2015年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1）【2015年湖北，文1，5分】为虚数单位，（ ）（A） （B） （C） （D）1【答案】A【解析】，故选A（2）【2015年湖北，文2，5分】我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）（A）134石 （B）169石 （C）338石 （D）1365石【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为石，故选B（3）【2015年湖北

2、，文3，5分】命题“，”的否定是（ ）（A）， （B），（C）， （D），【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为，故选C（4）【2015年湖北，文4，5分】已知变量和满足关系，变量与正相关下列结论中正确的是（ ）（A）与负相关，与负相关 （B）与正相关，与正相关（C）与正相关，与负相关 （D）与负相关，与正相关【答案】A【解析】因为变量和满足关系，其中，所以与成负相关；又因为变量与正相关，不妨设，则将代入即可得到：，所以与负相关，综上可知，故选A（5）【2015年湖北，文5，5分】表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则（ ）（A）p是q的充分条件，但

3、不是q的必要条件 （B）p是q的必要条件，但不是q的充分条件 （C）p是q的充分必要条件 （D）p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A【解析】若p：是异面直线，由异面直线的定义知，不相交，所以q：不相交成立，即p是q的充分条件；反过来，若q：不相交，则可能平行，也可能异面，所以不能推出是异面直线，即p不是q的必要条件，故选A（6）【2015年湖北，文6，5分】函数的定义域为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解之得，即函数的定义域为，故选C（7）【2015年湖北，文7，5分】设，定义符号函数，则（ ）（A） （B） （

4、C） （D）【答案】D【解析】对于选项A，右边，而左边，显然不正确；对于选项B，右边，而左边，显然不正确；对于选项C，右边，而左边，显然不正确；对于选项D，右边，而左边，显然正确，故选D（8）【2015年湖北，文8，5分】在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“” 的概率，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由题意知，事件“”的概率为，事件“”的概率 ，其中，所以，故选B（9）【2015年湖北，文9，5分】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）（A）对任意的， （B）当时，；当时， （C）对任意的， （D）当时，；

5、当时，【答案】D【解析】依题意，因为，由于，当时，所以；当时，而，所以，所以所以当时，当时，故选D（10）【2015年湖北，文10，5分】已知集合，定义集合，则中元素的个数为（ ）（A）77 （B）49 （C）45 （D）30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有9个元素（即9个点），即、 图中圆中的整点，集合 中有25个元素（即25个点）： 即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个，故选C二、填空题：共7小题，每小题5分，共35分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（11）【2015年湖北，文11，5分】已知向量，则 【答

6、案】9【解析】因为，（12）【2015年湖北，文12，5分】若变量满足约束条件 则的最大值是 【答案】10【解析】首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后 根据图像可得: 目标函数过点取得最大值，即，故应填10（13）【2015年湖北，文13，5分】函数的零点个数为 【答案】2【解析】函数的零点个数等价于方程的根的个数，即函数与的图像交点个数于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数与的图像有2个交点（14）【2015年湖北，文14，5分】某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如

7、图所示 （）直方图中的_； （）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_ 【答案】（）3；（）6000【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得，解之的于是消费金额在区间内频率为，所以消费金额在区间内的购物者的人数为：（15）【2015年湖北，文15，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m【答案】【解析】依题意，在中，由，所以，因为，由正弦定理可得，即m，在中，因为，所以，所以m（16）【2015年湖北，文16，5分】如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交

8、于两点A，B（B在A的上方），且 （）圆的标准方程为_； （）圆在点处的切线在轴上的截距为_【答案】（）；（）【解析】（）设点的坐标为，则由圆与轴相切于点知，点的横坐标为，即，半径又因为，所以，即，所以圆的标准方程为（）令得：设圆在点处的切线方程为，则圆心到其距离为：，解之得即圆在点处的切线方程为，于是令可得，即圆在点处的切线在轴上的截距为（17）【2015年湖北，文17，5分】a为实数，函数在区间上的最大值记为 当_时，的值最小【答案】【解析】解法一：因为函数，所以分以下几种情况进行讨论：当时，函数在区间上单调递增，所以；当时，此时，而，所以；当时，综上可知，所以在上单调递减，在上单调递增，

9、所以，所以当时，的值最小解法二：，；，；，；，；综上所述，当时，取到最小值三、解答题：共5题，共65分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（18）【2015年湖北，文18，12分】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0050（）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；（）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象 求的图象离原点O最近的对称中心解：（）根据表中已知数据，解得 数据补全如下表：00500且函数表达式为 （）由（）知，因此 因为的对称中心为， 令，解得，即图象的对称中心为，其中离原点O最近的对称中心为（

10、19）【2015年湖北，文19，12分】设等差数列的公差为前n项和为，等比数列的公比为q已知，（）求数列，的通项公式；（）当时，记，求数列的前n项和解：（）由题意知：，即，解得或，故或（）由，知，故，于是 由-可得，故（20）【2015年湖北，文20，13分】九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接（）证明：平面 试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值解：（）因为底面，所以 由底面为长方形，有

11、，而，所以平面 平面，所以 又因为，点是的中点，所以 而，所以平面 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是 （）由已知，是阳马的高，所以；由（）知，是鳖臑的高， ，所以在中，因为，点是的中点，所以，于是 （21）【2015年湖北，文21，14分】设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，其中为自然对数的底数（）求，的解析式，并证明：当时，；（）设，证明：当时，解：（）由, 的奇偶性及， 联立解得，当时，故 又由基本不等式，有，即 （）由（）得 ， ， 当时，等价于， 等价于 设函数 ，由，有 当时，（1）若，由，得，故在上为增函数，从而，即，

12、故成立（2）若，由，得，故在上为减函数，从而，即，故成立综合，得 （22）【2015年湖北，文22，14分】一种作图工具如图1所示是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系（）求曲线C的方程；（）设动直线与两定直线和分别交于两点若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究： OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由解：（）设点，依题意，且，所以，且即且 由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，于是，故