(人教通用版)高考数学 五年高考真题分类汇编 第六章 不等式、推理与证明 理

1、五年高考真题分类汇编：不等式、推理与证明一. 选择题1（2013湖南高考理）若变量x，y满足约束条件则x2y的最大值是 ()A B0 C. D.【解析】选C本小题主要考查线性规划知识及数形结合思想，属中档偏易题求解本小题时一定要先比较直线x2y0与边界直线xy1的斜率的大小，然后应用线性规划的知识准确求得最值作出题设约束条件的平面区域(图略)，由可得(x2y)max2.2（2013安徽高考理）已知一元二次不等式f(x)0的解集为 ()Ax|xlg 2 Bx|1xlg 2 Dx|xlg 2 【解析】选D本题考查一元二次不等式的求解、指对数运算考查转化化归思想及考生的合情推理能力因为一元二次不等式

2、f(x)0的解集为，所以可设f(x)a(x1)(a0可得(10x1)0，即10x，xlg 2，故选D3（2013安徽高考理）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|OB|OAOB2，则点集P|OPOAOB，|1，R所表示的区域的面积是 ()A2 B2 C4 D4【解析】选D本题考查平面向量运算、线性规划等知识，培养考生对知识的综合应用能力以及数形结合思想由|OA|OB|OAOB2，可得AOB，又A，B是两定点，可设A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，由OPOAOB，可得因为|1，所以1，当，时，由可行域可得S02，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S4S04，故选D.4

3、.（2013新课标高考理）已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a ()A. B. C1 D2【解析】选B本题考查线性规划问题，属于基础题由已知约束条件，作出可行域如图中ABC内部及边界部分，由目标函数z2xy的几何意义为直线l：y2xz在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，2a)时，目标函数z2xy的最小值为1，则22a1，a，故选B. 5（2013北京高考理）设关于x，y的不等式组 表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02.求得m的取值范围是 ()A. B. C. D.【解析】选C本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查数形结合思想、等价转化

4、思想以及考生分析问题、解决问题的能力问题等价于直线x2y2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(m，m)不可能在第一和第三象限，而直线x2y2经过第一、三、四象限，则点(m，m)只能在第四象限，可得m0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x2y2与阴影部分有公共点，则点(m，m)在直线x2y20的下方，由于坐标原点使得x2y20，故m2m20，即m. 6（2013广东高考理）设整数n4，集合X1,2,3，n令集合S(x，y，z)|x，y，zX，且三条件xyz，yzx，zxy恰有一个成立若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是 ()A.(y，z，w)

5、S，(x，y，w)SB.(y，z，w)S，(x，y，w)SC.(y，z，w)S，(x，y，w)SD.(y，z，w)S，(x，y，w)S【解析】选B本题考查集合、推理与证明，考查考生接受、理解、运用和迁移新知识的能力，推理论证能力与创新意识题目中xyz，yzx，zxy恰有一个成立说明x，y，z是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取x1，y2，z3，w4满足题意，且(2,3,4)S，(1,2,4)S，从而(y，z，w)S，(x，y，w)S成立7（2013山东高考理）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为 ()A2 B1 C D【解析】选C本题

6、考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查两点间斜率的几何意义等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x2y10和3xy80，解得A(3，1)，故OM斜率的最小值为.8（2013山东高考理）设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0.则当取得最大值时，的最大值为 ()A0 B1 C. D3【解析】选B本题考查基本不等式、二次函数的性质等基础知识，考查等价转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力.1，当且仅当x2y时等号成立，此时z2y2，211，当且仅当y1时等号成立

7、，故所求的最大值为1.9（2013天津高考理）设变量x, y满足约束条件则目标函数zy2x的最小值为 ()A7 B4 C1 D2【解析】选A本题考查线性规划，意在考查考生数形结合思想的应用约束条件对应的平面区域是一个三角形区域，当目标函数y2xz经过可行域中的点(5,3)时，z取得最小值7.10（2013天津高考理）已知函数f(x)x(1a|x|). 设关于x的不等式f(xa)f(x)的解集为A.若A, 则实数a的取值范围是 ()A. B. C. D.【解析】选A本题考查函数与不等式的综合应用，意在考查考生的数形结合能力由题意可得0A，即f(a)f(0)0，所以a(1a|a|)0时无解，所以a

8、0，所以1ab，则 ()Aacbc B.b2 D. a3b3【解析】选D当c0时，选项A不成立；当a0，b0，故选D.12（2013重庆高考文）关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a ()A. B. C. D. 【解析】选A本题主要考查二次不等式与二次方程的关系由条件知x1，x2为方程x22ax8a20的两根，则x1x22a，x1x28a2，故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24(8a2)36a2152，得a，故选A.13（2013山东高考文）设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0.则当取得最小值时，x2yz的最大值为 ()A0 B.

9、C2 D.【解析】选C本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想32 31，当且仅当x2y时等号成立，因此z4y26y24y22y2，所以x2yz4y2y22(y1)222.14（2013大纲卷高考文）不等式|x22|2的解集是 ()A(1,1) B(2,2) C(1,0)(0,1) D(2,0)(0,2)【解析】选D本题主要考查绝对值不等式、二次不等式的解法由|x22|2得2x222，即0x24，所以2x0或0x1332，故A不恒成立；同理，当x时，1xx2，故B不恒成立；因为(cos xx21)sin xx0(00，)，且x0时，ycos xx2

10、10，所以ycos xx210恒成立，所以C对；当x4时，ln(1x)b1，c；acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是 ()A B C D【解析】选D 由ab1，c0得，；幂函数yxc(c0)是减函数，所以acbc，所以logb(ac)loga(ac)loga(bc)，均正确40（2012新课标高考文）已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在ABC内部，则zxy的取值范围是 ()A(1，2) B(0,2) C(1,2) D(0,1)【解析】选A 由题意知，正三角形的顶点C的坐标为(1，2)，当zxy经过点B时，zmax2，经过点C时，zmi

11、n1.41（2012重庆高考文）不等式0的解集为 ()A(1，) B(，2) C(2,1) D(，2)(1，)【解析】选C 不等式等价于(x1)(x2)0，解得2x1，在约束条件下，目标函数zxmy的最大值小于2，则m的取值范围为 ()A(1,1) B(1，) C(1,3) D(3，)【解析】选A 变换目标函数为yx，由于m1，所以10，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线yx在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值显然在点A处取得最大值，由ymx，xy1，得A(，)，所以目标函数的最大值是2，即m22m10，解得1m1，故m的取值范围是(1,1)47（

12、2011重庆高考）已知a0，b0，ab2，则y的最小值是 ()A. B4 C. D5【解析】选C 依题意得()(ab)5()(52)，当且仅当，即a，b时取等号，即的最小值是，选C.48.（2011重庆高考）设m，k为整数，方程mx2kx20在区间(0,1)内有两个不同的根，则mk的最小值为 ()A8 B8 C12 D13【解析】选D 依题意，记f(x)mx2kx2，则有，即.通过验证发现当m1,2时均不存在满足不等式组的整数k.当m2时，显然有m22m，此时不等式组可化为；又m，k均为整数，故可进一步化为，要使成立，必有m12；又m2，因此有m32，显然5326，于是有m6.当m6时，由式得

13、k7，此时方程mx2kx26x27x20的根是、满足题意又当m进一步增大时，满足式的k不会减小，所以mk取最小值时m也取最小值，也就是说，当m6，k7时，mk取最小值13，选D.49（2011广东高考）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则zOMOA的最大值为 ()A3 B4 C3 D4【解析】选B画出区域D，如图中阴影部分所示，而zOMOAxy，yxz.令l0：yx，将l0平移到过点(，2)时，截距z有最大值，故zmax24.50（2011福建高考）已知O是坐标原点，点A(1,1)若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则OAOM

14、的取值范围是 ()A1,0 B0,1 C0,2 D1,2【解析】选C 平面区域如图中阴影部分所示的BDN，N(0,2)，D(1,1)，设点M(x，y)，因点A(1,1)，则zOAOMxy，由图可知；当目标函数zxy过点D时，zmin110；当目标函数zxy过点N时，zmax022，故z的取值范围为0,2，即OAOM的取值范围为0,2，故选C.51（2011湖北高考）已知向量a(xz,3)，b(2，yz)，且ab，若x，y满足不等式|x|y|1，则z的取值范围为 ()A2,2 B2,3 C3,2 D3,3【解析】选D 因为ab，所以ab0，所以2x3yz，不等式|x|y|1可转化为，由图可得其对

15、应的可行域为边长为，以点(1,0)，(1,0)，(0,1)，(0，1)为顶点的正方形，结合图象可知当直线2x3yz过点(0，1)时z有最小值3，当过点(0,1)时z有最大值3.所以z的取值范围为3,352（2011浙江高考）设实数x，y满足不等式组若x，y为整数，则3x4y的最小值是 ()A14 B16 C17 D19【解析】选B 对于线性区域内边界的整点为(3,1)，因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2)，对于点(4,1)，3x4y344116；对于点(3,2)，3x4y334217，因此3x4y的最小值为16.53（2011辽宁高考）设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是

16、()A1,2 B0,2 C1，) D0，)【解析】选D 当x1时，21x2，解得，x0，所以，0x1；当x1时，1log2x2，解得，x，所以，x1.综上可知x0.54（2011辽宁高考）函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为 ()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)【解析】选B 令函数g(x)f(x)2x4，则g(x)f(x)20，因此，g(x)在R上是增函数，又因为g(1)f(1)242240.所以，原不等式可化为：g(x)g(1)，由g(x)的单调性，可得x1.二. 填空题55.（2013福建高考理）当xR，|x|1时，有如下表达式

17、：1xx2xn.两边同时积分得：01dx0xdx0x2dx0xndx0dx，从而得到如下等式：123n1ln 2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：CC2C3Cn1_.【解析】本题考查定积分、二项式定理、类比推理等基础知识，意在考查考生的转化和归能力、类比推理能力和运算求解能力法一：设f(x)CxCx2Cx3Cxn1，所以f(x)CCxCx2Cxn(1x)n，所以f0f(x)dx0(1x)ndx(1x)n10n1(10)n1.法二：CC2C3Cn11n23n1(n1)23n1.【答案】56.（2013浙江高考理）设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_.【解析】本题

18、考查用平面区域表示二元一次不等式组、直线方程中参数的几何意义以及分析问题、解决问题的能力画出可行域，根据线性规划知识，目标函数取最大值12时，最优解一定为(4,4)，这时124k4，k2.【答案】257（2013陕西高考理）若点(x，y)位于曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为_【解析】本题考查分段函数的图象和线性规划的应用，考查考生的数形结合能力由题意知y作出曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域，如图中阴影部分所示，即得过点A(1,2)时，2xy取最小值4.【答案】458.（2013陕西高考理）观察下列等式1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为_【解析】本题考查考生的观察、归纳、推理能力观察规律可知，第n个式子