结构力学第二章 平面体系的几何组成分析.ppt

1、第二章 平面体系的几何组成分析,Last Edit: 2009.7.27,2/73,本章主要内容：,1 几何构造分析的几个概念； 2 平面几何不变体系的组成规律; 3 体系的几何组成分析举例; 4 平面杆件体系的计算自由度; 5 体系的几何特征与静力特征的关系。 课后作业,3/73,本章引言,一个结构要能够承受各种可能的载荷，首先其几何构造应当合理，本身应当是几何稳固的，即其几何形状保持不变。 因此，从几何构造来看，一个结构应是一个几何形状不变的体系，简称 几何不变体系。,进行几何构造分析的目的，就是把杆件结构看成一个杆件体系，检查它是不是一个几何不变体系。,在平面体系的几何构造分析中，最基本

2、的规律是三角形规律。规律本身简单浅显，但规律的应用变化无穷，因此本章遇到的困难不在于学懂，而在于运用。,4/73,2-1 几何构造分析的几个概念,5/73,2-1 几何构造分析的几个概念,一、几何不变体系和几何可变体系,几何构造分析中，不考虑由于材料应变而发生的变形。,几何不变体系：在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是不能改变的；,几何可变体系：在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是可以改变的；,6/73,2-1 几何构造分析的几个概念,二、刚片,在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片。,7/73,2-1 几何构

3、造分析的几个概念,三、自由度,平面内一点有两种独立运动方式(两个坐标x, y可以独立地改变),一点在平面内有两个自由度,一个刚片在平面内有三种独立运动方式(三个坐标x, y, q 可以独立地改变),一个刚片在平面内有三个自由度,8/73,2-1 几何构造分析的几个概念,三、自由度,一般来说，如果一个体系有 n 个独立的运动方式，则这个体系有 n 个自由度。 一个体系的自由度，等于这个体系运动时可以独立改变的坐标的数目。,普通机械中使用的机构有一个自由度，即只有一种运动方式； 一般工程结构都是几何不变体系，其自由度为零。 凡是自由度大于零的体系就是几何可变体系。,9/73,2-1 几何构造分析的

4、几个概念,四、约束,约束是指限制物体或体系运动的各种装置，可以分为外部约束和内部约束两种。,外部约束：体系与基础之间的联系，也就是支座； 内部约束：体系内部各杆之间或结点之间的联系，比如铰结点，刚结点和链杆等。,10/73,2-1 几何构造分析的几个概念,四、约束,一个刚片在平面内有三个自由度 ( xA, yA, q ),若增加一根支杆把 A 点与基础相连,则A点的坐标 xA, yA 相互不独立，则此刚片还剩下两个运动独立几何参数 (xA , q )或 ( yA , q )。故此刚片的自由度变为2。,结论：一根支杆可抵销一个自由度，即相当于一个约束。,11/73,2-1 几何构造分析的几个概念

5、,四、约束,互不相连的两个刚片在平面内有几个自由度？,6个,用铰A连接,则还剩下四个运动独立几何参数,xA, yA, q1, q2,仅连接两个刚片的铰称为 单铰,结论：一个单铰相当于两个约束，抵销两个自由度。,12/73,2-1 几何构造分析的几个概念,四、约束,互不相连的三个刚片用铰A连接,其自由度由9减少为5 xA, yA, q1, q2, q3,连接多于2个刚片的铰称为复铰,由此类推： 连接n个刚片的复铰，相当于n-1个单铰或2(n-1)个约束。,例如连接10个刚片的复铰，相当于18个约束，而体系的自由度应为31018=12,13/73,2-1 几何构造分析的几个概念,四、约束,2个单铰

6、,1个单铰,1个单铰,14/73,2-1 几何构造分析的几个概念,四、约束,单刚结点,两个互不相连的刚片，若用刚结点连接，则两者被连为一体成为一个刚片，自由度由6减少为3。,一个单刚结点相当于3个约束。,复刚节点,三个互不相连的刚片，若用刚结点连接，自由度由9减少为3。,由此类推: 连接 n 个刚片的复刚结点，它相当于n1个单刚结点或3(n 1)个约束。,15/73,2-1 几何构造分析的几个概念,四、约束,平面内互不相连的两个点A, B, 共有4个自由度。,用长为 l 的链杆将其相连,A, B成为同一刚片上的两个点，则自由度成为3。,一个链杆相当于1个约束,若用数学表达式，则应满足以下条件：

7、,4个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有3个独立运动几何参数。,16/73,2-1 几何构造分析的几个概念,五、多余约束,如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而减少，这种约束称为多余约束。,无多余约束,有1个多余约束,只有非多余约束才对体系的自由度有影响，而多余约束对体系的自由度没有影响。,17/73,2-1 几何构造分析的几个概念,六、瞬变体系,两根链杆彼此共线,1、从微小运动的角度看，这是一个可变体系。,左图两圆弧相切，A点可作微小运动； 右图两圆弧相交，A点被完全固定。,18/73,2-1 几何构造分析的几个概念,六、瞬变体系,2、当A点沿公切线发生微小位移后，两根链

8、杆不再共线，因而体系就不再是可变体系。,本来是几何可变，经微小位移后又成为几何不变的体系称为瞬变体系。,可变体系分为瞬变体系和常变体系，如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。,19/73,2-1 几何构造分析的几个概念,六、瞬变体系,3、对于A点增加两根共线的链杆后，仍然具有1个自由度。可见在链杆1和2这两个约束中有一个是多余约束。,一般来说，在任一瞬变体系中必然存在多余约束。,20/73,2-1 几何构造分析的几个概念,七、瞬铰,点O: 瞬时转动中心,此时刚片I 的瞬时运动情况与刚片I在O点用铰和基础相连的运动情况完全相同。,从瞬时微小运动来看，两根链杆所起的约束作用相当于在链

9、杆交点处的一个铰所起的约束作用，这个铰称为 瞬铰,在体系运动的过程中，瞬铰的位置随之变化。,用瞬铰替换对应的两个链杆约束，这种约束的等效变换只适用于瞬时微小运动。,21/73,2-1 几何构造分析的几个概念,八、无穷远处的瞬铰,如果用两根平行的链杆把刚片I和基础相连，则其瞬铰在无穷远处瞬时平动。,在几何构造分析中应用无穷远瞬铰的概念时，采用影射几何中关于点和线的四点结论：,1 每个方向有一个点； 2 不同方向有不同的点； 3 各点都在同一直线上，此直线称为线； 4 各有限点都不在线上。,22/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,23/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,一、一个点和

10、一个刚片之间的联结方式,一个点和一个刚片（或基础）之间联结后即无多余约束又是几何不变的整体,几何不变 无多余约束,几何不变 有多余约束,几何可变,规律1 一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。,24/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,二、两个刚片之间的联结方式,几何不变 无多余约束,规律2 两个刚片用一根链杆和一个铰相联结，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。,几何不变 无多余约束,25/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,二、两个刚片之间的联结方式,几何不变 无多余约束,规律3 两个刚片用三个

11、链杆相连，且三链杆不交于同一点，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。,几何不变 无多余约束,26/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,三、三个刚片之间的联结方式,几何不变 无多余约束,规律4 三个刚片两两相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。,几何不变 无多余约束,27/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,小结,如果三个铰不共线，则一个铰接三角形的形状是不变的，而且没有多余约束，这个基本规律可称为三角形规律。,28/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,关于三链杆不共点（三铰不在一直线上）的条件,三链杆相交于同一点O,刚片II相对于基础 I

12、可绕点O作瞬时转动。 瞬变体系,29/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,关于三链杆不共点（三铰不在一直线上）的条件,由图可知，O1,O2,O3均是点,而根据影射几何: 各点都在同一直线上,因此，三个虚铰在同一直线上。刚片II可以相对于基础I在垂直链杆的方向上作瞬时移动(绕无穷远的一点作瞬时转动)。,30/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,上述四种基本组成规律也可归纳为三种基本装配格式：,固定一个结点的装配格式简单装配格式,固定一个刚片的装配格式 联合装配格式,固定两个刚片的装配格式 复合装配格式,31/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,多

13、次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各种各样的几何不变且无多余约束的体系。 装配的过程通常有两种：,1 从基础出发进行装配 取基础作为基本刚片，将周围某个部件按照基本装配格式固定到基本刚片上，形成一个扩大的基本刚片。 2 从内部刚片出发进行装配 先在体系内部选取一个或几个刚片作为基本刚片，将其周围的部件按照基本装配格式进行装配，形成一个或几个扩大的基本刚片，最后将扩大的基本刚片和基础装配，形成整个体系。,32/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,1 从基础出发进行装配-【例2-1】,33/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,1 从基础出发进

14、行装配-【例2-2】,34/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,1 从基础出发进行装配-【例2-3】,35/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,2 从内部刚片出发进行装配-【例2-4】,36/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,2 从内部刚片出发进行装配-【例2-5】,37/73,2-3 体系的几何组成分析举例,38/73,2-3 体系的几何组成分析举例,【例2-6】对图所示体系作几何组成分析,实铰(I II) 实铰(I III) 虚铰(II III),连接三个刚片I(基础) II III的三个铰 不在一直线上。 故为几何不变体

15、系，且无多余约束。,39/73,2-3 体系的几何组成分析举例,【例2-7】利用无穷瞬铰的概念，分析图示各三铰拱的几何组成,若(I III)和(II III)的连线与刚片I和刚片II连接的两个链杆平行，则三铰共线，体系是瞬变的。 注：每个方向有一个点；,如果两者并不平行，则体系几何不变，且无多余约束。,40/73,2-3 体系的几何组成分析举例,【思考及讨论2-1】以下是几何不变体系还是几何瞬变体系？,几何瞬变,提示： 各点都在同一直线上,几何不变且无多余约束,提示 各有限点都不在线上,41/73,2-3 体系的几何组成分析举例,【例2-8】分析如图所示体系的几何构造,基础 刚片I,刚片II,

16、刚片III,连接三个刚片I(基础) II III的三个铰 不在一直线上。 故为几何不变体系，且无多余约束。,42/73,2-3 体系的几何组成分析举例,课堂练习:分析如图所示体系的几何构造,43/73,2-3 体系的几何组成分析举例,解答:几何瞬变,44/73,2-4 平面体系的计算自由度,45/73,2-4 平面体系的计算自由度,运用三角形规律可以对常见的体系进行构造分析，并定量回答以下两个问题： 1) 体系是否几何可变？自由度 S 是多少？ 2) 体系有无多余约束？多余约束的个数 n 是多少？,复杂的体系往往并不是按照三角形规律组成的，为了对它们进行构造分析，求出其 S 和 n，引进计算自

17、由度W 的概念，然后根据 W 来得出关于 S 和 n 的一些定性结论。,46/73,2-4 平面体系的计算自由度,一、自由度 S 的计算方法,设 体系中各个约束均不存在， 在此情况下计算各部件的自由度总和 a ; 在全部约束中确定非多余约束 c ; 则有：,(2-1),此公式应用比较困难，事先必须区分清楚哪些是多余约束，那些不是，这个问题涉及到体系的具体构造，体系越复杂，这个问题越难以解决。 为了回避这个困难，定义一个新参数 W计算自由度。,47/73,2-4 平面体系的计算自由度,二、计算自由度 W 的概念,设 体系中各个约束均不存在， 在此情况下计算各部件的自由度总和 a ; 在全部约束中

18、确定全部的约束 d ; 则有：,(2-2),由于全部的约束数 d 和非多余约束数 c 的差值是多余约束 n,(2-3),公式(2-3)表示了计算自由度W, 自由度S 和多余约束之间的关系。,注意，在公式(2-2)中，作为部件的刚片是指内部没有多余约束的刚片，如果有，则应把它变成内部无多余约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束总数时加以考虑。,48/73,2-4 平面体系的计算自由度,二、计算自由度 W 的概念,(2-3),由于自由度 S 多余约束 n 均不可能为负数，可得出：,(2-4),(2-5),因此： W 是自由度 S 的下限； (W)是多余约束 n 的下限。,49/73,2-4

19、平面体系的计算自由度,三、计算自由度 W 的的算法,算法1-刚片法： 把体系看作由许多刚片受铰接、刚接和链杆约束而组成的。 m 体系中刚片的个数，则刚片自由度总和为3m g 单刚结的个数 h 单铰结的个数 b 单支杆的个数 则约束总数为 3g+2h+b 则计算自由度为：,(2-6),50/73,2-4 平面体系的计算自由度,三、计算自由度 W 的的算法,算法2-结点法： 把体系看作由许多结点受到链杆约束而组成。 b 单链杆个数 (如果有复链杆，折算成单链杆) j 结点个数，则有：,(2-7),算法3-混合法：,(2-8),51/73,2-4 平面体系的计算自由度,三、计算自由度 W 的的算法,

20、关于复铰，复刚，复链杆的折算参照第1节之内容：,1 连接 n 个刚片的复铰，相当于 n 1 个单铰,2 连接 n 个刚片的复刚结点，它相当于n1个单刚结点,3 连接 n 个点的复链杆相当于2n 3个单链杆。,52/73,2-4 平面体系的计算自由度,四、计算自由度 W 的结果讨论,计算自由度W 可能为正、负或零。,若W 0，则 S 0 则体系,几何可变；,若W = 0，则 S = n 则体系,如无多余约束则几何不变，如存在多余约束则几何可变；,若W 0 则体系,有多余约束，不能确定是否几何不变。,53/73,2-4 平面体系的计算自由度,五、计算自由度 W 的计算例题,【例2-9】求所示体系的

21、计算自由度。,刚片数：,m = 7,单铰个数：,h = 9,注意D,E复铰计算为2个单铰,支杆个数：,b = 3,刚片法：,刚结点个数：,g = 0,54/73,2-4 平面体系的计算自由度,五、计算自由度 W 的计算例题,【例2-9】求所示体系的计算自由度。,结点数：,j = 7,全部单链杆个数：,b = 14,注意链杆AC,CB复链杆，连接3个铰，每个复链杆计算为 (2n3)=(233)=3个单链杆,结点法：,55/73,2-4 平面体系的计算自由度,五、计算自由度 W 的计算例题,【例2-10】求所示体系的计算自由度。,去除所有的约束-内部有多余约束，在截面G切开：,刚片数：,m = 1

22、,A B G 三处单刚结点,h = 0,链杆个数：,b = 4,单铰个数：,g = 3,56/73,2-4 平面体系的计算自由度,五、计算自由度 W 的计算例题,【例2-10】求所示体系的计算自由度。,这个体系显然几何不变，S = 0,因此这是一个具有10个多余约束的几何不变体系。,57/73,2-4 平面体系的计算自由度,五、计算自由度 W 的计算例题,【例2-11】(考研试题)图示体系的几何组成为: （ ）,几何不变且无多余约束 几何不变且有多余约束 瞬变体系 常变体系,58/73,2-4 平面体系的计算自由度,五、计算自由度 W 的计算例题,解法一,在增加了一根虚拟的链杆GH后，体系为瞬

23、变体系，而且其他所有的链杆都用到了，因此原体系缺少约束，为常变体系。,解法二,先计算其“计算自由度”,W 0 马上可以判断该体系为常变体系。,59/73,2-5 体系的几何特征与静力特征的关系,60/73,2-5 体系的几何特征与静力特征的关系,体系几何不变且无多余约束,一、静定结构的静力特征(几何不变且无多余约束的体系),通过静力平衡方程：,可求出FCB 和 FCA：,体系几何不变且无多余约束,平面一般力系可列三个方程,可求出FAx FAy和FB,61/73,2-5 体系的几何特征与静力特征的关系,静定结构的解答唯一性定理,一、静定结构的静力特征(几何不变且无多余约束的体系),静定结构的全部

24、支反力、内力都能由静力平衡方程完全确定，且在任意的已知荷载作用下，它们的解答是唯一的。,静定结构的静力特征,静力平衡方程数与未知约束力数相等，体系的全部反力和内力，都可由静力平衡条件确定，而且解答是唯一的。当荷载为零时，体系的反力和内力也等于零。,62/73,2-5 体系的几何特征与静力特征的关系,二、超静定结构的静力特性(几何不变有多余约束的体系),静力平衡方程数小于未知约束力数 体系反力、内力静不定 (超静定) 超静定次数等于多余约束数,超静定结构的静力特性：,静力平衡方程数少于未知约束力数，体系的反力和内力不能单靠静力平衡条件完全确定，对应于每一种任意的已知荷载，体系的反力和内力的解不是

25、唯一的。,当荷载为零时，体系可以有非零的反力和内力初内力或自内力(超静定结构极为重要的一个静力特性),初内力或自内力状态：没有荷载作用，而体系有非零反力、内力的情况,63/73,2-5 体系的几何特征与静力特征的关系,三、可变体系的静力特性,除特殊情况外，两未知力同时满足三个静力平衡方程是不可能的 故在一般情况下，体系不可能保持平衡 (体系可变) 可变体系的静力特性： 静力平衡方程数多于未知约束力数，一般说来是不可能有解的，因而体系不可能保持平衡。,未知约束力数小于静力平衡方程数,可列出三个平衡方程：,64/73,2-5 体系的几何特征与静力特征的关系,四、瞬变体系的静力特性,理论上分析：瞬变体系只能发生很小的变形； 实际情况: 变形一般不会很小。 (即使承受很小荷载，也可能产生很大内力，体系可能发生破坏),65/73,2-5 体系的几何特征与静力特征的关系,四、瞬变体系的静力特