常见统计分布及其特点

1、.【附录一】常见分布汇总一、二项分布二项分布 （BinomialDistribution），即重复 n 次的伯努利试验 （ BernoulliExperiment ），用 表示随机试验的结果 , 如果事件发生的概率是 P, 则不发生的概率 q=1-p ， N 次独立重复试验中发生 K 次的概率是。二、泊松poisson分布1、概念当二项分布的n 很大而 p 很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中 为 np。通常当 n 10,p 0.1 时，就可以用泊松公式近似得计算。;.2、特点期望和方差均为。3、应用（固定速率出现的事物。）在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某

2、公共汽车站的乘客，以固定的平均瞬时速率（或称密度）随机且独立地出现时， 那么这个事件在单位时间 （面积或体积） 内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布三、均匀分布uniform设连续型随机变量X 的分布函数F(x)=(x-a)/(b-a)，axb则称随机变量X 服从 a,b上的均匀分布，记为XUa,b 。四、指数分布Exponential Distribution1、概念;.2、特点无记忆性（ 1）这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。;.（ 2）无 性当 s,t 0 有 P(Ts+t|Tt)=P(Ts)即，如果T 是某一元件的寿命，已知元件使用了t小 ，它 共使用至少s+t 小 的条件概

3、率，与从开始使用 算起它使用至少s 小 的概率相等。3、 用在 子元器件的可靠性研究中，通常用于描述 生的缺陷数或系 故障数的 量 果五、正 分布Normal distribution1、概念2、中心极限定理与正 分布（ 明了正 分布的广泛存在，是 分析的基 ）中心极限定理： 从均 、方差 2; （有限）的任意一个 体中抽取 本量 n的 本， 当 n 充分大 ， 本均 的抽 分布近似服从均 、方差 2/n的正 分布。3、特点在 体的随机抽 中广泛存在。4、 用正 分布是假 以及极大似然估 法ML 的理 基 定理一： X1， X2， X3. 。 Xn 是来自正 体 N（， 2）的 本， 有 本均

4、 XN（， 2/n ） 体方差常常未知，用 t 分布 多六、 2 卡方分布（与方差有关）chi-square distribution1、概念若 n 个相互独立的随机 量 ?、 ?、 n ，均服从 准正 分布（也称独立同分布于 准正 分布） ， n 个服从 准正 分布的随机 量的平方和构成一新的随机 量，其分布 律称 卡方分布（ chi-squaredistribution），其中参数n称 自由度【注意】假 随机干 呈正 分布。因此，卡方分布可以和RSS残差平方和 系起来。用RSS/ 2，所得的 量就是 准正 分布，就服从卡方分布。;.2、卡方分布的特点（ 1）分布的均值为自由度n ，记为 E

5、() = n。（这个容易证明）（ 2）分布的方差为2 倍的自由度 (2n) ，记为 D() = 2n。（ 3）如果互相独立，则： （独立可加减）服从分布，自由度；服从分布，自由度为3、图形特点4、应用定理二，设 X1， X2， X3. 。 Xn 是来自正态总体 N（， 2）的样本，则有样本均值 XN（， 2/n ）;.( n1)S22）（2n - 1（ 1）正态分布以及卡方分布是F 检验的基础。大量的检验用到了F 检验： F 检验、三大检验。七、 t 学生分布（用样本方差s 来标准化） Studentst-distribution1、概念（适用于 2 未知）【理解】 把样本标准正态化的U变换前

6、提是方差已知，但总体方差是未知的，所以用样本方差来代替总体方差。根据中心极限定理，抽样服从方差为总体方差除以n 的正态分布。由于在实际工作中，往往 是未知的，常用 s 作为 的估计值，为了与 u 变换区别，称为t 变换，统计量 t值的分布称为t 分布（ u 变换指把变量转换为标准正态分布）【思考】 为什么样本方差比总体方差要小？因为一个是总体方差，一个是样本均值的方差。不同2、特点1）与标准正态分布曲线相比，自由度v 越小， t 分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度v 愈大， t 分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度v=时， t分布曲线为标准正态分布曲线。定理三：设X1，

7、 X2， X3. 。 Xn 是来自正态总体 N（， 2）的样本，则有样本均值 XN（， 2/n ），S 为样本方差X t（）S/nn - 1【注意】 S 是样本方差。 中心极限定理说的是样本均值的方差。八、 F 分布 F-distribution1、概念F 分布定义为：设X、 Y 为两个独立的随机变量，X 服从自由度为k1 的卡方分布， Y 服;.从自由度为k2 的卡方分布， 这 2 个独立的卡方分布被各自的自由度除以后的比率这一统计量的分布2、特点（ 1）它是一种非对称分布；（ 2）它有两个自由度， 即 n1 -1 和 n2-1 ，相应的分布记为 F（ n1 1， n2-1 ）， n1 1

8、通常称为分子自由度， n2-1 通常称为分母自由度；（ 3）F 分布是一个以自由度和为参数的分布族，不同的自由度决定了F 分布的形状。（ 4）F 分布的倒数性质：（ 5）残差平方和之比通常与F 分布有关。九、逻辑分布logistic（分类评定模型）最早应用最广的离散选择模型1、概念1e tF (t)1 e tf (t )t ) 2(1 eF (t )e t1F (t)2、特点用作增长曲线并为二进制响应建模。在生物统计和经济领域使用。Logistic分布由尺度和位置参数描述。Logistic分布没有形状参数，也就是说其概率密度函数只有一个形状。下列图形显示了不同参数值对Logistic分布的效应。尺度参数的效应位置参数的效应;.Logistic分布的形状与正态分布的形状相似，但Logistic分布的尾部更长。十、伽马分布1、概念伽玛分布（GammaDistribution）是统计学的一种连续概率函数。Gamma分布中的参数 称为形状参数（shape parameter）， 称为尺度参数（scale parameter）。假设随机变量X 为 等到第 件事发生所需之等候时间,密度函数为特征函数为伽马分布的可加性当两随机变量服从 Gamma分布，且单位时间内频率相同时， Gamma 数学表达