有限元分析——平面问题ppt课件

1、1,平面问题的有限元法 主讲人：杨红林 2014.09.16,2,目录 一、平面问题的定义 1、平面应力问题 2、平面应变问题 二、平面问题有限元法 1、结构离散 2、三角形单元分析 3、整体分析 总体刚度矩阵 4、非节点载荷移置 5、边界条件处理 求解 三、简单算例,3,一、平面问题的定义,1、平面应力问题,平面应力问题满足以下两个条件。 (1)几何条件 结构是一很薄的等厚度薄板； (2)载荷条件 作用于薄板上的载荷平行于板平面、沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用。,Y,X,Z,O,t,结论：板面不受力，则有 Z Z= + t/2,=0,YZ Z= + t/2,=0,ZX z= +

2、t/2,=0,因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整个板内各点都有,Z=0 YZ=0 ZX=0 根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量 为,图1 平面应力问题,4,=X Y XYT,=X Y XYT,d= T,它们仅为x、y的函数而与z无关。,2、平面应变问题 满足以下两个条件的弹性力学问题为平面应变问题。 (1)结构是长柱体，横截面沿长度方向不变；,（2）载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布、两端不受力。,Z,Y,X,O,t,图2 平面应变问题,结论：结构不能发生沿Z轴方向的位移，则有,=0 =(x,y) =(x,y),5

3、,根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为,D=,而平面应力问题的弹性矩阵为,D=,6,二、平面问题有限元法,1、结构离散 结构离散化过程：,连续体结构,有限单元的结合体,代替原连续体,平面问题用二维区域表示,可用不同形状的单元，此处用三角形单元,离散,7,2、三角形单元分析,单元位移模式 形函数 根据位移函数选择方法，三节点三角形单元的位移函数,=(x,y)=1+2x+3y,=(x,y)=4+5x+6y,O,Y,X,节点1(x1,y1),1,1,节点2(x2,y2),2,2,节点3(x3,y3),3,3,图3 三节点三角形单元,

4、将三个节点的位移代入，整理得,1=,2=,3=,8,4= (11+22+33),5= (b1v1+b2v2+b3v3),6= (c1v1+c2v2+c3v3),其中 A=,1=,b1=-,c1=,(1,2,3),上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。,9,重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有,其中形函数矩阵为,N= 其中,Ni= (i +bix + ciy) ，i=1、2、3。,单元的应变与应力,单元应变 =B qe,式中应变矩阵B为,B=,节点位移列阵qe,qe=u1 v1 u2 v2 u3 v3T,10,单元应力 =D=DBqe,单元分析 单元刚度矩阵,根据虚位移原理

5、，可得单元刚度方程,Fe=Keqe,其中单元刚度矩阵为,Ke=,对于三节点等厚三角形单元，B、D均为常数矩阵，则单元刚度矩阵可表示为,Ke=BTDBtA,3、非节点载荷移置,有限元模型是一组仅在节点连接、仅靠节点传力、仅受节点载荷、仅在节点处受约束的单元组合体。只有节点是可以承受载荷与约束的。,集中力的移置,单元内任意一点作用集中力 P=Px PyT,11,1,2,3,P,Px,Py,R1X,R1Y,R2X,R2Y,R3X,R3Y,Y,X,O,图4 集中力作用的单元,根据虚位移原理，可得移置到节点后的载荷,Re=NTP,此处的N为载荷作用点的形函数值。,虚功原理如下： 单元原载荷在虚位移上做的

6、虚功=移置后节点载荷在相应虚位移上做的虚功。,体力的移置,单元所受的均匀分布体力为PV=X YT，则由虚功原理得,Re=,面力的移置,在单元的边上分布有单位面积上的面力PS= T，则由虚功原理得,Re=,12,4、整体分析 整体刚度矩阵,整体刚度矩阵组装的基本步骤：,先求出各个单元的单元刚度矩阵； 将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单元的扩大刚度矩阵； 将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。,不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位移列阵为,其中：,4,5,1,2,3,y,o,x,图5 四个单元的模型,对每个单元写出相应的单元刚度方程，

7、对于号单元，有,13,为了便于组装整体刚度矩阵，将上式以整体节点位移表示，即,同理，对于单元，有,对于单元，有,14,对于单元，有,整体节点载荷列阵为,15,整体刚度矩阵为,5、边界条件处理 求解,整体刚度矩阵是奇异的，必须在整体刚度方程中引进位移边界条件，消除整体结构的刚体位移，再求解整体刚度方程获得节点位移的位移解。下面介绍边界条件处理与计算结果整理。,对角元素置1法 下面以一个只有四个方程的简单例子加以说明，方程如下：,16,假定系统中节点位移u2=0，则引入节点的已知位移后，方程变为,然后，用这组维数不变的方程来求解所有的节点位移。显然，其解答仍为原方程的解答。,乘大数法 大数M一般取

8、1081010。已知位移分量u2=c，把此方法用于上面的例子，则原方程变成,17,计算结果整理,一般情况，节点由多个单元所共有，而不同单元得到的应力不同，因此，应对节点上的应力进行处理，使其接近实际应力值。对于常应变三角形单元，应力的处理方法有：,绕节点平均法,将围绕节点i的所有m个单元的应力进行算术平均，即,面积加权平均法,考虑单元尺寸大小对节点应力的影响，进行面积加权平均，即,以上式中，Ai、 i 分别为绕节点各单元的面积和应力。,18,三、简单算例,如图所示为一矩形薄平板，在右端中点受集中力F=1000N，板长为25mm，宽为50mm，板厚为t=5mm，材料常数为：弹性模量E=210GP

9、a，泊松比=0.28。试计算各个节点的位移、各单元应力与应变。,F=1000N,F=1000N,图6 问题描述,25mm,50mm,解答：对该问题进行有限元分析的过程如下。,结构的离散化与编号 对结构进行离散，单元编号与节点编号如图7。,F,1,2,3,4,图7 有限元分析模型,x,y,19,表1 节点的坐标,单元分析与单元刚度矩阵求解,根据三节点三角形单元分析过程，可得各单元的相关参数如下：,同理，,b1=-50，c1=-25,对单元，有,b2=50， c2=0,b3=0， c3=25,同理，对于单元，有,b1=0，c1=-25,b2=50，c2=25,b3=-50，c3=0,20,同理，可得,单元刚度矩阵为：,整个系统的弹性矩阵为,21,单元的刚度方程为：,整体分析 并求整体刚度矩阵,对各单元刚度矩阵进行组装，可得整体刚度矩阵K。,边界条件的处理和刚度方程的求解,首先进行集中力的移置，集中力为：,只需在单元上进行载荷的移置,故此处形函数只指单元。,22,a1=1250,a2=-12