等腰三角形的性质

1、三角形,第2章,等腰三角形,2.3,如图,把一张长方形纸片按图中的虚线对折,AC和AB有什么关系?这个三角形有什么特点?,然后沿着虚线剪去一部分,再把它展开,得ABC.,定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形.,边：等腰三角形中,相等的两条边叫做腰，,另一条边叫做底边.,角：等腰三角形中,两腰的夹角叫做顶角，,腰和底边的夹角叫做底角.,任意画一个等腰三角形ABC， 其中AB =AC， 如图, 作ABC 关于顶角平分线AD 所在直线的轴反射， 由于1 =2， AB=AC， 因此：,射线AB的像是射线AC， 射线AC的像是射线 ；线段AB的像是线段AC， 线段AC的像是线段 ； 点B的像是点C，

2、点C的像是点 ； 线段BC的像是线段CB. 从而等腰三角形ABC关于直线 对称.,AB,AB,B,AD,由于点D 的像是点D, 因此线段DB 的像是线段 ， 从而AD 是底边BC上的 . 由于射线DB的像是射线DC, 射线DA的像是射线 , 因此BDA=CDA= , 从而AD是底边BC上的 . 由于射线BA 的像是射线CA , 射线BC 的像是射线 ,因此B C.,DC,中点,DA,90,高,CB,=,等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.,等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）,在ABC中， AC=AB（已知 ） B=C（等边对等角）,几何语言：,等腰三角形底边上的高、

3、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）,在ABC中，AB =AC, 点 D在BC上 1、AD BC = ， = . 2、AD是中线， ， = . 3、AD是角平分线， ， = .,几何语言：,BAD CAD,BD CD,BD CD,BAD CAD,AD BC,AD BC,在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求 ABC各角的度数 .,解：在ABC中，AB=AC ABC=ACB,A+ABC+ACB=180 在ABD中，BD=AD ABD=A，BDC=A+ABD, 即BDC=2A 在BDC中，BD=BC BDC=BCD, A+2ACB=180 即 A+4A=180 A=36

4、ABC=BCA=2A=72,如图（1）在等腰ABC中， AB =AC, A = 36,则B = ,C= .,变式练习： 1、如图（2）在等腰ABC中，A = 50, 则B = ，C= . 2、如图（3）在等腰ABC中，A = 120则B = ，C= .,72 ,72 ,65 ,65 ,30 ,30 ,如图， ABC 是等边三角形， 那么A， B，C的大小之间有什么关系呢？,因为ABC 是等边三角形， 所以ABBCAC, 从而C AB 由三角形内角和定理可得： ABC 60,等边三角形的三个内角相等，且都等于60.,由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分

5、别是三个内角的平分线所在的直线.,举 例,例1,已知： 如图， 在ABC中， AB=AC， BDAC， 垂足为点D. 求证： DBC= A.,举 例,F,作AFBC于FAB=AC AFBCCAF=BAF= BACAFBC BDACCAF+C=DBC+C=90DBC =CAFDBC= BAC,解题规律： 在等腰三角形中，做顶角平分线或作底边上 高或作底边上中线是一种常用的辅助线.,举 例,例2 已知： 如图, 在ABC 中, AB = AC, 点D, E在边BC上, 且AD = AE. 求证： BD = CE.,证明：作AFBC,垂足为点F, 则AF 是等腰三角形ABC 和等腰三角 形ADE 底

6、边上的高, 也是底边 上的中线. BF = CF， DF = EF， BF DF = CF EF， 即BD = CE.,如图 的三角测平架中,AB=AC,在BC的中点D 挂一个重锤,自然下垂,调整架身, 使点A恰好在铅垂线上 (1) AD与BC是否垂直,试说明理由; (2) 这时BC处于水平位置,为什么?,本节课你学习了等腰三角形的哪些重要性质?,例,已知：在ABC中,AC=BC,ACB=900, 点D是AB的中点,点E是AB边上一点.,证明：点D是AB中点，AC=BC，ACB=900 CDAB，ACD=BCD=450 CAD=CBD=450 CAE=BCG 又BFCE CBG+BCF=900 又ACE+BCF=900 ACE=CBG 又AC=BC， AECCGB（ASA) AE=CG,（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图）， 求证：AE=CG；,（2）直线AH垂直CE,垂足为H,交CD的延长 线于点M（如图）,找出图中与BE相等的线段, 并说明. 求证:BE=CM,证明