为

8、无限集，从而 B( x,)A 为无限集或 B( x, )B 为无限集至少有一个成立，即xA 或 xB ，所以， xAB ， ( AB)AB 。综上所述， ( AB)AB 。9、证明：若fn ( x)f ( x) ， fn (x)g ( x) （ xE ），则 f ( x)g(x) a.e. 于 E 。证明：由于 E x f ( x)g( x)E xfg1 ，而n1nE x fg1E x f nf1 E x fng1 ，k2k2k所以，mE xfg1 mE xfnf1 mE xfng1 ，k2k2k由 fn (x)f ( x) ， fn (x)g (x) （ xE ）得3最新资料推荐lim mE

9、 x f n f10 ， lim mE x fn g1 0 。n2kn2k1所以， mE xf g 0，从而 mE x f ( x) g (x) 0 ，即 f ( x) g ( x) a.e. 于 E 。 k10、证明：若 fn (x)f ( x) ， gn ( x)g( x)（ xE ），则 fn (x)gn (x)f ( x)g(x)（ x E ）。证明：对任意0 ，由于fn ( x) gn ( x) f ( x)g( x)fn (x)f ( x)gn (x)g( x) ，所以，由 fn (x)gn (x) f (x)g( x)可得，fn ( x)f ( x)1和 gn (x)g( x)1

10、至少有一个成立。22从而E x f ngn fgE x fnf1E x gng12 ，2所以，mE xfngn fg mE xfnf1mE xgng1 。22又由 fn ( x)f ( x) ， gn ( x)g ( x) （ xE ）得，lim mE xfnf10 ， lim mE xgng10。n2n2所以，lim mE xfngn fg0 ，即 f n ( x)gn ( x)f (x)g( x) （ xE ）。n11、若 f n ( x)f ( x) （ xE ），则f n ( x)f (x) （ xE ）。证明：因为f nx)fxfn(x)f(x)，所以，对任意0，有( )E x fn

11、fE x fnf ，mE x fnfmE xf nf 。又由 fn ( x)f ( x) （ xE ）得， lim mE xfn f0。所以，nlim mE xf nf0 ，即 fn (x)f ( x) （ xE ）。n4最新资料推荐12、证明：R1 上的连续函数必为可测函数。证明：设f ( x) 是 R1 上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数a ，R1 x fa x f ( x)a, xR1 是开集，从而是可测集。所以，f ( x) 是 R1 上的可测函数。13、证明： R1 上的单调函数必为可测函数。证明：不妨设f ( x) 是 R1 上的单调递增函数，对任意实数a ，记 Ai

12、nf xf ( x)a ，由单调函数的特点得，当A xf ( x)a 时， x f (x)a A,) ，显然是可测集；当 A x f ( x)a 时， xf ( x)a( A,) ，也显然是可测集。故f (x) 是 R1 上的可测函数。14 、 设 f ( x)L( E)， En是 E 的 可 测 子 集 ， 且 mE， 若 l i mmEnmE， 则nl i mf x( )dxf。x( x)dnEnE证明：因为 En 是 E 的可测子集，且mE，所以， m( E En )mEmEn ，从而由 lim mEn mE 得， lim m(EEn )mE lim mEn0 。又 f ( x)L(E)

13、 ，由积分的绝nnn对连续性， limf (x)dxf (x)dx limf ( x)dx0 。nEEnnE En15 、 设， 若 对 任 意 有 界 可 测 函 数都 有， 则f ( x)( x)f ( x) ( x ) dx0L( E)Ef ( x )0a.e.于 E 。1,xE xf ( x)0证明：由题设，取( x)0,xE xf (x)0 ，显然( x) 为 E 上的有界可测函数，1, xE xf (x)0从而Ef ( x) dxf ( x)( x)dx0 。所以， f ( x)0 a.e.于 E ，即 f ( x) 0 a.e. 于 E 。E16、设 f ( x) L( E )

14、， enE f n ，证明（ 1） lim men0 ；（ 2） lim n men 0 。nn证明：由 n menenf (x)dxf ( x)d x得，（ 1） lim men0 。（ 2）由（ 1），注意到Enf ( x) L( E) ，由积分的绝对连续性得，limf ( x)dx 0 ，从而注意到nen5最新资料推荐0n menf ( x)dx ，en所以， lim n men0 。n17、若 f (x) 是 a, b 上的单调函数，则f ( x) 是 a, b 上的有界变差函数，且bV ( f )f (b)f (a) 。a证明：不妨设f (x) 是 a,b 上的单调增函数，任取 a,

15、 b 的一个分割T : a x0 x1xi 1xixn b则nnf ( xi ) f ( xi 1) f ( xi )f ( xi 1)f ( xn )f ( x0 )i 1i1f (b) f (a)f (b)f ( a)，bn所以， V ( f )supf (xi ) f (xi 1 )f (b)f (a) 。aTi 118、若 f (x) 在 a, b 上满足：存在正常数K ，使得对任意x1 , x2 a,b ，都有f (x1) f (x2 ) K x1x2 ，（ 1） f (x) 是 a, b 上的有界变差函数，且b()() ；则VfKb aa（ 2） f (x) 是 a, b 上的绝对

16、连续函数。证明：（ 1）由题设，任取 a, b 的一个分割T : a x0x1xi 1xixnb则nnnf (x) f (x)K x xi 1K ( xx) K (b a) ，ii 1iii 1i 1i 1i 1所以， f (x) 是 a, b 上的有界变差函数，且bnV ( f )supf ( xi ) f ( xi 1) K (b a) 。aTi 1（ 2）在 a,b 内，任取有限个互不相交的开区间( xi , yi) ， i1,2, , n 。由于6最新资料推荐nnnf ( x ) f ( y )K xyKxiyi，iiiii 1i 1i 10 ，取n于是，对任意，则当xi yi时，有K

17、i 1nnf (xi ) f ( yi )Kxiyi，i 1i 1即 f (x) 是 a,b 上的绝对连续函数。19、若 f (x) 是 a, b 上的绝对连续函数，则f ( x) 是 a,b 上的有界变差函数。证明：由 f ( x) 是 a,b 上的绝对连续函数，取1 ，存在0 ，对任意有限个互不相交的开区间 ( xi, yi ) ， inn1,2, n ，只要xiyi时，有f ( xi )f ( yi ) 1 。i 1i1现将 a, b 等分，记分点为 aa0 a1ai 1aianb ，使得每一等份的ain长度小于。易得 V ( f )1，即 f ( x) 是 ai 1 , ai 上的有界

18、变差函数。 又 a,b ai 1 ,ai ，ai 1i 1bn ain，即 f ( x) 是 a, b 上的有界变差函数。所以， V ( f )V ( f )ai1ai 120、若 f (x) 是 a, b 上的有界变差函数，则x（ 1）全变差函数V ( f ) 是 a,b 上的递增函数；ax()（ 2）Vffxa,b上的递增函数。a( ) 也是x2证明：（ 1）对任意 x1 , x2a, b ， x2 x1，注意到 V ( f ) 0，有x1x2x1x2x1V ( f ) V ( f ) V ( f ) V ( f ) ，aax1ax即 V ( f ) 是 a, b 上的递增函数。ax2（ 2）对任意 x1, x2 a,b ， x2 x1，注意到 V ( f ) f (xi )f (xi 1 ) ，