高等数学试题及答案(代数与解析几何)

1、大家论坛Http:/高等代数课程试卷及参考答案代数与解析几何试题（一）一、计算（20分）1） 2）二、证明：（20分）1）若向量组线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。2）若向量组中部分向量线性相关，则向量组必线性相关三、（15分）已知A为n阶方阵为A的伴随阵，则|A|=0，的秩为1或0。四、（10分）设A为n阶阵，求证，rank（A+I）+rank（A-I）n五、（15分）求基础解系六、（10分）不含零向量的正交向量组是线性无关的七、（10分）求证ABC的正弦正定理答案(一)一、1）-126 2）二、证明：1）线性无关，是其部分向量组，若存在不全为0的数使则

2、取，则，则可知线性相关矛盾，所以必线性无关。2）已知是向量组中中的部分向量，且线性相关即 不全为0，使，取，于是有不全为0的，使即线性相关。三、证明：由于|A|=0 ，A的秩n-11）若A的秩为n-1，则中的各元素为A的所有n-1阶子式，必有一个子式不为0，又由于的各列都是AX=0齐次线性方程组的解，其基础解系为n-（n-1）=1，由此的秩为1。2）若A的秩n-1，则中的所有A的n-1阶子式全为0，即=0，的秩为0。四、证明：对任意n级方阵A与B，有rank（A+B）rank（A）+ rank （B）又rank（AI）=rank（AI）=rank（IA）rank（A+I）+（IA）=rank（

3、2I）= rank（I）=nrank（A+I）+rank（IA）=rank（A+I）+rank（AI）五、 取基础解系 六、证明：设是正交向量组，且不含空向量。若有 则 且 即 线性无关七、证明：如图： A B C代数与解析几何试题（二）一、计算：（20分） 1） 2）二、（20分）若一向量组是线性相关的充分必要条件是至少有一个向量是其余n-1个向量的线性组合。三、（10分）若S1与S2是线性空间V（F）的不同真子空间，求证至少存在一个向量，使四、（10分）求基础解系五、（15分）证明：含有n个未知数的n+1方程的方程组 有解的必要条件是行列式但这一条件不充分，试举一反例。六、（15分）设V是

4、n维欧氏空间，求的维数为n-1。七、（10分）设ABC的三条中线的交点为O，求证：答案(二)一、1）-60 2）1二、证明：若相关，Nwh 不全为0的数使设ki不等0，于是 若有一个向量表示其余之向量n-1个向量的组合有三、证明：设，则，则 否则有矛盾，若有矛盾。四、解： 五、解：若有解：则把系数阵各列看作列向量有：， 即线性相关，于是有D=0，反之不成立 有 但无解。六、证明：非空间且有（）是子空间。把扩充为V的一组基，把这组基正交化， 有，即的维数为n-1七、证明：如图 A已知O是ABC三条中线的交点，由向量加法有 E F O C B D 又 又代数与解析几何试题（三）一、计算：（20分）

5、1） 2）二、（10分）若一个不含零向量的向量组成线性相关，则至少有两个向量是其余向量的线性组合。三、（20分）若是线性空间V（F）的真子空间，求证到存在一个向量，使四、（15分）求证：1）A2=A，求证：P=2AI为对合阵2）A为2n+1阶方阵，且A=A，求证|A|=0五、（10分）求基础解系六、（10分）若A为n阶方阵，若对任意的一列矩阵X，均有AX=0，求证A为零阵七、（15分）设是n维欧氏空间V的标准正交基，是V中k个向量，若两两正交，则必有 答案(三)一、1） 160 2）二、证明：线性相关，且不含0向量，则有一组不全为0的数使，因为至少有一个有 若其余的n一个系数全为0，则矛盾，故必有至少有一个于是即至少有两个向量是其余向量的线性结合。三、证明：用归纳法，当命题成立（由习题4）解设为：的命题，当时，由归纳假定存在若则命题成立。若，则由为真子空间，有，此时有k，使，否则，则同时，对不同的 不含有与同属于一个反之，若有中的所有，于是这样的k，有四、证明：1） P为对合阵2）A为2n+1阶方阵，且 有又 即 五、解： 令有 六、证明：A对任意一列矩阵X均有A