数学选修2-3期末复习

1、排列与组合基本计数原理排列组合排列数公式组合数公式与性质组合应用题组合数公式与性质l 本章知识网络排列应用题一、基本计数原理1. 分类计数原理(加法原理) 分类计数原理的定义：做一件事，完成它有n类办法。在第一类办法中有m1种不同的方法；在第二类办法中，有m2种不同的方法；在第n类办法中，有mn中不同的方法，那么完成这件事共有N=_种不同的方法。 2. 分步计数原理(乘法原理) 分步计数原理的定义：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，做第n个步骤有mn中不同的方法，那么完成这件事共有N=_种不同的方法 二、排列1. 排列的定义从个不同

2、的元素中任取(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2. 排列数1）排列数的定义：从个不同的元素中取出(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用_表示 2）排列数公式 =_=_特别的，=_= n! 规定 0！=_ 三、组合1. 组合的定义从个不同的元素中，任意取出(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合2. 组合数1）组合数的定义：从个不同的元素中，任取(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中任意取出m个元素的组合数，用_表示 2）组合数公式=_=_=_特别的，=_=_3） 组合数

3、的性质 =_ =_+_解决排列组合问题的基本规律：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合，正难则反，先选后排l 前测1且,则乘积等于 ( )A B C D2=_3某八层大楼一楼电梯上来3名乘客，他们到各自的一层下电梯，下电梯的不同方法有_种44人排成一排，其中甲和乙都站在边上的不同站法有_种 5用0,2,3,4,5五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_种.6从3台甲型和4台乙型电脑中任意取出3台，其中至少要甲型和乙型电脑各一台，则不同的取法有_种.7某停车场有8个连在一起的车位，有4辆不同的车要停进去，且恰有3辆车连在一起，则不同的停放方法有_种.l 典型例题1有4封不同的信和3个

4、信筒. (1)把4封信都寄出，有_种寄信方法；(2) 把4封信都寄出，且每个信筒不空，有_种寄信方法 2对某种产品的6件不同正品和4件不同次品，(1) 一件一件的不放回抽取，连续取3次，至少取到1件次品的不同取法有_种.(2) 一一进行测试,到区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第五次测试被全部发现，则这样的测试方法有_种.3某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：(1) 节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有_种.(2) 原有的节目单保持顺序不变，但删去第一个节目和最后一个节目，添加两个新节目，该台晚会节目演出顺序的编排

5、方案共有_种.（3）节目甲、乙、丙必须连排（顺序不固定），且和节目丁不相邻，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有_ 种.49个篮球队中有3个强队，平均分三组. (1) 若3个强队分别作为三个小组的种子队，不同的分组方法有_种.(2) 若恰有2个强队分在一组，不同的分组方法有_种.5用5种不同的颜色涂色，要求每小格涂一种颜色，有公共边的两格不同颜色，颜色可重复使用(1) 涂在“目”字形的方格内有_种不同的涂法(2) 涂在“田”字形的方格内有_种不同的涂法6(1) 编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有_种(2)某仪表显示屏上一排有7

6、个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则这个显示屏可以显示_种不同的信号.7. 学校文艺队有10名会表演唱歌或跳舞的队员，其中会唱歌的有5人，会跳舞的有7人。现选出3人，1人去唱歌，2人去跳舞.（1）共有 种不同的选法；（2）则这样的3人名单共可开出_张. l 巩固练习18名男女学生，从男生中选2人，从女生中选1人，共有30种不同的选法，其中女生有_人2有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有 种3用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数

7、有_种4在高三进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为_5只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须同时使用，且同一个数字不能相邻出现，这样的四位数共有_个6从甲、乙等名志愿者中选出名，分别从事，四项不同的工作，每人承担一项若甲、乙二人均不能从事工作，则不同的工作分配方案共有_种 7如果在一周内（周一到周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有_种8三个人坐到一排的八个座位上，若每个人的两边都要有空座位

8、，则不同的坐法有_种9某栋楼从2楼到3楼共有10级台阶，上楼可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若规定从2楼到3楼用八步走完，则不同的走法有_种10如图，用四种不同的颜色给图中的六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色则不同的涂色方法共有_种二项式定理一、概念1二项式定理 2二项展开式的通项，记作Tk1 3 二项式系数和 4. 二项展开式的各项系数和 l 典型例题1.的第三项是 ；展开式中的常数项是 ；有理项是第_项2.设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN=56，则展开式中常数项为 3(x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2

9、a4)2(a1a3)2的值 4设(1x)3(1x)4(1x)5(1x)50a0a1xa2x2a3x3a50x50，则a3的值是()AC B2C CC DCl 巩固练习1若的展开式中第6项与第7项的系数相等，则=_；展开式中含的项是_2展开式的各项系数和为_3. 已知，则 概率本章知识体系与考查要求考试内容要求层次ABC概率取有限值的离散型随机变量及其分布列超几何分布条件概率事件的独立性次独立重复试验与二项分布取有限值的离散型随机变量的期望（均值）、方差正态分布一、超几何分布：一般地，设有总数为N的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件（），这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量

10、，它取值为m（ ）时的概率为P(X=m)=_我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布。其期望可以用公式_计算二、条件概率：对于任何两个事件A，B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率，用符号“”来表示。且=_三、事件的独立性：事件是否发生对事件的发生的概率没有影响，即，这是我们称两个事件，是相互独立的，并且把这两个事件叫做相互独立事件。若事件与是相互独立的，则当事件与同时发生时，其概率为若事件，是相互独立的，则四、次独立重复试验与二项分布次独立重复试验：在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立。二项分布：在n次独立重复试

11、验中，事件A恰好发生次的概率是_（用表示一次试验事件发生的概率）X的分布列为：X01knP记作：X _；其期望可以用公式_计算；其方差可以用公式_计算五、离散型随机变量的期望（均值）、方差如果离散型随机变量X的概率分布如下：XP把E( X )=+为离散型随机变量的数学期望(简称期望)；期望反映了离散型随机变量取值的。把叫做随机变量的方差。叫做随机变量的标准差；方差与标准差反映了_前测：1一个口袋内有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，（1）共有 _种不同的结果；（2）摸出2个黑球 种不同的结果；（3）摸出2个黑球的概率是 . 2将骰子先后抛掷2次，计算：（1）一共有

12、种不同的结果；（2）其中向上的数之和是5的结果有 种；（3）向上的数之和是5的概率是 .3袋中有4个白球和5个黑球，连续从中取出3个球，计算：（1）“取后放回，且顺序为黑白黑”的概率为 ；（2）“取后不放回，且取出2黑1白”的概率 4在10件产品中，有7件合格品，3件次品，从中任取2件，计算：（1）2件都是合格品的概率为 ；（2）2件是次品的概率为 ；（3）1件是合格品，1件是次品的概率为 ；(4)至少有1件次品的概率为_；（5）至多有1件次品的概率为_.5甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题，计算：（1）甲抽到选择题，乙抽到判

13、断题的概率是 （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是 .6. 在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是，则事件A 在一次试验中出现的概率是 7已知随机变量服从二项分布，则的值为 l 典型例题1. 2004年世界卫生组织、联合国儿童基金会等权威机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广. 2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖. 目前，国内青蒿人工种植发展迅速. 某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100株青蒿进行对比试验. 现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4

14、株青蒿作为样本, 每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：山 上5.03.83.63.6山 下3.64.44.43.6（）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量； （）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为，根据样本数据, 试估计与 的大小（只需写出结论） （）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1株，记这2株的产量总和为， 求随机变量的分布列和数学期望. 2. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时

15、间（单位：小时）分为5组：，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.O时间(小时)10 20 30 40 500.0050.0250.0300.035高中生组O时间(小时)10 20 30 40 500.005a初中生组0.0200.040（）写出的值；（）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望. 3. 为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试. 现从两校各随机抽取10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：甲校 乙校 5 1 9 1 1

16、 2 4 3 3 8 4 77 4 3 2 7 7 8 8 6 5 7 8 （I） 比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论）（II） 如果将数学基础采用A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如下表：（满分100分，所有学生成绩均在60分以上）测试成绩基础等级ABC假设每个新生的测试成绩互相独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率.4. 为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的

17、检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立（）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；（）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利元）现有该新型防雾霾产品3台，随机变量表示这3台产品的获利，求的分布列及数学期望 l 巩固练习14个球投入5个盒子中，则：（1）每个盒子最多1个球的概率是 ；（2）恰有一个盒子放2个球，其余盒子最多放1个球的概率是 2把10支足球队均匀分成两组进行比赛，求两支最强队被分在（1）不同的组的概率是 ； （2）同一组的概率 3

18、已知10只晶体管中有8只正品，2只次品，每次任抽一个测试，求下列事件的概率.（1）测试后放回，抽三次，第三只是正品的概率是 ；（2）测试后不放回，直到第6只才把2只次品都找出来的概率是 4. 甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：甲6699乙79（）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（）如果，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为，求的分布列和数学期望；（）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值.（结论不要求证明） 5. 某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况从全体学生中，随机抽取12