12正余弦定理的应用举例1

1、1.2 正余弦定理的应用举例(1),3、正弦定理的变形：,2、三角形面积公式：,复习回顾,变形,余弦定理：,在 中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：,几个概念：,仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角; 俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角； 方位角：北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角。,N,方位角60度,水平线,目标方向线,视线,视线,仰角,俯角,三角形中的计算问题,面积计算公式：,海伦-秦九韶公式：,例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。,测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，BAC51o， ACB75o

2、，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）,分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形,解：根据正弦定理，得,答：A,B两点间的距离为65.7米。,例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。,分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。,解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在ADC和BDC中，应用正弦定理得,计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离,如图,隔河看两目标

3、A、B，但不能到达， 在岸边选取相距 千米的C、D两点，并测 得ACB=750,BCD=450,ADC=300，ADB =450(A、B、C、D在同一平面)，求两目标AB 之间的距离。,学生练习一,练习1、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？,如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C，D两处，测得烟囱的仰角分别是=3512和=4928，CD间的距离是11

4、.12m已知测角仪器高1.52m，求烟囱的高,例4、在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角75，在塔底C处测得A处的俯角45。已知铁塔BC部分的高为30m，求出山高CD.,分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长,解：在ABC中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，,例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角30，求此山的高度CD.,分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长

5、。,例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角30，求此山的高度CD.,解：在ABC中，A=30, C=75-30=45. 根据正弦定理，,CD=BCtanDBCBCtan302041(m),答：山的高度约为2041米。,练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）,（1）什么是最大仰角？,（2）例题

6、中涉及一个怎样的三角 形？,在ABC中已知什么，要求什么？,C,A,B,练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）,已知ABC中AB1.95m，AC1.40m， 夹角CAB6620，求BC,解：由余弦定理，得,答：顶杆BC约长1.89m。,C,A,B,方程的思想,1、分析题意，弄清已知和所求； 2、根据题意，画出示意图； 3、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求； 4、正确运用正、余弦定理。,小结：求解三角形

7、应用题的一般步骤：,实际问题,作业：P22 2，3，4，5,例7海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，那么B岛和C岛间的距离是 。,A,C,B,解：应用正弦定理，C=45 BC/sin60 =10/sin45 BC=10sin60 /sin45 ,例8已知ABC的三内角A、B、C成等差，而A、B、C三内角的对边a、b、c成等比，试证明：ABC为正三角形。,证明：,a、b、c成等比，b2=ac,A、B、C成等差，2B=A+C，,又由余弦定理得：,，a=c,又B=60o，ABC是正三角形。,又A+B+C=180o，B=60o，A+C=120o,例、 为了测定河对岸两点A、B间的距离，在岸边选定1公里长的基线CD，并测得ACD=90o，BCD=60o，BDC=75o，ADC=30o，求A、B两点的距离.,A,B,C,D,A,B,C,D,1公里,分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三角形，与AB联系的三角形有ABC和ABD，利用其一可求AB。,ACD=90o，BCD=60o，BDC=75o，ADC=30o，,略解：Rt ACD中，AD=1/cos30o BCD中，1/sin45=BD/sin60，可求BD。 由余弦定理在ABD中可求AB。,解斜三角形,练习：海中有岛A，已知A岛周围8海里内有暗礁，