第十一章推理与证明、算法初步与复数第4节 复数

1、2021新亮剑高考总复习推理与证明、算法初步与复数第十一章第4节复数1磨剑课前自学目录CONTENTS2悟剑课堂精讲3目 录 磨剑课前自学高考动态查缺补漏知识磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录4最新考纲考向分析1. 理解复数的有关概念,掌握复数相等的充要条件,并会应用.2. 了解复数的代数形式的表示方法,能进行复数的代数形式的四则运算.3. 了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义,会简单应用1. 考查复数的基本概念以及复数的四则运算,尤其是除法运算.2. 考查复数加减法的几何意义、复数的模高考动态知识查缺补漏目 录一、复数的基本概念1. 虚数单位 i:数 i 叫作虚数单位,它的平方等

2、于-1,即 i2=-1.2. 复数的概念:形如 a+bi(a,bR)的数叫作复数,通常用字母 z 表示,记作z=a+bi(a,bR).,b 叫作复数的 虚部实部其中 a 叫作复数的,i 是虚数单位.全体复数所成的集复数集合叫作,用字母C 表示.3.复数的分类对于复数 z=a+bi(a,bR),若 b=0,则 a+bi 为实数,若 b0,则 a+bi 为虚数,若 a=0 且 b0 ,则 a+bi 为纯虚数.5高考动态知识查缺补漏目 录分类如下:实数( = 0),纯虚数( = ),z=a+bi(a,bR)虚数( ) 非纯虚数(). 二、复数相等的充要条件两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部

3、分别相等,那么我们就说这两个复 = ,数相等.即:如果 a,b,c,dR,那么 a+bi=c+di . = = = 特别地,a+bi=0.6高考动态知识查缺补漏目 录三、共轭复数当两个复数的实部相等,虚部互为 相反数 时,这两个复数叫作互为共轭复数.虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫作共轭虚数. 通常记复数 z 的共轭复数为z.四、复数的四则运算1.加法、减法运算法则设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),我们规定: z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;z2-z1=(c+di)-(a+bi)=(c-a)+(d-b)i.7高考动态知识查缺补漏目 录结

4、合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).2.乘法、除法运算法则设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),我们规定:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;1 = +i=(+i)(-i)= + + - i(c+di0).2+i(+i)(-i) 2 +2 2+2结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3).分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.8高考动态知识查缺补漏目 录五、复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴如图所示,复数 z=a+bi(a,bR)可用点 Z(a,b) 表示. 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面,也叫高斯

5、平面,x 轴叫作实轴,y 轴叫作虚轴.2. 复数集与复平面内点或向量的对应关系按照复数的几何表示法,每一个复数在复平面内有唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.9高考动态知识查缺补漏目 录复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即这是复数的一种几何意义.复数集 C 与复平面内所有以原点 O 为起点的向量所成的集合也是一一对应的(实数 0 与零向量对应),即这是复数的另一种几何意义.3.复数的模向量 的模 r 叫作复数 z=a+bi(a,bR)的模,记作|z|或|a+bi|则|z|=|a+bi|=r= 2 + 2(r0,rR),即复数 a+bi

6、(a,bR)的模表示点 Z(a,b)与原点 O 的距离.特别地,当 b=0 时,z=a+bi(a,bR)是实数 a,则|z|=|a|.10高考动态知识查缺补漏目 录知识高考动态查缺补漏【概念辨判断下列结论的正误.(1) 复数 z=a+bi(a,bR)中,虚部为 bi.(2) 复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大(3)实轴上的点表示实数,虚轴上的点都表示纯虚数.(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应(答案解析11目 录知识高考动态查缺补漏解析(1)错误.复数 z=a+bi 的虚部为 b.(2)错误.复数不可以比较大小.(3)错误.原点表示实数.(4)正确.

7、12目 录知识高考动态查缺补漏【基础自测】1.设i 为虚数单位,则复数(1+i)2=(C ).A.0B.2C.2iD.2+2i解析(1+i)2=1+2i+i2=2i.答案解析13目 录知识高考动态查缺补漏2.设复数 z=-1-i(i 为虚数单位),z 的共轭复数为z,则|z|=(C).A.-1+iB.2C. 2D.1解析z=-1-i,z=-1+i,|z|=|-1+i|= 2答案解析14目 录知识高考动态查缺补漏3.已知 i 为虚数单位,复数 z=i2018+i2019 在复平面内对应的点位于().CA.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限解析i2018=i5044+2=-1,i2019

8、=i5044+3=-i,复数 z=-1-i 在复平面内对应的点为(-1,-1),位于第三象限.答案解析15目 录知识高考动态查缺补漏【易错检测】4.已知 i 为虚数单位,复数 z= i的虚部为( D).2+iA.-1B.-2C.1D.25555复数 z= i= i(2-i)=1+2i=1+2i,则其虚部为2,故选 D.解析2+i(2+i)(2-i)5555答案解析16目 录知识高考动态查缺补漏5.已知复数 z=cos +isin (R),求|z-i(1-i)3|的最大值.解析i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i),+ (sin + 2)2= 9 + 4 2sin - |z-i(1

9、-i)3|=|cos +isin -2+2i|= (cos-2)2 .4当 sin - =1 时,|z-i(1-i)3|取得最大值,最大值为 9 + 4 2,4从而得到|z-i(1-i)3|的最大值为 2 2+1.解析1718目 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录考点 1 复数的有关概念例 1(1)设i 为虚数单位,复数 z1=a-3i,z2=2+bi,其中 a,bR.若 z1=z2,则 ab=(C).A.-1B.5C.-6D.62(2)已知复数 z=-m-6+(m2-2m-15)i,当实数 m 为何值时,z 是实数?z 是纯虚数?复+3数 z 对应的点在第二

10、象限?答案解析19考点探究素养达成高考真题目 录分析解析(1)利用复数相等的充要条件求解即可;(2)利用复数的基本概念进行求解.(1)z1=z2,即 a-3i=2+bi,a=2,b=-3,则 ab=-6.(2)由复数 z 为实数,得 m2-2m-15=0,且 m+30,解得 m=5.由复数 z 为纯虚数,得 m2-2m-150,且 m2-m-6=0,m+30,解得 m=3 或 m=-2. 2 -6 0,由复数 z 对应的点在第二象限,得 解得 m 0,20考点探究素养达成高考真题目 录变式设问 对于例 1(1),若将“a,bR”改为“a=b”,结论改为求 a,如何求解?解析设 a=b=x+yi

11、(x,yR), 又 z1=z2, = - 1 , = 2-,于是 a=-1+5i.则 x+(y-3)i=(2-y)+xi 2 -3 = 5 ,22 =2方法总结：(1)复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即 a+bi(a,bR)的形式,再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可.(2)求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数 z,然后利用复数模的定义求解.解析21考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 1】1.若复数 z=m2-1+(m2-m-2)i0,则实数 m 的值为().D.-

12、1 或 2A.-1B.2C.1解析复数 z=m2-1+(m2-m-2)i0,m2-m-2=0,解得 m=-1 或 m=2.而当 m=-1 时,z=0,不满足题意,m=2.答案解析22考点探究素养达成高考真题目 录2.若 z1,z2 为复数,则下列选项正确的是().DA.2+20,则2-21212B.|z2-z1|= (2 + 1)2-421C.2+2=0z1=z2=012D.z1-z1是纯虚数或零解析设 z1=2+i,z2=2-i,则2+20,但2,2不能比较大小.故 A 不正确.1212当 z1=1+i,z2=2-i 时,B 不正确.答案当 z1=1+i,z2=1-i 时,有2+2=0,但

13、z1z20,故C 不正确.12解析23考点探究素养达成高考真题目 录考点 2复数的运算+1+i是实数,则 a=(例 2(1)设 a 是实数,且).B1+i2A.1C.3B.1D.222(2)若3+i=a+bi(a,b 为实数,i 为虚数单位),则 a+b= 3.1-i分析(1)结合复数乘法、除法的运算法则及复数的概念进行求解;(2将左边分母实数化,运用复数相等的条件求解. +1+i=(1-i)+1+i=(1-i)+1+i=+1+1-i, 而 +1+i是实数,解析(1)由于1+i2(1+i)(1-i)222221+i2则有1-=0,解得 a=1,故选 B.23-答案= , = 0,(2)3+i=

14、(3+i)(1+i)=3-+3i=a+bi,即 解得 2a+b=3. = 3,+31-i(1-i)(1+i)22= ,2解析24考点探究素养达成高考真题目 录变式设问 对于例 2(1),将条件改为“ +1+i是虚数(或纯虚数)”,a 要满足什么条件?1+i2+1+i是虚数,则 a1;若+1+i是纯虚数,则 a=-1.解析若1+i21+i2方法总结：复数代数形式的乘除运算问题的解题策略(1) 复数的乘法:复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算,可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项,不含有 i 的看作另一类同类项,分别合并即可.(2) 复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要

15、注意把 i的幂写成最简形式.解析25考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 2】21.已知(1-i) =1+i(i 为虚数单位),则复数 z=().DA.1+iC.-1+iB.1-iD.-1-i22由(1-i) =1+i,得 z=(1-i) = -2i = -2i(1-i)=-1-i.解析1+i(1+i)(1-i)1+i答案解析26考点探究素养达成高考真题目 录820182.已知 i 是虚数单位, 1+i+ 2= 1+i.1-i1-i1009 28 1+i 2解析原式= + 1-i1-i10092=i8+81009424252+1=i +i=i+i=1+i. -2i答案解析27考点探究素养达

16、成高考真题目 录考点3复数的几何意例 3(1)在复平面内的则 对应的复数是( A.2+14iC.2-14i,35(2)若 ,则复4A.第一象限C.第三象限4析28考点探究素养达成高考真题目 录分析(1)利用向量的三角形法则及复数的加减法进行运算即可;(2)借助角的范围,得出实部与虚部的范围,进一步得出结论.解析(1)依题意得 =-1( + )=-1(6,8)+(-4,6)=(-1,-7),因此 对应的复22数是-1-7i.(2)cos +sin = 2sin + 35 ,+ , 3 , 2sin + 0,444424cos +sin 0,sin -cos 0.4复数(cos +sin )+(s

17、in -cos )i 在复平面内所对应的点在第二象限.29考点探究素养达成高考真题目 录3 , 5 改为 变式设问若例 3(2)中其他条件不变,将 4457 ,其结果是什么?C, 44方法总结：高考命题中关于复数几何意义的问题主要有以下两种:(1)复数在复平面内对应的点所在的象限问题:复数 z=a+bi(a,bR)在复平面内对应的点为(a,b),以此来判断其所在的象限.(2)复数对应的向量计算及复数模的计算:复数对应,z 的模 = 2 + 2.z=a+bi(a,bR)与平面内的向量(a,b答案30考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 3】1.已知 z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对

18、应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是( AA.(-3,1)C.(1,+).B.(-1,3)D.(-,-3) + 3 0,解析由题意知 解得-3m1.故实数 m 的取值范围为(-3,1).-1 0,答案解析31考点探究素养达成高考真题目 录2.设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则 z1z2=().AA.-5解析B.5C.-4+iD.-4-iz1=2+i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1),又 z1 与 z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,则 z2 的对应点的坐标为(-2,1),即 z2=-2+i,z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.答案解析

19、32考点探究素养达成高考真题目 录数算实数化思想在复数中的应用解决复数问题要把握一点,即复数问题实数化,这是解决复数问题最基本的思想方法.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分母同乘以分母的共in,i.33考点探究素养达成高考真题目 录例 已知 zC,解方程zz-3iz=1+3i.解析a2+b2-3b-3ai=1+3i.根据复数 = -1,解得 = -1,或z=-1 或 z=-1+3i. = 3, = 0解析34考点探究素养达成高考真题目 录【突破训练】设复数 z 满足则 z=(z+|z|=2+i,).BA.-3+iB.3+IC.-3-iD.3-i4444解析设 z=a+bi(a,bR),由已知得 a+bi+ 2 + 2=2+i,由复数相等可得3 , = + 2+ 2= 2,3解得 故 z= +i.故选B. 4 = 1,4 = 1,答案解析35考点探究素养达成高考真题目 录1.(2019 年全国卷)若 z(1+i)=2i,则 z